En prépa, « $u_n$ tend vers $\ell$ » se démontre avec la définition : pour chaque $\varepsilon>0$, tu dois trouver un rang $N$ à partir duquel $|u_n-\ell|\leqslant\varepsilon$. La méthode : majore $|u_n-\ell|$ par une expression simple qui tend vers 0, puis lis $N$ dessus. Exemple : pour $u_n=\dfrac{3n-1}{n+2}$ et $n\geqslant1$, on a $|u_n-3|=\dfrac{7}{n+2}<\dfrac{7}{n}$, donc tout entier $N\geqslant\dfrac{7}{\varepsilon}$ convient.
La définition, quantificateur par quantificateur
Définition : la suite réelle $(u_n)$ tend vers le réel $\ell$ si
$$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geqslant N,\ |u_n-\ell|\leqslant\varepsilon.$$
Elle tend vers $+\infty$ si $\forall A\in\mathbb{R},\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geqslant N,\ u_n\geqslant A$.
Lis-la comme un défi. On te fixe une marge $\varepsilon$, aussi petite qu'on veut : c'est la précision exigée. Tu réponds par un rang $N$, et à partir de ce rang, tous les termes sans exception tombent dans l'intervalle $[\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon]$.
Une suite qui a une limite finie est dite convergente ; sinon, elle est divergente. Le programme de MPSI et MP2I énonce ces définitions avec des inégalités larges. Certains livres écrivent $|u_n-\ell|<\varepsilon$ : cela revient au même, puisque $\varepsilon$ est quelconque.
Piège classique : $N$ vient après $\varepsilon$, il a donc le droit d'en dépendre, et en général il en dépend. Si tu inverses, « $\exists N,\ \forall\varepsilon>0,\ \forall n\geqslant N,\ |u_n-\ell|\leqslant\varepsilon$ », tu affirmes que $|u_n-\ell|$ est inférieur à tous les $\varepsilon$ à la fois, donc nul : la suite serait égale à $\ell$ à partir du rang $N$.
La méthode pour trouver un rang
Personne ne te demande le plus petit rang : n'importe quel rang qui convient suffit. Tu remplaces donc $|u_n-\ell|$ par une quantité plus grande et plus simple, sous la forme $|u_n-\ell|\leqslant v_n$ avec $v_n\to0$, celle que cite le programme. Si l'énoncé ne t'impose pas la définition, cette majoration suffit déjà, car le théorème d'encadrement conclut ; sinon, tu lis $N$ sur $v_n$. Pour majorer une fraction positive, majore son numérateur et minore son dénominateur par un nombre strictement positif. Toute la chaîne d'inégalités va dans le même sens, de $|u_n-\ell|$ vers $\varepsilon$ : une minoration de $|u_n-\ell|$ ne prouve rien.
Exemple avec $u_n=\dfrac{2n+\sin n}{n+1}$, qui tend vers 2 :
Étape 1 : simplifie l'écart : $u_n-2=\dfrac{2n+\sin n-2n-2}{n+1}=\dfrac{\sin n-2}{n+1}$.
Étape 2 : majore. Comme $-1\leqslant\sin n\leqslant1$, on a $|\sin n-2|\leqslant3$, et $n+1>n$. Donc, pour $n\geqslant1$, $|u_n-2|\leqslant\dfrac{3}{n}$.
Étape 3 : lis le rang. $\dfrac{3}{n}<\varepsilon$ dès que $n>\dfrac{3}{\varepsilon}$, ce que garantit $n\geqslant N$ avec $N=\left\lfloor\dfrac{3}{\varepsilon}\right\rfloor+1$. Ici $\lfloor x\rfloor$ est la partie entière de $x$, le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
Étape 4 : rédige dans l'ordre des quantificateurs. « Soit $\varepsilon>0$. Posons $N=\left\lfloor\frac{3}{\varepsilon}\right\rfloor+1$. Soit $n\geqslant N$. Alors $n>\frac{3}{\varepsilon}>0$, donc $n\geqslant1$ et $|u_n-2|\leqslant\frac{3}{n}<\varepsilon$. Donc $u_n\to2$. »
Se servir d'une limite connue
Quand la limite est une hypothèse, les rôles s'inversent : c'est toi qui choisis $\varepsilon$, celui qui t'arrange, et la définition te donne un rang. Voici comment se démontre ce résultat du programme :
Propriété : si $(u_n)$ converge vers $\ell>0$, alors $u_n>0$ à partir d'un certain rang.
