Une poutre posée sur deux appuis fléchit : sa face inférieure s'allonge, sa face supérieure se raccourcit. Le béton supporte l'écrasement mais se fissure dès qu'on le tire, donc on place l'acier en bas, avec une section égale au moment de flexion divisé par le bras de levier z (l'écart entre le béton comprimé et l'acier tendu) et par la résistance de calcul de l'acier, 435 MPa pour un B500. Pour 100 kN·m et z = 0,40 m, il faut 0,100 / (0,40 × 435) ≈ 0,000575 m², soit 5,75 cm² : trois barres de 16 mm (6,03 cm²) suffisent.
Le principe du béton armé
Un béton courant de classe C25/30 résiste à 25 MPa en compression, mais sa résistance moyenne en traction, fctm, n'est que de 2,6 MPa, à peu près dix fois moins. Sans acier, une poutre casse par sa face tendue, et d'un coup. L'acier B500, lui, supporte 500 MPa en traction avant de se déformer pour de bon.
Dans une section fléchie, tout se ramène à deux forces égales et opposées : la compression Fc dans le béton du haut, la traction Fs dans les aciers du bas. Leur écart est le bras de levier z, et leur couple équilibre le moment : M = Fs × z. Les aciers doivent donc tenir Fs = M / z, et comme une section d'acier As transmet au plus la force As × fyd, on obtient As = M / (z × fyd). Plus la poutre est haute, plus z est grand et moins il faut d'acier.
Les matériaux et leurs résistances de calcul
Dans « C25/30 », 25 est la résistance caractéristique en compression à 28 jours, en MPa, mesurée sur cylindre, et 30 la même mesurée sur cube. L'Eurocode 2, la norme européenne de calcul des structures en béton, utilise le premier nombre, noté fck.
« Caractéristique » ne veut pas dire « moyenne » : fck est la valeur au-dessous de laquelle on s'attend à trouver seulement 5 % des résultats d'essais, selon l'Association française de génie civil. Pour l'acier, la grandeur équivalente est la limite d'élasticité caractéristique fyk, les 500 MPa du B500.
Formule : pour dimensionner, c'est-à-dire fixer les sections, on divise ces valeurs par un coefficient partiel de sécurité. Béton : fcd = fck / γc avec γc = 1,5, soit 16,7 MPa pour un C25/30. Acier : fyd = fyk / γs avec γs = 1,15, soit 435 MPa pour un B500.
ELU et ELS : combiner les charges
À l'état limite ultime (ELU), on vérifie que l'ouvrage ne rompt pas sous des charges majorées. À l'état limite de service (ELS), on vérifie qu'il reste utilisable sous les charges réelles : flèche (le déplacement vertical de la poutre) et fissures limitées.
Les charges permanentes g ne changent pas : poids propre, revêtements de sol. Les charges d'exploitation q dépendent de l'usage : occupants, mobilier. Sur une poutre, on les compte en kN par mètre.
Formule : avec une seule charge d'exploitation, pu = 1,35 g + 1,5 q à l'ELU et pser = g + q à l'ELS.
La charge d'exploitation est plus majorée parce qu'on la connaît moins bien : on sait ce que pèse une dalle, pas ce que ses occupants y poseront.
Piège classique : oublier le poids propre de la poutre dans g. Le béton armé pèse 25 kN/m³, donc une section de 0,25 m sur 0,50 m ajoute 25 × 0,25 × 0,50 = 3,125 kN/m. Autre erreur : garder 1,35 et 1,5 à l'ELS, où rien n'est majoré.
Calculer les aciers d'une poutre fléchie
Le cas type : une poutre rectangulaire de largeur b et de hauteur h, en flexion simple (sans effort normal), calculée à l'ELU. La hauteur utile d va du dessus de la poutre au centre des aciers tendus. C'est elle qui entre dans les calculs, pas h, avec d ≤ 0,9 h.
Les formules viennent d'un modèle simple du béton comprimé : un rectangle de contrainte fcd sur une hauteur 0,8x, où x est la profondeur de la zone comprimée, avec αu = x / d. La force Fc passe au milieu de ce rectangle, d'où z = d − 0,4x = d × (1 − 0,4 αu).
Étape 1 : moment ELU. Sur deux appuis simples, sous une charge répartie pu et pour une portée L, MEd = pu × L² / 8, à mi-portée.
Étape 2 : moment réduit μu = MEd / (b × d² × fcd). Avec un acier B500, au-delà de 0,3717, les aciers tendus n'atteindraient pas leur limite : il faut des aciers comprimés ou une section plus grande.
Étape 3 : αu = 1,25 × (1 − √(1 − 2μu)), puis z = d × (1 − 0,4 αu).
Étape 4 : As = MEd / (z × fyd), puis des barres HA (haute adhérence : leurs nervures accrochent le béton) dont la section totale dépasse ce résultat.
Étape 5 : section minimale, dite de non-fragilité, pour que les aciers tiennent quand le béton tendu se fissure : As ≥ max(0,26 × fctm / fyk × b × d ; 0,0013 × b × d).
Calcule en MN et en mètres (1 MPa = 1 MN/m²) : As sort en m², et 1 m² = 10 000 cm².
Où placer les armatures
Les aciers longitudinaux vont du côté tendu. Pour le trouver, dessine la déformée, la forme exagérée de la pièce sous sa charge : la face qui s'allonge est tendue.
