La courbe d'une fonction affine $f(x) = mx + p$ est une droite, d'équation $y = mx + p$ : elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,p)$, et chaque fois que $x$ augmente de $1$, elle monte de $m$ (elle descend si $m$ est négatif). Par exemple, la droite qui coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,-2)$ et monte de $3$ quand $x$ augmente de $1$ a pour équation $y = 3x - 2$ : c'est la courbe de $f(x) = 3x - 2$. Quand la droite passe par l'origine du repère, $p = 0$ et la fonction est linéaire.
Objectifs du cours :
- Lire sur un graphique le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une droite, puis écrire son équation réduite.
- Vérifier par le calcul qu'un point est sur une droite, ou que trois points sont alignés.
- Dire si deux droites sont parallèles ou sécantes, et calculer leur point d'intersection.
Prérequis : savoir ce qu'est une fonction affine, placer un point dans un repère et résoudre une équation comme $4x - 5 = 7$.
I. Lire une droite sur un graphique
Définition : Dans un repère, la droite d'équation $y = mx + p$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ dont les coordonnées vérifient cette égalité : c'est la courbe de la fonction affine $f(x) = mx + p$. Le nombre $m$ est son coefficient directeur, aussi appelé pente, et $p$ son ordonnée à l'origine.
Cette écriture, avec $y$ seul d'un côté, s'appelle l'équation réduite de la droite. Si tu as appris $f(x) = ax + b$, ce sont les mêmes nombres sous d'autres lettres : le programme de seconde écrit $mx + p$.
L'ordonnée à l'origine se lit là où la droite coupe l'axe des ordonnées : en ce point, $x = 0$, donc $y = p$. Si ce point tombe entre deux graduations, ne devine pas : calcule $p$ à partir d'un point connu, comme dans la partie II.
Pour le coefficient directeur, choisis deux points de la droite placés sur des nœuds du quadrillage, là où leurs coordonnées se lisent sans hésiter. Va du premier au second, de gauche à droite, en deux temps : d'abord horizontalement, puis verticalement. Le coefficient directeur est le déplacement vertical (négatif si tu descends) divisé par le déplacement horizontal.
Ce quotient ne dépend pas des deux points choisis, car sur cette droite l'écart des ordonnées vaut toujours $m$ fois l'écart des abscisses : c'est la formule $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, appliquée avec les yeux. Si tu ne sais plus dans quel sens va la fraction, repars de la définition : quand $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $m$.
Exemple : Une droite passe par les nœuds $(-4\,;\,1)$ et $(2\,;\,4)$. Du premier au second, tu avances de $6$ et tu montes de $3$ : $m = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,3)$, donc $p = 3$ et son équation réduite est $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. Contrôle avec le premier point : $\dfrac{1}{2} \times (-4) + 3 = 1$.
Piège classique : Compter les carreaux sans lire les graduations. Si un carreau vaut $1$ sur l'axe des abscisses et $50$ sur l'axe des ordonnées, une droite qui monte de $2$ carreaux quand elle avance d'un carreau a pour coefficient directeur $\dfrac{2 \times 50}{1} = 100$, et non $2$. Les déplacements se mesurent dans les unités des axes.
Le cas linéaire : un seul point suffit
Une droite non verticale qui passe par l'origine du repère a une ordonnée à l'origine nulle : elle représente une fonction linéaire $f(x) = mx$. Un seul autre point $A(x_A\,;\,y_A)$, avec $x_A \neq 0$, suffit alors : de $y_A = m\,x_A$, tu tires $m = \dfrac{y_A}{x_A}$. La droite qui passe par l'origine et par $A(5\,;\,-2)$ représente ainsi $f(x) = -\dfrac{2}{5}x$, soit $f(x) = -0{,}4x$.
II. Tester un point, prouver un alignement
Un point $M(x_M\,;\,y_M)$ appartient à la droite d'équation $y = mx + p$ si et seulement si $y_M = m\,x_M + p$. En pratique, tu remplaces $x$ par l'abscisse du point, tu calcules, puis tu compares le résultat à son ordonnée.
Prends la droite $(d)$ d'équation $y = -3x + 7$. Pour $A(2\,;\,1)$ : $-3 \times 2 + 7 = 1$, l'ordonnée de $A$, donc $A \in (d)$ (le symbole $\in$ se lit « appartient à »). Pour $B(-1\,;\,4)$ : $-3 \times (-1) + 7 = 10$, et $10 \neq 4$, donc $B \notin (d)$. L'erreur classique consiste à remplacer $x$ par l'ordonnée du point : l'abscisse entre dans le calcul, l'ordonnée sert à comparer.
