Pour calculer la chaleur qui traverse un mur ou la paroi d'un tuyau, tu utilises toujours la même relation : le flux thermique est l'écart de température divisé par la résistance thermique, $\Phi = \dfrac{\Delta T}{R}$. Par exemple, une paroi de résistance $R = 0{,}05$ K/W entre une pièce à 20 °C et l'extérieur à 0 °C laisse passer $\Phi = \dfrac{20}{0{,}05} = 400$ W. Conduction, convection et rayonnement ne changent que la formule de $R$.
Voici d'où sort chaque formule, comment les assembler pour une vraie paroi, puis quatre exercices corrigés.
Un écart, une résistance, un flux
Le flux thermique $\Phi$ est la puissance transférée sous forme de chaleur, en watts. Divisé par la surface traversée $S$, il donne la densité de flux $\varphi = \dfrac{\Phi}{S}$, en $\mathrm{W/m^2}$.
La chaleur va spontanément du chaud vers le froid, d'autant plus vite que l'écart de température est grand. La résistance thermique $R$, en K/W, mesure ce qui la freine. C'est la loi d'Ohm transposée : l'écart de température joue le rôle de la tension, le flux celui de l'intensité.
Formule : entre deux milieux aux températures $T_1 > T_2$, en régime permanent,
$$\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R}$$
avec $\Phi$ en W et $R$ en K/W.
Le régime permanent, c'est quand les températures ne varient plus dans le temps. Dans un écart, tu peux garder les degrés Celsius : puisque $T = \theta + 273{,}15$, avec $\theta$ en °C et $T$ en K, un écart de 1 °C vaut un écart de 1 K.
La conduction et la loi de Fourier
La conduction, c'est la chaleur qui avance de proche en proche dans la matière, sans que celle-ci se déplace : c'est le mode de transfert des solides. Le matériau intervient par sa conductivité thermique $\lambda$, en $\mathrm{W/(m{\cdot}K)}$ : plus elle est faible, plus il isole.
La loi de Fourier relie la densité de flux à la pente de la température : $\varphi = -\lambda \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}$. Le signe moins dit que la chaleur descend la pente, vers les $x$ où il fait plus froid.
Prends un mur plan d'épaisseur $e$, avec la face $x = 0$ à $T_1$ et la face $x = e$ à $T_2$. En régime permanent, la température y baisse en ligne droite, de pente $\dfrac{T_2 - T_1}{e}$. La loi de Fourier, multipliée par la surface, donne :
Formule : pour un mur plan,
$$\Phi = \frac{\lambda S}{e}\,(T_1 - T_2) \quad \text{donc} \quad R_{\text{cond}} = \frac{e}{\lambda S}$$
Un mur plus épais résiste plus, un mur plus grand laisse passer plus. En bâtiment, on raisonne par mètre carré : la résistance devient $\dfrac{e}{\lambda}$, en $\mathrm{m^2{\cdot}K/W}$. Vérifie l'unité pour savoir laquelle on te donne.
Piège classique : l'épaisseur se met en mètres. 20 cm de béton, c'est $e = 0{,}20$ m. Avec $e = 20$, ta résistance est cent fois trop grande et ton flux cent fois trop petit.
La convection et la loi de Newton
La convection, c'est la chaleur emportée par un fluide en mouvement, liquide ou gaz. Elle est naturelle quand le fluide bouge seul, parce que la partie chauffée, moins dense, monte. Elle est forcée quand une pompe ou un ventilateur le fait circuler.
Entre une paroi à la température $T_p$ et un fluide à $T_f$ loin de la paroi, la loi de Newton donne :
$$\Phi = h S\,(T_p - T_f) \quad \text{donc} \quad R_{\text{conv}} = \frac{1}{h S}$$
Le coefficient d'échange $h$, en $\mathrm{W/(m^2{\cdot}K)}$, dépend du fluide mais aussi de sa vitesse et de la forme de la paroi. On le tire de corrélations, des formules issues de l'expérience, et dans un exercice il est donné. À écart égal, un fluide qu'on fait circuler échange bien plus qu'un fluide presque immobile.
Le rayonnement et la loi de Stefan-Boltzmann
Tout corps émet un rayonnement électromagnétique, d'autant plus intense qu'il est chaud, et ce transfert traverse même le vide. Le corps noir, émetteur parfait, émet une densité de flux $\sigma T^4$. Une surface réelle émet moins, d'un facteur $\varepsilon$ compris entre 0 et 1 : son émissivité.
