Une chaîne de mesure transforme une grandeur physique en nombre, en quatre étages : le capteur la traduit en signal électrique, le conditionnement met ce signal à la taille du convertisseur, le convertisseur analogique-numérique (CAN) le change en nombre entier, et le traitement retrouve la valeur en unité physique.
Exemple : une sonde Pt100 alimentée par 1 mA donne 100 mV à 0 °C et 138,51 mV à 100 °C ; on retire les 100 mV fixes, on amplifie l'écart 125 fois, un CAN 12 bits le convertit, et le calcul inverse affiche la température avec une résolution de 0,025 °C. On suit cette sonde étage par étage, puis trois exercices corrigés t'attendent.
Le capteur : sensibilité et linéarité
Selon le Vocabulaire international de métrologie (VIM), le capteur est l'élément d'un système de mesure directement soumis à l'action du phénomène qui porte la grandeur à mesurer. Un capteur actif tire son signal de l'énergie du phénomène : un thermocouple crée une tension quand ses deux jonctions sont à des températures différentes (effet Seebeck). Un capteur passif voit seulement une propriété électrique varier, souvent sa résistance (sonde Pt100, thermistance) : il faut l'alimenter pour en tirer une tension.
Définition : la sensibilité est le quotient de la variation de la sortie par la variation correspondante de la grandeur mesurée : $S = \dfrac{\Delta s}{\Delta m}$. Elle s'exprime en unité de sortie par unité d'entrée, par exemple en Ω/°C.
Une Pt100 est une résistance de platine qui vaut 100 Ω à 0 °C. Sa courbe est fixée par la norme IEC 60751, que reprend le guide du Bureau international des poids et mesures (BIPM) :$\dfrac{R(100\,^\circ\mathrm{C})}{R(0\,^\circ\mathrm{C})} = 1{,}3851$. Entre 0 et 100 °C, on la remplace souvent par la droite qui relie ces deux points.
Formule : modèle linéaire de la Pt100,
$$R(\theta) = R_0\,(1 + \alpha\,\theta) \quad \text{avec} \quad R_0 = 100\ \Omega \quad \text{et} \quad \alpha = 3{,}851 \times 10^{-3}\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}$$
Sa sensibilité $S = R_0\,\alpha = 0{,}3851\ \Omega/{}^\circ\mathrm{C}$ est la même à toute température : c'est le sens du mot « linéaire ».
Le conditionnement : un signal à la taille du CAN
Le CAN de l'exemple accepte une tension de 0 à $E = 5$ V. Avec une source de courant $I = 1$ mA, la sonde donne $u = R\,I$, de 100 à 138,51 mV. Les 100 mV de départ ne portent aucune information, et la partie utile, 38,51 mV, occuperait moins de 1 % de la plage.
Un amplificateur d'instrumentation (un circuit qui amplifie la différence entre deux tensions) règle ça : il reçoit la tension de la sonde et une référence de 100 mV, et multiplie leur écart par un gain $G$, choisi pour que la plus grande valeur tienne dans la plage du CAN.
Formule : $G \leqslant \dfrac{E}{\Delta u_{\max}}$, où $\Delta u_{\max}$ est l'écart utile maximal. Ici $\dfrac{5}{0{,}03851} \approx 129{,}8$ : on prend $G = 125$, et 100 °C donne $125 \times 38{,}51 \approx 4\,814$ mV, juste sous 5 V.
Le conditionnement filtre aussi. Un filtre passe-bas placé avant le CAN, dit anti-repliement, coupe les fréquences trop rapides pour l'échantillonnage, par exemple le 50 Hz du secteur capté par les fils quand on ne mesure la température que quelques fois par seconde.
Le pont de Wheatstone
La référence de 100 mV n'est pas la seule façon d'effacer le décalage d'un capteur résistif. Le montage classique est le pont de Wheatstone, que le programme national du BUT MP présente comme une « notion fondamentale pour application aux capteurs ». Deux diviseurs de tension sont alimentés par la même tension $E_p$ : l'un fait de deux résistances $R$, l'autre d'une résistance $R$ et du capteur $R + \Delta R$. La sortie $u_m$ est l'écart entre la tension aux bornes du capteur et celle du point milieu de l'autre diviseur :
$$u_m = E_p\,\frac{R + \Delta R}{2R + \Delta R} - \frac{E_p}{2} = \frac{E_p\,\Delta R}{2\,(2R + \Delta R)} \approx \frac{E_p}{4}\,\frac{\Delta R}{R} \quad \text{si} \quad \Delta R \ll R$$
Au repos, $u_m = 0$ : le décalage a disparu, et l'amplificateur d'instrumentation amplifie directement cet écart. Exemple : une jauge de contrainte (une résistance collée sur une pièce, qui se déforme avec elle) de 350 Ω qui gagne 0,7 Ω donne, dans un pont alimenté en 5 V, $u_m \approx \dfrac{5}{4} \times \dfrac{0{,}7}{350} = 2{,}5 \times 10^{-3}$ V.