Prends $\varepsilon=\dfrac{\ell}{2}$, strictement positif. À partir d'un certain rang, $|u_n-\ell|\leqslant\dfrac{\ell}{2}$, donc $u_n\geqslant\ell-\dfrac{\ell}{2}=\dfrac{\ell}{2}>0$.
Avec deux suites, tu prends un rang pour chacune, $N_1$ et $N_2$, puis le plus grand des deux. Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'$, la marge $\dfrac{\varepsilon}{2}$ pour chacune et l'inégalité triangulaire $|a+b|\leqslant|a|+|b|$ donnent $|u_n+v_n-(\ell+\ell')|\leqslant\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ à partir du rang $\max(N_1,N_2)$. C'est la preuve que la limite d'une somme est la somme des limites.
Même réflexe pour un produit. Si $|u_n|\leqslant M$ pour tout $n$, avec $M>0$, et si $v_n\to0$, applique la définition de $v_n\to0$ avec la marge $\dfrac{\varepsilon}{M}$. À partir du rang obtenu, $|u_nv_n|\leqslant M\times\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$ : une suite bornée multipliée par une suite de limite nulle tend vers 0. Par exemple, $\dfrac{\sin n}{n}\to0$.
Prouver qu'une suite n'a pas de limite
Pour montrer que $(u_n)$ ne tend pas vers un $\ell$ donné, écris la négation de la définition. Chaque « pour tout » devient « il existe », chaque « il existe » devient « pour tout », et $\leqslant\varepsilon$ devient $>\varepsilon$ :
$$\exists\varepsilon>0,\ \forall N\in\mathbb{N},\ \exists n\geqslant N,\ |u_n-\ell|>\varepsilon.$$
Pour prouver qu'une suite n'a aucune limite, tester chaque $\ell$ est sans issue. L'outil, ce sont les suites extraites. Une suite extraite de $(u_n)$ est une suite $(u_{\varphi(n)})$, où $\varphi$ est strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ : elle garde une infinité de termes, dans l'ordre, comme $(u_{2n})$ pour les rangs pairs ou $(u_{3n})$ pour un rang sur trois.
Propriété : si $(u_n)$ a une limite, finie ou infinie, toutes ses suites extraites ont la même. Deux suites extraites de limites différentes prouvent donc que $(u_n)$ n'a pas de limite.
Exemple : $u_n=(-1)^n\dfrac{n}{n+1}$. Aux rangs pairs, $u_{2n}=\dfrac{2n}{2n+1}\to1$ ; aux rangs impairs, $u_{2n+1}=-\dfrac{2n+1}{2n+2}\to-1$. Donc $(u_n)$ n'a pas de limite, ni finie ni infinie.
Piège classique : une seule suite extraite convergente ne prouve rien : ici, $(u_{2n})$ tend vers 1, et pourtant $(u_n)$ n'a pas de limite. La réciproque, elle, demande les deux moitiés : si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ tendent toutes deux vers $\ell$, alors $(u_n)$ tend vers $\ell$. Tu la démontres à l'exercice 4.
Exercices corrigés
Quatre exercices, d'une précision chiffrée jusqu'au niveau d'un devoir surveillé. Rédige chaque preuve en entier avant d'ouvrir sa correction.
Exercice 1 : Une imprimante 3D demande 30 euros de réglage, puis 2 euros de matière par pièce (données fictives). Pour $n$ pièces, le coût moyen d'une pièce vaut donc $c_n=\dfrac{30+2n}{n}$ euros.
a) À partir de combien de pièces ce coût moyen dépasse-t-il 2 euros d'un centime au plus ?
b) Montre avec la définition que $c_n\to2$.
Correction :
a) $c_n-2=\dfrac{30}{n}$, qui est positif. On veut $\dfrac{30}{n}\leqslant0{,}01$, soit $n\geqslant\dfrac{30}{0{,}01}=3\,000$. Il faut au moins 3 000 pièces.
b) C'est la question a) avec une précision $\varepsilon$ quelconque. Soit $\varepsilon>0$ ; posons $N=\left\lfloor\dfrac{30}{\varepsilon}\right\rfloor+1$. Pour $n\geqslant N$, on a $n>\dfrac{30}{\varepsilon}$, donc $|c_n-2|=\dfrac{30}{n}<\varepsilon$ : $c_n\to2$. Pour $\varepsilon=0{,}01$, ce $N$ vaut 3 001 et non 3 000 : un rang qui convient, pas le plus petit, et c'est permis.