Formule : une petite surface $S$ à la température $T_p$, entourée d'un grand environnement à $T_e$, échange par rayonnement
$$\Phi = \varepsilon \sigma S\,(T_p^4 - T_e^4)$$
avec $\sigma \approx 5{,}67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$, la constante de Stefan-Boltzmann (valeur CODATA 2022).
Piège classique : la loi porte sur la température absolue, donc en kelvins, obligatoirement. Et c'est $T_p^4 - T_e^4$, jamais $(T_p - T_e)^4$. L'exercice 3 montre l'ampleur de l'erreur.
Pour un petit écart, on écrit $\Phi \approx h_r S\,(T_p - T_e)$ avec $h_r \approx 4\varepsilon\sigma T_m^3$, $T_m$ étant la température moyenne en kelvins : le rayonnement devient une résistance $\dfrac{1}{h_r S}$, comme la convection.
Assembler une paroi
Une vraie paroi empile des couches. En régime permanent, la chaleur ne s'accumule dans aucune, donc le même flux $\Phi$ les traverse toutes, comme un courant traverse des résistances en série : les résistances s'additionnent.
Formule : pour une paroi de deux couches entre l'intérieur à $T_i$ et l'extérieur à $T_e$,
$$R_{\text{tot}} = \frac{1}{h_i S} + \frac{e_1}{\lambda_1 S} + \frac{e_2}{\lambda_2 S} + \frac{1}{h_e S} \qquad \Phi = \frac{T_i - T_e}{R_{\text{tot}}}$$
Les termes en $\dfrac{1}{hS}$ sont les résistances superficielles : $h_i$ et $h_e$ y regroupent convection et rayonnement de chaque côté.
On en tire le coefficient de transmission $U = \dfrac{1}{R_{\text{tot}}\,S}$, en $\mathrm{W/(m^2{\cdot}K)}$ : le flux par mètre carré et par kelvin d'écart. La paroi perd alors $\Phi = U S\,(T_i - T_e)$, et plus $U$ est petit, mieux elle isole.
Le même flux donne les températures entre les couches : la chute dans une couche vaut $\Phi$ fois sa résistance. La plus forte chute se fait dans la couche la plus résistante, en général l'isolant.
Quand deux chemins sont côte à côte, un mur et sa fenêtre par exemple, ce sont les flux qui s'additionnent. Un pont thermique est un tel chemin : une dalle de béton qui traverse l'isolant laisse filer la chaleur en priorité.
Conseil : dessine d'abord le schéma électrique de la paroi, une résistance par couche, les températures aux nœuds. Ce qui est en série et ce qui est en parallèle saute alors aux yeux.
Ce que disent les deux principes
Un flux est un débit d'énergie. Le transfert thermique $Q$, lui, est une énergie, en joules : à flux constant pendant une durée $\Delta t$, $Q = \Phi\,\Delta t$.
Le premier principe dit que l'énergie se conserve. Pour un système fermé, $\Delta U = W + Q$ : $U$ est l'énergie interne (rien à voir avec le $U$ d'une paroi), $W$ le travail et $Q$ le transfert thermique, comptés positivement quand le système les reçoit. Tu croiseras aussi $\Delta U = Q - W$, avec $W$ fourni par le système : même loi, autre convention de signe.
Pour un solide ou un liquide de masse $m$ qui ne reçoit pas de travail, il reste $Q = m c\,\Delta T$, avec $c$ sa capacité thermique massique en $\mathrm{J/(kg{\cdot}K)}$. En régime permanent, rien ne s'accumule : tout ce qui entre dans une couche en ressort, d'où le même flux partout.
Le second principe donne le sens : la chaleur ne passe jamais spontanément d'un corps froid vers un corps plus chaud. Une pompe à chaleur le fait, mais seulement en consommant de l'énergie.
Exercices corrigés
Les données des énoncés sont fictives. Cherche chaque exercice sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Un mur en béton de 20 cm d'épaisseur et de 10 m² a une conductivité $\lambda = 2{,}0\ \mathrm{W/(m{\cdot}K)}$. Sa face intérieure est à 15 °C, sa face extérieure à 5 °C. Calcule sa résistance thermique, puis le flux qui le traverse.
Correction :
On convertit l'épaisseur : $e = 0{,}20$ m. Alors $R = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{0{,}20}{2{,}0 \times 10} = 0{,}010$ K/W.
Le flux vaut $\Phi = \dfrac{15 - 5}{0{,}010} = 1\,000$ W, soit 100 W par mètre carré.