Une poutre sur deux appuis se creuse vers le bas : aciers en bas. Une poutre continue, sur plusieurs appuis, est tendue en bas au milieu des travées (les portées entre deux appuis) et en haut au-dessus des appuis intermédiaires, où on ajoute des aciers supérieurs, les chapeaux. Une console, pièce tenue d'un seul côté comme un balcon encastré dans un plancher, est tendue en haut.
Des cadres, aciers qui ceinturent la section, tiennent les barres et reprennent l'effort tranchant, qui tend à faire glisser deux tranches de poutre l'une sur l'autre et culmine près des appuis. Quant à l'enrobage, l'épaisseur de béton qui protège les aciers de la corrosion, il dépend de l'environnement de la pièce : le sujet de BTS de 2017 le fixait à 30 mm pour les poutres et les poteaux.
Piège classique : mettre les aciers en bas par habitude. Dans un balcon, la fissure s'ouvre en haut, à l'encastrement : c'est là que vont les aciers principaux, prolongés dans le plancher pour s'y ancrer.
Exercices corrigés
Ce calcul à la main est celui de la sous-épreuve E41 « Dimensionnement et vérification d'ouvrages » jusqu'à la session 2027, puis de l'épreuve E5 du nouveau référentiel à partir de 2028.
Exercice 1 : (données fictives) Une poutre de 0,25 m de large et 0,50 m de haut repose sur deux appuis simples, avec une portée de 5,00 m. Le plancher lui transmet une charge permanente de 12 kN/m, sans compter le poids propre de la poutre, et une charge d'exploitation q = 8 kN/m. Le béton armé pèse 25 kN/m³. Calcule pu et MEd, puis pser et le moment à l'ELS.
Correction :
Poids propre : 25 × 0,25 × 0,50 = 3,125 kN/m, donc g = 12 + 3,125 = 15,125 kN/m.
ELU : pu = 1,35 × 15,125 + 1,5 × 8 ≈ 20,42 + 12 = 32,42 kN/m, et MEd = 32,42 × 5,00² / 8 ≈ 101,3 kN·m.
ELS : pser = 15,125 + 8 = 23,125 kN/m, et Mser = 23,125 × 5,00² / 8 ≈ 72,3 kN·m.
Exercice 2 : On reprend cette poutre : b = 0,25 m, d = 0,45 m, MEd = 101,3 kN·m. Béton C25/30 (fcd = 16,7 MPa, fctm = 2,6 MPa), acier B500 (fyk = 500 MPa, fyd = 435 MPa). Calcule la section d'aciers tendus, puis choisis entre 3 HA 14 (4,62 cm²), 3 HA 16 (6,03 cm²) et 3 HA 20 (9,42 cm²).
Correction :
En MN et en mètres, MEd = 0,1013 MN·m. μu = 0,1013 / (0,25 × 0,45² × 16,7) = 0,1013 / 0,8454 ≈ 0,120, inférieur à 0,3717 : pas d'aciers comprimés.
αu = 1,25 × (1 − √0,760) ≈ 1,25 × (1 − 0,872) = 0,160, puis z = 0,45 × (1 − 0,4 × 0,160) = 0,45 × 0,936 ≈ 0,421 m.
As = 0,1013 / (0,421 × 435) ≈ 0,000553 m², soit 5,53 cm². 3 HA 14 ne suffisent pas, 3 HA 20 gaspilleraient de l'acier.
Section minimale : 0,26 × 2,6 / 500 × 0,25 × 0,45 ≈ 0,000152 m² et 0,0013 × 0,25 × 0,45 ≈ 0,000146 m², donc As,min = 1,52 cm², largement dépassé.
Résultat : 3 HA 16, soit 6,03 cm².
Exercice 3 : (données fictives) Un balcon en béton armé, encastré dans le plancher, dépasse de 1,50 m de la façade. Sur une bande de 1 m de large, il porte une charge ELU pu = 15 kN/m. Où places-tu les aciers principaux ? Calcule le moment à l'encastrement, sachant que pour une console de longueur L sous charge répartie, M = pu × L² / 2.
Correction :
Le balcon plonge : sa face supérieure s'allonge, surtout à l'encastrement. Elle est tendue, donc les aciers principaux vont en haut, prolongés dans le plancher pour s'y ancrer.
M = 15 × 1,50² / 2 = 15 × 2,25 / 2 ≈ 16,9 kN·m par mètre de largeur.
À retenir
À retenir :
- Les aciers vont du côté tendu : en bas au milieu d'une poutre sur deux appuis, en haut sur les appuis intermédiaires et dans une console.
- fcd = fck / 1,5 et fyd = fyk / 1,15.
- ELU : pu = 1,35 g + 1,5 q, poids propre compris dans g ; ELS : pser = g + q.
- Flexion simple : μu, puis αu et z, puis As = MEd / (z × fyd), et la section minimale.
Sources
- Sujet du BTS Bâtiment, session 2017, sous-épreuve E41 « Dimensionnement et vérification d'ouvrages », avec ses formulaires extraits des Eurocodes 1 et 2 : Base nationale des sujets d'examens.
- Association française de génie civil, « Caractéristiques mécaniques des bétons », version du 14 février 2023 : texte sur afgc.asso.fr.
- Arrêté du 21 novembre 2025 définissant le BTS « Bâtiment » : texte sur Légifrance.