Pour choisir un matériau, traduis le cahier des charges en fonction, contraintes et objectif, élimine les matériaux qui ne respectent pas les contraintes, puis classe les survivants avec un indice de performance. Exemple : un pied de table doit porter le plateau en se raccourcissant très peu, et peser le moins possible. Le bon critère n'est pas le module d'Young E, qui mesure la rigidité, mais E/ρ, ce module divisé par la masse volumique ρ : le plus grand E/ρ donne le pied le plus léger.
Traduire le cahier des charges
Le cahier des charges fonctionnel (CDCF) dit ce que la pièce doit faire, pas de quoi elle est faite. Traduis-le en quatre éléments, ici pour le pied de table.
| Élément | Question à te poser | Pied de table |
|---|---|---|
| Fonction | Que fait la pièce ? | Porter une force F en compression |
| Contraintes | Qu'est-ce qui est imposé ? | Hauteur h, raccourcissement élastique au plus Δh |
| Objectif | Que faut-il optimiser ? | La masse m |
| Paramètre ajustable | Que peux-tu faire varier ? | La section S |
Piège classique : « contrainte » a deux sens. Dans un cahier des charges, c'est une exigence (tenir 120 °C, résister à l'eau de mer). En résistance des matériaux, c'est une force par unité de surface, notée σ, en MPa. Et une contrainte se respecte, alors qu'un objectif s'optimise.
Le programme national du BUT SGM (version 2023) place ce travail au semestre 3, dans la ressource R3.02 « Éco-conception ».
Éliminer avec les contraintes
Certaines contraintes sont des seuils : température de service, milieu humide ou corrosif, isolation électrique, transparence. Un matériau qui ne passe pas un seuil sort de la liste, même s'il excelle ailleurs. Ce tri écarte souvent des familles entières.
| Famille | Points forts | Ce qui l'écarte souvent |
|---|---|---|
| Métaux et alliages | Rigides, tenaces, conducteurs | Denses, corrosion pour certains |
| Polymères | Légers, faciles à mouler, isolants | Peu rigides, tenue en température limitée, fluage |
| Céramiques techniques et verres | Durs, stables à chaud | Fragiles : ils cassent sans se déformer |
| Composites | Rigides et légers dans le sens des fibres | Propriétés variables selon la direction, coût, recyclage difficile |
| Bio-sourcés et agro-matériaux | Renouvelables, légers | Sensibles à l'humidité, propriétés dispersées |
La ténacité mesure la résistance à la propagation d'une fissure : le verre, peu tenace, casse net à partir d'un petit défaut. Le fluage est une déformation lente sous charge constante, sensible dès la température ambiante pour beaucoup de polymères.
Classer avec un indice de performance
Pour classer les survivants, fais disparaître le paramètre ajustable de l'objectif.
Étape 1 : écris l'objectif. La masse du pied vaut m = ρ × h × S.
Étape 2 : écris la fonction. La loi de Hooke σ = E × ε, avec ε la déformation, donne F/S = E × Δh/h, donc S = F × h/(E × Δh).
Étape 3 : remplace S dans l'objectif : m = (F × h²/Δh) × (ρ/E).
Le premier facteur est fixé par le cahier des charges, le second ne dépend que du matériau. Rendre m minimale revient à rendre E/ρ maximal.
Définition : l'indice de performance I est la partie « matériau » de l'objectif, une fois le paramètre ajustable éliminé, écrite pour être maximisée.
Voici les cas courants à masse minimale ; un tirant est une barre tendue, et σe la limite d'élasticité, contrainte au-delà de laquelle la déformation devient permanente.
| Pièce | Exigence | Paramètre ajustable | Indice à maximiser |
|---|---|---|---|
| Tirant, ou pied court en compression | Rigidité | Section | E/ρ |
| Tirant | Pas de déformation permanente | Section | σe/ρ |
| Poutre en flexion, section carrée | Rigidité | Côté de la section | E1/2/ρ |
| Plaque en flexion | Rigidité | Épaisseur | E1/3/ρ |
Pourquoi une racine pour la poutre ? Sa rigidité croît comme b⁴ (b, côté de la section), sa masse comme b² seulement : un matériau léger mais moins rigide compense en s'épaississant un peu.
Piège classique : appliquer E/ρ à tout. Deux matériaux de même E/ρ peuvent donner des poutres de masses très différentes (exercice 2). Avant de comparer, demande-toi comment la pièce travaille et ce qui est libre.
Lire une carte d'Ashby
Une carte d'Ashby place les matériaux dans un plan, par exemple ρ en abscisse et E en ordonnée, comme dans ce cours de l'IUT Lyon 1. Les propriétés s'étalent sur plusieurs puissances de 10, d'où des axes logarithmiques ; chaque famille y forme une bulle.
Ces axes transforment un indice en droite. Avec I = E/ρ, log E = log ρ + log I : à I fixé, c'est une droite de pente 1. Avec I = E1/2/ρ, E = I² × ρ², donc log E = 2 log ρ + 2 log I : pente 2. Avec E1/3/ρ, pente 3.