Exercice 2 : On isole ce mur par l'intérieur avec 10 cm de laine minérale, $\lambda = 0{,}040\ \mathrm{W/(m{\cdot}K)}$. On prend $h_i = 8$ et $h_e = 25$, en $\mathrm{W/(m^2{\cdot}K)}$, une pièce à 20 °C et un extérieur à 0 °C. Calcule $U$, le flux perdu par les 10 m² de mur, et la température entre l'isolant et le béton.
Correction :
Par mètre carré, de l'intérieur vers l'extérieur, les résistances s'additionnent : $\dfrac{1}{8} + \dfrac{0{,}10}{0{,}040} + \dfrac{0{,}20}{2{,}0} + \dfrac{1}{25} = 0{,}125 + 2{,}5 + 0{,}10 + 0{,}04 = 2{,}765\ \mathrm{m^2{\cdot}K/W}$.
Donc $U = \dfrac{1}{2{,}765} \approx 0{,}36\ \mathrm{W/(m^2{\cdot}K)}$ et $\Phi = U S\,\Delta T = \dfrac{10 \times 20}{2{,}765} \approx 72$ W.
Côté froid de l'isolant, il reste le béton et la surface extérieure, soit $0{,}10 + 0{,}04 = 0{,}14\ \mathrm{m^2{\cdot}K/W}$. Avec $\varphi = \dfrac{20}{2{,}765} \approx 7{,}23\ \mathrm{W/m^2}$, la température cherchée vaut $0 + 7{,}23 \times 0{,}14 \approx 1{,}0$ °C : l'isolant prend presque toute la chute.
Exercice 3 : Un radiateur présente une surface de 1,2 m², d'émissivité 0,9, à 50 °C. Les murs de la pièce sont à 18 °C. Calcule la puissance qu'il échange avec eux par rayonnement. On donne $\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$.
Correction :
On passe en kelvins : $T_p = 323{,}15$ K et $T_e = 291{,}15$ K. Alors $T_p^4 - T_e^4 \approx 1{,}0905 \times 10^{10} - 0{,}7186 \times 10^{10} = 3{,}719 \times 10^{9}\ \mathrm{K^4}$.
$\Phi = 0{,}9 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 1{,}2 \times 3{,}719 \times 10^{9} \approx 228$ W.
En degrés Celsius, avec $50^4 - 18^4$, on trouverait 0,38 W : un résultat absurde, qui doit te faire relire tes unités.
Exercice 4 : Une fenêtre à vitre simple de 1,5 m² a un verre de 4 mm d'épaisseur, $\lambda = 1{,}0\ \mathrm{W/(m{\cdot}K)}$, avec $h_i = 8$ et $h_e = 25$, en $\mathrm{W/(m^2{\cdot}K)}$. Il fait 20 °C dedans et 0 °C dehors. Calcule le flux perdu. Un camarade propose un verre deux fois plus épais pour diviser les pertes par deux : qu'en penses-tu ?
Correction :
Par mètre carré : $0{,}125 + \dfrac{0{,}004}{1{,}0} + 0{,}04 = 0{,}169\ \mathrm{m^2{\cdot}K/W}$, donc $\Phi = \dfrac{1{,}5 \times 20}{0{,}169} \approx 178$ W.
Avec 8 mm de verre, on trouve $0{,}173\ \mathrm{m^2{\cdot}K/W}$ et $\Phi \approx 173$ W : environ 2 % de moins. Le verre ne pèse que 0,004 sur 0,169 : ce sont les résistances superficielles qui freinent la chaleur. Pour isoler, il faut ajouter une couche très résistante, et c'est le rôle de la lame de gaz d'un double vitrage.
À retenir
À retenir :
- Un flux thermique se calcule comme un courant : $\Phi = \dfrac{\Delta T}{R}$, en régime permanent.
- Conduction dans un mur plan : $R = \dfrac{e}{\lambda S}$, avec $e$ en mètres.
- Convection : $R = \dfrac{1}{hS}$, et $h$ dépend de l'écoulement, pas seulement du fluide.
- Rayonnement : $\Phi = \varepsilon\sigma S\,(T_p^4 - T_e^4)$, températures en kelvins.
- En série, les résistances s'additionnent ; en parallèle, ce sont les flux.
- $U = \dfrac{1}{R_{\text{tot}}\,S}$, et la paroi perd $U S\,\Delta T$.
Sources
- Constante de Stefan-Boltzmann, valeur recommandée CODATA 2022 : fiche du NIST.