La même équation complète un point dont tu ne connais qu'une coordonnée. Le point de $(d)$ d'ordonnée $-5$ vérifie $-3x + 7 = -5$, soit $-3x = -12$, donc $x = 4$ : c'est $(4\,;\,-5)$.
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés quand $C$ est sur la droite $(AB)$. Si $x_A \neq x_B$, calcule $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, trouve $p$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ ou de $B$, puis teste $C$.
Avec $A(-3\,;\,-4)$, $B(1\,;\,2)$ et $C(5\,;\,8)$ : $m = \dfrac{2 - (-4)}{1 - (-3)} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$. Avec $B$, l'égalité $2 = 1{,}5 \times 1 + p$ donne $p = 0{,}5$, donc $(AB)$ a pour équation $y = 1{,}5x + 0{,}5$. Pour $C$ : $1{,}5 \times 5 + 0{,}5 = 8$, son ordonnée, donc les trois points sont alignés. En revanche, $D(3\,;\,6)$ donne $1{,}5 \times 3 + 0{,}5 = 5 \neq 6$ : $A$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés, même si un croquis rapide peut le laisser croire.
III. Droites verticales et équations cartésiennes
Propriété : Dans un repère, une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une seule équation de la forme $y = mx + p$ : c'est la courbe d'une fonction affine. Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $x = k$, où $k$ est un réel : elle n'est la courbe d'aucune fonction.
Sur une droite verticale, tous les points ont la même abscisse $k$ mais des ordonnées différentes. Or une fonction associe à chaque nombre une seule image : aucune ne peut passer à la fois par $(k\,;\,0)$ et par $(k\,;\,1)$. Le calcul de la pente bute d'ailleurs sur une division par $x_B - x_A = 0$. C'est pourquoi le programme de mathématiques de seconde, applicable à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027, parle de la pente d'une droite « non parallèle à l'axe des ordonnées ».
Ne confonds pas $x = 4$, une droite verticale, et $y = 4$, une droite horizontale : la seconde est la courbe de la fonction constante égale à $4$, avec $m = 0$ et $p = 4$.
Le même programme ajoute l'équation cartésienne : $ax + by + c = 0$, où $a$ et $b$ ne sont pas nuls tous les deux. Elle décrit toutes les droites, verticales comprises. Si $b \neq 0$, isole $y$ pour retrouver l'équation réduite : $2x + 3y - 12 = 0$ donne $3y = -2x + 12$, puis $y = -\dfrac{2}{3}x + 4$. Si $b = 0$, la droite est verticale : $5x - 15 = 0$ équivaut à $x = 3$.
Pour tracer une droite donnée par une équation cartésienne, ses points sur les axes sont souvent les plus rapides. Avec $2x + 3y - 12 = 0$, $x = 0$ donne $y = 4$ et $y = 0$ donne $x = 6$ : il reste à relier $(0\,;\,4)$ et $(6\,;\,0)$.
Piège classique : Lire la pente dans l'équation cartésienne. Dans $2x + 3y - 12 = 0$, le coefficient directeur n'est ni $2$ ni $3$ mais $-\dfrac{2}{3}$ : il n'apparaît qu'une fois $y$ isolé. Ces lettres $a$ et $b$ n'ont rien à voir avec celles de $f(x) = ax + b$.
IV. Droites parallèles ou sécantes
Propriété : Soit $(d)$ la droite d'équation $y = mx + p$ et $(d')$ celle d'équation $y = m'x + p'$. Si $m = m'$, elles sont parallèles, et même confondues si de plus $p = p'$. Si $m \neq m'$, elles sont sécantes : elles se coupent en un seul point.
Si $m = m'$, à une même abscisse $x$, l'écart vertical entre les deux droites vaut $(mx + p) - (mx + p') = p - p'$, quel que soit $x$. Si $p \neq p'$, cet écart n'est jamais nul : aucun point commun, les droites sont parallèles. Si $m \neq m'$, l'équation $mx + p = m'x + p'$ s'écrit $(m - m')x = p' - p$, qui a une seule solution puisque $m - m' \neq 0$.
Le parallélisme se lit donc sur $m$, jamais sur $p$ : $y = 2x + 1$ et $y = -x + 1$ ont la même ordonnée à l'origine, et elles se coupent justement en $(0\,;\,1)$.