Trace la droite de la bonne pente, puis fais-la monter sans changer sa pente : les matériaux au-dessus battent ceux d'en dessous. Tu obtiens une courte liste de candidats, que départagent ensuite le coût et les procédés disponibles.
Exercices corrigés
Les trois exercices utilisent ces données fictives arrondies.
| Matériau | E (GPa) | ρ (kg/m³) | Prix (€/kg) |
|---|---|---|---|
| Acier | 200 | 7 800 | 1 |
| Alliage d'aluminium | 70 | 2 700 | 3 |
| Composite carbone-époxy, dans le sens des fibres | 100 | 1 600 | 30 |
Exercice 1 : Un tirant de 2 m doit transmettre 10 kN en traction en s'allongeant de 1 mm au plus. Sa section est libre et on le veut le plus léger possible. Avec les données fictives du tableau, calcule sa section et sa masse pour chaque matériau.
Correction :
C'est le pied de table en traction : S = F × L/(E × Δl) et m = ρ × L × S, avec F = 10 000 N, L = 2 m et l'allongement Δl = 0,001 m.
Acier : S = 10 000 × 2/(200 × 109 × 0,001) = 1,0 × 10-4 m² (100 mm²), et m = 7 800 × 2 × 1,0 × 10-4 = 1,56 kg.
Aluminium, de la même façon : S ≈ 2,86 × 10-4 m² (286 mm²), et m ≈ 1,543 kg.
Composite : S = 2,0 × 10-4 m² (200 mm²), et m = 0,64 kg.
Le composite l'emporte, acier et aluminium font presque jeu égal. C'est l'ordre de E/ρ, en 106 J/kg : 25,6 pour l'acier, 25,9 pour l'aluminium, 62,5 pour le composite.
Exercice 2 : On fabrique une console, poutre fixée au mur par une extrémité et chargée à l'autre. Sa longueur L et sa rigidité k = 3 × E × I/L³ sont imposées ; sa section est un carré de côté b libre, de moment quadratique I = b⁴/12. Un camarade affirme : « Acier et aluminium ont presque le même E/ρ, donc leurs consoles pèseront pareil. » Montre que la masse est proportionnelle à ρ/√E, puis, avec les données fictives du tableau, calcule malu/macier et classe les trois matériaux.
Correction :
k = E × b⁴/(4 × L³) donne b² = 2 × √(k × L³/E). Donc m = ρ × L × b² = 2 × √k × L5/2 × ρ/√E : à k et L fixés, m est proportionnelle à ρ/√E, et l'indice est E1/2/ρ.
Avec E en GPa (l'unité se simplifie dans le rapport), ρ/√E vaut 7 800/14,14 ≈ 552 pour l'acier, 2 700/8,37 ≈ 323 pour l'aluminium et 1 600/10 = 160 pour le composite.
Donc malu/macier ≈ 323/552 ≈ 0,59 : la console en aluminium pèse environ 40 % de moins. Pour le composite, 160/552 ≈ 0,29. Classement : composite, aluminium, acier. Le camarade a pris l'indice du tirant pour une poutre.
Exercice 3 : On reprend le tirant de l'exercice 1 (2 m, 10 kN, allongement de 1 mm au plus), mais l'objectif devient le coût de la matière. Avec les prix fictifs du tableau, établis l'indice à maximiser, classe les trois matériaux, puis compare avec l'exercice 1.
Correction :
Avec Cm le prix au kilogramme, le coût vaut Cm × m = (F × L²/Δl) × (Cm × ρ/E). Le premier facteur est fixé : il faut maximiser I = E/(Cm × ρ).
Avec les masses de l'exercice 1 : acier 1,56 × 1 = 1,56 € ; aluminium 1,543 × 3 ≈ 4,63 € ; composite 0,64 × 30 = 19,20 €. Classement : acier, aluminium, composite.
C'est l'ordre inverse de l'exercice 1 : aucun matériau ne gagne sur les deux objectifs. On tranche par un compromis, souvent en changeant un objectif en contrainte (un budget maximal, par exemple) avant d'optimiser l'autre.
À retenir
À retenir :
- Traduis le cahier des charges : fonction, contraintes, objectif, paramètre ajustable.
- Les contraintes éliminent, l'objectif classe.
- L'indice de performance est la partie « matériau » de l'objectif ; il se maximise.
- Il dépend de la sollicitation : E/ρ pour un tirant rigide, E1/2/ρ pour une poutre, E1/3/ρ pour une plaque.
- Sur une carte d'Ashby, un indice est une droite : plus elle est haute, meilleurs sont les matériaux qu'elle touche.
- Changer d'objectif peut changer le gagnant : le choix final est un compromis.
Sources
- Programme national du BUT Science et génie des matériaux, annexe 24, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2023 : texte sur education.gouv.fr.
- IUT Lyon 1, « Sélection des matériaux : quels outils pour faire le meilleur choix ? », support de cours : document sur univ-lyon1.fr.