Piège classique : l'approximation suppose $\Delta R \ll R$, ce qui est vrai pour une jauge. Pour une Pt100 entre 0 et 100 °C, $\dfrac{\Delta R}{R}$ monte à 0,3851, et la formule exacte donne $\dfrac{2R}{2R + \Delta R} \approx 0{,}84$ fois la formule approchée : 16 % de moins, et une sortie qui n'est plus proportionnelle à la température. La source de courant n'a pas ce défaut, puisque $u = R\,I$ suit $R$.
La conversion analogique-numérique
Le CAN fait deux opérations. Il échantillonne : il prélève la tension $f_e$ fois par seconde ($f_e$ est la fréquence d'échantillonnage). Puis il quantifie : il remplace chaque valeur par un entier $N$ écrit sur $n$ bits, donc pris parmi $2^n$ valeurs.
Formule : le quantum, plus petit écart de tension que le CAN distingue, vaut $q = \dfrac{E}{2^n}$. La résolution en unité physique vaut $\dfrac{q}{S_{\text{amont}}}$, où $S_{\text{amont}}$ est la sensibilité de tout ce qui précède le CAN. Un CAN qui tronque rend la partie entière de $\dfrac{u}{q}$.
Avec 12 bits et $E = 5$ V, $q = \dfrac{5}{4\,096} \approx 1{,}22$ mV. Sonde branchée directement (0,3851 mV par degré), la résolution serait de $\dfrac{1{,}22}{0{,}3851} \approx 3{,}2$ °C. Après le gain de 125, la sensibilité passe à $125 \times 0{,}3851 \approx 48{,}14$ mV par degré, et la résolution à $\dfrac{1{,}22}{48{,}14} \approx 0{,}025$ °C. Même CAN, résolution 125 fois plus fine.
Certains cours prennent $q = \dfrac{E}{2^n - 1}$. Sur 12 bits, l'écart n'est que de 0,02 % : suis la convention de ton enseignant.
Pour la fréquence, le théorème de Shannon donne la règle : pour reconstituer un signal dont la plus haute fréquence est $f_{\max}$, il faut $f_e > 2\,f_{\max}$.
Piège classique : une fréquence au-dessus de $\dfrac{f_e}{2}$ ne disparaît pas, elle se déguise. Elle réapparaît à la plus petite des fréquences $|f - k\,f_e|$, avec $k$ entier : c'est le repliement de spectre. Échantillonné à 40 Hz, le 50 Hz du secteur ressort à $|50 - 40| = 10$ Hz, et rien ne le distingue d'une vraie variation. Le filtre anti-repliement doit donc agir avant le CAN : après, il est trop tard.
Du code à la grandeur physique
Le traitement remonte la chaîne à l'envers : le code fois le quantum redonne la tension, qu'on divise par le gain, puis par la sensibilité de la sonde alimentée.
$$\theta = \frac{N\,q}{G\,R_0\,\alpha\,I}$$
Si le CAN rend $N = 1\,971$, alors $N\,q = 1\,971 \times 1{,}2207 \approx 2\,406$ mV, et $\theta \approx \dfrac{2\,406}{48{,}14} \approx 50{,}0$ °C, puisque $G\,R_0\,\alpha\,I \approx 48{,}14$ mV/°C.
Ce calcul suppose que $G$, $I$ et la référence de 100 mV valent exactement leur valeur nominale, ce qui n'arrive jamais. On étalonne donc la chaîne : on relève les codes à deux températures connues, et le traitement applique la droite $\theta = a\,N + b$ qui passe par ces deux points.
