Pour combler tes lacunes vite, ne relis pas tout le lycée : trouve la notion précise qui te bloque, refais-la sur des calculs courts, puis applique-la tout de suite à un exemple d'économie. Prends le coût de production de $q$ unités, $C(q) = q^2 + 4q + 100$ : si tu ne sais pas en tirer le coût marginal (le coût d'une unité de plus) $C'(q) = 2q + 4$, ta lacune est la dérivée, pas l'économie.
Les outils repris ici servent dès les premiers cours d'économie : les puissances, la dérivée, la recherche d'un maximum, puis les fonctions de deux variables. Quatre exercices corrigés terminent la page.
Trouver la notion qui bloque
Avant de reprendre un chapitre entier, reprends ta dernière copie ou ton dernier TD (travaux dirigés). Pour chaque erreur, cherche la règle de maths précise qui t'a manqué. Le tableau t'aide à la nommer.
| Ce que tu constates | Ce qui te manque |
|---|---|
| $(q+2)^2 = q^2 + 4$ | Les identités remarquables |
| Tu bloques devant $\sqrt{x}$ ou $\dfrac{1}{x^2}$ dans une dérivée | L'écriture en puissance : $x^{0{,}5}$ et $x^{-2}$ |
| $\left((2q+1)^3\right)' = 3(2q+1)^2$ | La dérivée d'une composée : il manque le facteur 2 |
| Tu résous $f'(q) = 0$ sans savoir conclure | Le lien entre le signe de la dérivée et les variations |
Note chaque erreur dans un carnet, avec la règle juste et un exemple. Si la même ligne revient d'un TD à l'autre, c'est elle que tu travailles en premier.
Calculer avec les puissances
En économie, les fonctions portent souvent des exposants non entiers, comme $x^{0{,}5}$. Tant que les puissances ne sont pas sûres, chaque dérivée devient un piège.
Formule : pour $x > 0$ et deux réels $a$ et $b$,
$$x^a \times x^b = x^{a+b} \qquad \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$ $$(x^a)^b = x^{ab} \qquad x^{-a} = \frac{1}{x^a}$$ $$x^{0{,}5} = \sqrt{x} \qquad \ln(x^a) = a \ln x$$
Si tu en oublies une, retrouve-la avec des exposants entiers : $x^2 \times x^3 = (x \times x) \times (x \times x \times x) = x^5$. On compte les facteurs, et $2 + 3 = 5$. De même, $x^{0{,}5} \times x^{0{,}5} = x^1 = x$ : $x^{0{,}5}$ est le nombre positif dont le carré vaut $x$, c'est-à-dire $\sqrt{x}$.
La dernière formule sert quand l'inconnue est dans l'exposant : le logarithme la fait descendre. Un capital placé à 3 % par an à intérêts composés (les intérêts de chaque année rapportent à leur tour) est multiplié par $1{,}03^n$ en $n$ ans. Il double quand $1{,}03^n = 2$, soit $n \ln 1{,}03 = \ln 2$ et $n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4$ : il faut 24 ans.
Piège classique : $(a+b)^2$ n'est pas $a^2 + b^2$. Il manque le double produit : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Le réflexe qui te sauve, c'est le test avec de petits nombres : pour $a = b = 1$, $(1+1)^2 = 4$ alors que $1^2 + 1^2 = 2$. Le même test démasque $\sqrt{9 + 16} = 5$, qui n'est pas $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.
La dérivée, outil du marginal
En économie, « marginal » veut dire « pour une unité de plus ». Avec $C(q) = q^2 + 4q + 100$, passer de 10 à 11 unités coûte $C(11) - C(10) = 265 - 240 = 25$. La dérivée donne presque la même chose : $C'(10) = 2 \times 10 + 4 = 24$.