Exercice 2 : Soit $u_n=n-2\sqrt{n}$ pour $n\in\mathbb{N}$. Montre que $u_n\geqslant\dfrac{n}{2}$ pour $n\geqslant16$, puis montre avec la définition que $u_n\to+\infty$.
Correction :
Si $n\geqslant16$, alors $\sqrt{n}\geqslant4$, donc $n=\sqrt{n}\times\sqrt{n}\geqslant4\sqrt{n}$, soit $2\sqrt{n}\leqslant\dfrac{n}{2}$. D'où $u_n\geqslant n-\dfrac{n}{2}=\dfrac{n}{2}$.
Vers $+\infty$, on minore au lieu de majorer. Soit $A\in\mathbb{R}$ ; posons $N=\max\left(16,\,\lfloor2|A|\rfloor+1\right)$. Pour $n\geqslant N$ : comme $n\geqslant16$, $u_n\geqslant\dfrac{n}{2}$ ; comme $n>2|A|$, $\dfrac{n}{2}>|A|\geqslant A$. Donc $u_n\geqslant A$ : $u_n\to+\infty$. Quand le rang doit remplir deux conditions, tu prends le plus grand des deux rangs.
Exercice 3 : Vrai ou faux : « si $u_n<1$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell<1$ » ? Justifie, puis démontre la version juste.
Correction :
Faux. La suite $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}$ vérifie $u_n<1$ pour tout $n$, et pourtant elle tend vers 1. À la limite, une inégalité stricte devient large : la version juste conclut $\ell\leqslant1$.
Preuve par l'absurde : suppose $\ell>1$ et prends $\varepsilon=\ell-1>0$. À partir d'un certain rang, $|u_n-\ell|\leqslant\ell-1$, donc $u_n\geqslant\ell-(\ell-1)=1$, ce qui contredit $u_n<1$. Donc $\ell\leqslant1$.
Exercice 4 : a) Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $(u_{2p})$ et $(u_{2p+1})$ tendent toutes deux vers le réel $\ell$. Montre avec la définition que $(u_n)$ tend vers $\ell$.
b) La suite définie par $w_n=\cos\left(\dfrac{2n\pi}{3}\right)$ a-t-elle une limite ?
Correction :
a) Soit $\varepsilon>0$. Il existe $N_1$ tel que $|u_{2p}-\ell|\leqslant\varepsilon$ pour tout $p\geqslant N_1$, et $N_2$ tel que $|u_{2p+1}-\ell|\leqslant\varepsilon$ pour tout $p\geqslant N_2$. Posons $N=\max(2N_1,\,2N_2+1)$ et prenons $n\geqslant N$. Si $n=2p$ est pair, $2p\geqslant2N_1$ donne $p\geqslant N_1$. Si $n=2p+1$ est impair, $2p+1\geqslant2N_2+1$ donne $p\geqslant N_2$. Dans les deux cas, $|u_n-\ell|\leqslant\varepsilon$ : $(u_n)$ tend vers $\ell$. Les deux erreurs à éviter : un seul rang pour les deux suites extraites, et un rang $p$ jamais traduit en rang $n$.
b) Non. $w_{3p}=\cos(2p\pi)=1$ et $w_{3p+1}=\cos\left(2p\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$. Deux suites extraites constantes, de limites différentes : $(w_n)$ n'a pas de limite. Pour choisir tes suites extraites, suis la période de la suite, ici 3.
À retenir
À retenir :
- $u_n\to\ell$ : pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rang $N$, qui dépend de $\varepsilon$, à partir duquel $|u_n-\ell|\leqslant\varepsilon$.
- Pour le prouver, majore $|u_n-\ell|$ par une expression simple qui tend vers 0, puis lis $N$ dessus. Le plus petit rang n'est jamais exigé.
- Pour $u_n\to+\infty$, minore $u_n$ par une expression qui tend vers $+\infty$.
- Limite en hypothèse : c'est toi qui choisis $\varepsilon$. Deux conditions sur le rang : tu prends le plus grand.
- À la limite, une inégalité stricte devient large.
- Deux suites extraites de limites différentes : la suite n'a pas de limite.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, parties « Raisonnement et vocabulaire ensembliste » et « Nombres réels et suites numériques » : texte sur education.gouv.fr.