Piège classique : résolution n'est pas exactitude. La chaîne distingue 0,025 °C, mais le modèle linéaire n'est juste qu'à 0 et 100 °C. Pour $\theta \geqslant 0$ °C, la norme décrit la vraie courbe par $R = R_0\,(1 + A\,\theta + B\,\theta^2)$, avec $A = 3{,}9083 \times 10^{-3}\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}$ et $B = -5{,}775 \times 10^{-7}\ {}^\circ\mathrm{C}^{-2}$. À 50 °C, elle donne 119,40 Ω, que le modèle linéaire lit comme $\dfrac{119{,}40 - 100}{0{,}3851} \approx 50{,}4$ °C : près de 0,4 °C d'erreur, une quinzaine de fois la résolution. On la corrige par l'équation complète, ou par un étalonnage en trois points au moins.
Exercices corrigés
Exercice 1 : Un CAN 10 bits a une plage de 0 à 5 V et tronque. Calcule son quantum, le code qu'il rend pour 3,2 V, et la tension que représente le code 512.
Correction :
$2^{10} = 1\,024$, donc $q = \dfrac{5}{1\,024} \approx 4{,}88$ mV.
$\dfrac{3{,}2 \times 1\,024}{5} = 655{,}36$ ; le CAN tronque, donc $N = 655$.
Le code 512 représente $512 \times \dfrac{5}{1\,024} = 2{,}5$ V : la moitié de la plage.
Exercice 2 : Un capteur de force (données fictives) délivre 0 mV à vide et 20 mV sous 500 N, de façon linéaire. On l'amplifie avant un CAN 12 bits de plage 0 à 5 V. Calcule sa sensibilité, puis le gain maximal pour que 500 N ne dépasse pas 5 V. On prend $G = 200$ : quelle est la résolution en newtons, et quelle force correspond au code 2 000 ?
Correction :
$S = \dfrac{20}{500} = 0{,}04$ mV/N. Gain maximal : $G \leqslant \dfrac{5\,000}{20} = 250$. Avec $G = 200$, 500 N donne 4 V : on garde une marge avant le code maximal.
Sensibilité à l'entrée du CAN : $200 \times 0{,}04 = 8$ mV/N. Avec $q = \dfrac{5}{4\,096} \approx 1{,}22$ mV, la résolution vaut $\dfrac{1{,}22}{8} \approx 0{,}15$ N.
Code 2 000 : $u = 2\,000 \times 1{,}2207 \approx 2\,441$ mV, donc $F = \dfrac{2\,441}{8} \approx 305$ N.
Exercice 3 : Un moteur tourne à 7 200 tr/min et un balourd (un défaut d'équilibrage) le fait vibrer à sa fréquence de rotation. Un accéléromètre échantillonné à 100 Hz, sans filtre, enregistre cette vibration. Quelle fréquence lit-on dans les données ? Quelle fréquence d'échantillonnage faudrait-il au minimum ?
Correction :
Fréquence de rotation : $\dfrac{7\,200}{60} = 120$ Hz.
120 Hz dépasse $\dfrac{f_e}{2} = 50$ Hz : il y a repliement. La plus petite des fréquences $|120 - k \times 100|$ vaut $|120 - 100| = 20$ Hz : c'est elle qu'on lit. Conclure que le moteur vibre à 20 Hz serait faux.
Shannon impose $f_e > 2 \times 120 = 240$ Hz, avec un filtre anti-repliement avant le CAN.
À retenir
À retenir :
- Chaîne de mesure : capteur, conditionnement, CAN, traitement.
- Sensibilité $S = \dfrac{\Delta s}{\Delta m}$ ; pour une Pt100, $S = R_0\,\alpha = 0{,}3851\ \Omega/{}^\circ\mathrm{C}$.
- Le conditionnement retire le décalage et amplifie : $G \leqslant \dfrac{E}{\Delta u_{\max}}$.
- Pont de Wheatstone : $u_m \approx \dfrac{E_p}{4}\,\dfrac{\Delta R}{R}$, seulement si $\Delta R \ll R$.
- Quantum $q = \dfrac{E}{2^n}$ ; résolution : $q$ divisé par la sensibilité en amont du CAN.
- $f_e > 2\,f_{\max}$, et le filtre anti-repliement avant le CAN.
- Résolution n'est pas exactitude : on étalonne.
Sources
- Programme national du BUT Mesures physiques, annexe 17, 2022, ressource R1.06 « Systèmes électriques » : texte sur education.gouv.fr.
- Vocabulaire international de métrologie (VIM), définitions de capteur, de sensibilité et de résolution : texte sur jcgm.bipm.org.
- BIPM, « Guide on Secondary Thermometry: Industrial Platinum Resistance Thermometers », mis à jour le 22 novembre 2021, courbe de la Pt100 selon la norme IEC 60751 : guide en anglais sur bipm.org.