La raison : $C'(10)$ est la pente de la tangente à la courbe en $q = 10$, et sur un pas de 1, la courbe s'écarte peu de sa tangente. C'est pourquoi les cours d'économie prennent la dérivée $C'(q)$ comme coût marginal. Recette marginale, utilité marginale : chaque fois, c'est une dérivée.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $x^a$ | $a\,x^{a-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $u \times v$ | $u'v + uv'$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| $u^a$ | $a\,u'\,u^{a-1}$ |
| $e^{u}$ | $u'\,e^{u}$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ |
Dès qu'il y a un logarithme ou un exposant non entier, la variable doit être strictement positive, et un quotient demande $v \neq 0$. Les trois dernières lignes sont des dérivées de composées : on dérive la fonction extérieure, puis on multiplie par $u'$. C'est ce facteur qu'on oublie dans $\left((2q+1)^3\right)'$, qui vaut $3 \times 2 \times (2q+1)^2 = 6(2q+1)^2$.
Trouver un maximum
Maximiser un profit, minimiser un coût : en économie, on cherche sans arrêt le meilleur choix. Au sommet d'une courbe, la tangente est horizontale, donc sa pente, la dérivée, vaut 0. Le profit, recette moins coût, se note souvent $\Pi$ (la lettre grecque pi, en majuscule).
Étape 1 : Écris la fonction à optimiser, par exemple $\Pi(q) = R(q) - C(q)$, où $R(q)$ est la recette.
Étape 2 : Calcule sa dérivée et résous $\Pi'(q) = 0$.
Étape 3 : Vérifie qu'il s'agit d'un maximum, par le signe de $\Pi'$ de part et d'autre ou par la dérivée seconde.
Étape 4 : Réponds à la question posée, avec son unité.
Piège classique : une dérivée nulle ne prouve pas un maximum, car au fond d'un creux aussi la tangente est horizontale. Si $\Pi''(q) < 0$ sur tout l'intervalle étudié, la fonction est concave : sa courbe reste sous chacune de ses tangentes, donc sous la tangente horizontale, et le point où $\Pi'$ s'annule est bien le maximum.
Les fonctions de deux variables
En microéconomie, la satisfaction d'un consommateur dépend de deux quantités de biens, $x$ et $y$ : on l'écrit $U(x,y)$ et on l'appelle fonction d'utilité. Pour savoir comment elle réagit quand seul $x$ change, on fige $y$.
Définition : la dérivée partielle de $U$ par rapport à $x$, notée $\dfrac{\partial U}{\partial x}$ (on lit « d rond $U$ sur d rond $x$ »), se calcule en traitant $y$ comme un nombre fixe, puis en dérivant en $x$ comme d'habitude.
Exemple : pour $U(x,y) = x^{0{,}5}\,y^{0{,}5}$, le facteur $y^{0{,}5}$ joue le rôle d'une constante multiplicative et reste en place : $\dfrac{\partial U}{\partial x} = 0{,}5\,x^{-0{,}5}\,y^{0{,}5}$.
Rien de neuf, donc : si tu dérives bien à une variable, tu dérives bien à deux. Le seul nouveau réflexe consiste à regarder chaque terme. Celui qui ne contient pas la variable de dérivation, comme $3y^2$ quand on dérive par rapport à $x$, a une dérivée nulle.
Organiser ton rattrapage
Travaille les notions dans l'ordre où elles s'appuient l'une sur l'autre : le calcul, la dérivée, le maximum, puis les deux variables. Une bonne séance tient en deux temps : une série de calculs courts sans calculatrice sur la notion, puis un exercice d'économie qui l'utilise.
Prépare chaque TD avant la séance. Même si tu bloques à la première question, tu sauras où tu bloques, et la correction répondra à une vraie question. Pendant la correction, note les étapes du raisonnement plutôt que de tout recopier.
Pour retrouver un cours, ouvre un manuel de lycée : d'après le programme de spécialité de terminale, la dérivation, commencée en première, s'y étend à la dérivée d'une composée et à la dérivée seconde, avec la convexité. L'option mathématiques complémentaires, pensée entre autres pour les études d'économie, cite même le coût marginal parmi ses exemples de problèmes.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un partiel. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Pour $x > 0$, écris $A = \dfrac{x^3\sqrt{x}}{x^2}$ et $B = \dfrac{1}{x\sqrt{x}}$ sous la forme $x^a$, puis dérive $A$ et $B$.
Correction :
On remplace $\sqrt{x}$ par $x^{0{,}5}$, puis on additionne ou on soustrait les exposants : $A = x^{3 + 0{,}5 - 2} = x^{1{,}5}$ et $B = \dfrac{1}{x^{1{,}5}} = x^{-1{,}5}$.
Avec $(x^a)' = a\,x^{a-1}$ : $A' = 1{,}5\,x^{0{,}5} = 1{,}5\sqrt{x}$ et $B' = -1{,}5\,x^{-2{,}5}$.
Exercice 2 : Soit $f(x,y) = x^2y + 3y^2 + 5x$. Calcule $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}$.
Correction :
Par rapport à $x$, $y$ est un nombre fixe. Le terme $x^2y$ donne $2xy$, le terme $3y^2$ ne contient pas $x$ et donne 0, le terme $5x$ donne 5. Donc $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 5$.
Par rapport à $y$, c'est $x$ qui est fixe : $x^2y$ donne $x^2$, $3y^2$ donne $6y$ et $5x$ donne 0. Donc $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y$.
Écrire $2xy + 6y + 5$ pour la première, c'est dériver $3y^2$ alors qu'il ne bouge pas quand $x$ varie : c'est l'erreur que cet exercice vise.
Exercice 3 : Une entreprise vend chaque unité de son produit 60 €. Son coût total pour $q$ unités, en euros, est $C(q) = q^2 + 20q + 100$, avec $q \geqslant 0$.
a) Calcule le coût marginal pour $q = 10$ et interprète-le.
b) Quelle quantité maximise le profit ? Quel est ce profit maximal ?
Correction :
a) $C'(q) = 2q + 20$, donc $C'(10) = 40$ : produire la onzième unité coûte environ 40 €. Le calcul exact, $C(11) - C(10) = 441 - 400 = 41$, le confirme à 1 € près.
b) Le profit est la recette moins le coût : $\Pi(q) = 60q - (q^2 + 20q + 100) = -q^2 + 40q - 100$. Sa dérivée $\Pi'(q) = -2q + 40$ s'annule pour $q = 20$. Comme $\Pi''(q) = -2 < 0$, la fonction $\Pi$ est concave et $q = 20$ donne bien le maximum.
$\Pi(20) = -400 + 800 - 100 = 300$. Le profit maximal est de 300 €, atteint pour 20 unités.
Remarque : $C'(20) = 60$, le prix de vente. Au maximum, la dernière unité coûte autant qu'elle rapporte.
Exercice 4 : Un consommateur a pour fonction d'utilité $U(x,y) = x^{0{,}5}\,y^{0{,}5}$, avec $x > 0$ et $y > 0$. Calcule $\dfrac{\partial U}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial U}{\partial y}$ pour $x = 4$ et $y = 9$, puis le quotient de la première par la seconde en ce point.
Correction :
$\dfrac{\partial U}{\partial x} = 0{,}5\,x^{-0{,}5}\,y^{0{,}5}$. Ici $4^{-0{,}5} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$ et $9^{0{,}5} = 3$, donc $\dfrac{\partial U}{\partial x} = 0{,}5 \times \dfrac{1}{2} \times 3 = 0{,}75$.
De même, $\dfrac{\partial U}{\partial y} = 0{,}5\,x^{0{,}5}\,y^{-0{,}5} = 0{,}5 \times 2 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$.
Le quotient vaut $0{,}75 \times 3 = 2{,}25$. En simplifiant les puissances, il vaut $\dfrac{y}{x}$ en tout point, et $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ confirme le calcul. En microéconomie, ce quotient des utilités marginales donne le taux marginal de substitution : à peu près la quantité de $y$ que le consommateur accepte de céder contre une unité de $x$ en plus, à satisfaction égale.
À retenir
À retenir :
- Pour chaque erreur, nomme la règle de maths qui manque, et travaille d'abord celle qui revient.
- Écris racines et inverses en puissances : $\sqrt{x} = x^{0{,}5}$ et $\dfrac{1}{x^a} = x^{-a}$.
- « Marginal » se traduit par une dérivée : le coût marginal, c'est $C'(q)$.
- Un maximum se cherche avec $f'(q) = 0$, puis se confirme par le signe de $f'$ ou par $f'' < 0$.
- Une dérivée partielle se calcule en figeant l'autre variable.
Sources
- Programme d'enseignement optionnel de mathématiques complémentaires de terminale générale : texte sur eduscol.
- Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale : texte sur eduscol.