Pour trouver le point d'intersection de deux droites sécantes, écris qu'en ce point elles ont la même ordonnée : égalise les deux expressions, résous en $x$, puis calcule $y$ avec une équation et contrôle avec l'autre.
Exemple : $(d_1) : y = 2x - 5$ et $(d_2) : y = -x + 7$ ont des coefficients directeurs différents, $2$ et $-1$ : elles sont sécantes. L'égalité $2x - 5 = -x + 7$ donne $3x = 12$, soit $x = 4$. Puis $y = 2 \times 4 - 5 = 3$, et $(d_2)$ confirme : $-4 + 7 = 3$. Le point d'intersection est $(4\,;\,3)$ : un point a deux coordonnées, ne t'arrête pas à $x = 4$.
Côté fonctions, avec $f(x) = 2x - 5$ et $g(x) = -x + 7$, tu viens de résoudre $f(x) = g(x)$ : sur un graphique, ses solutions sont les abscisses des points d'intersection. Et $f(x) > g(x)$ là où la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$, ici à droite de $x = 4$, puisque la première monte et la seconde descend. Le calcul confirme : $2x - 5 > -x + 7$ donne $3x > 12$, soit $x > 4$. Les solutions forment l'intervalle $]4\,;\,+\infty[$.
V. Exercices corrigés
Cherche chaque exercice sur ta feuille, repère dessiné, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Sur un graphique, on lit que la droite $(d)$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,-3)$ et passe par le nœud $(2\,;\,2)$. Donne son équation réduite et dis si elle représente une fonction linéaire. Le point $E(-2\,;\,-8)$ est-il sur $(d)$ ? Calcule enfin les coordonnées du point où $(d)$ coupe l'axe des abscisses.
Correction :
De $(0\,;\,-3)$ à $(2\,;\,2)$, tu avances de $2$ et tu montes de $5$ : $m = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Avec $p = -3$, l'équation réduite est $y = 2{,}5x - 3$. Comme $p \neq 0$, la droite ne passe pas par l'origine : la fonction est affine, mais pas linéaire.
Pour $E$ : $2{,}5 \times (-2) - 3 = -5 - 3 = -8$, c'est son ordonnée, donc $E \in (d)$.
Sur l'axe des abscisses, $y = 0$ : $2{,}5x - 3 = 0$ donne $x = \dfrac{3}{2{,}5} = 1{,}2$. Le point cherché est $(1{,}2\,;\,0)$. Sur le dessin, tu lirais seulement « un peu plus de $1$ » : le calcul donne la valeur exacte.
Exercice 2 : On donne les droites $(d_1) : y = \dfrac{3}{4}x + 1$ et $(d_2) : 6x - 8y + 5 = 0$. Écris l'équation réduite de $(d_2)$, puis dis si $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, confondues ou sécantes. Donne enfin l'équation réduite de la droite $(d_3)$ parallèle à $(d_1)$ qui passe par $A(4\,;\,0)$.
Correction :
$6x - 8y + 5 = 0$ donne $-8y = -6x - 5$. En divisant par $-8$ : $y = \dfrac{6}{8}x + \dfrac{5}{8}$, soit $y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{8}$.
Les deux droites ont le même coefficient directeur $\dfrac{3}{4}$, mais des ordonnées à l'origine différentes, $1$ et $\dfrac{5}{8}$ : elles sont parallèles, sans être confondues.
$(d_3)$ a aussi pour coefficient directeur $\dfrac{3}{4}$. Elle passe par $A$, donc $0 = \dfrac{3}{4} \times 4 + p = 3 + p$, d'où $p = -3$ : $(d_3)$ a pour équation $y = \dfrac{3}{4}x - 3$.
Exercice 3 : Soit $f(x) = 3x + 1$ et $g(x) = -2x + 11$. Calcule les coordonnées du point d'intersection de leurs droites représentatives, puis résous $f(x) \leqslant g(x)$ et explique le résultat avec les deux droites.
Correction :
Les coefficients directeurs $3$ et $-2$ sont différents : les droites sont sécantes. L'égalité $3x + 1 = -2x + 11$ donne $5x = 10$, soit $x = 2$, puis $y = 3 \times 2 + 1 = 7$. Contrôle : $g(2) = -4 + 11 = 7$. Le point d'intersection est $(2\,;\,7)$.
$3x + 1 \leqslant -2x + 11$ donne $5x \leqslant 10$, soit $x \leqslant 2$ : on divise par $5$, un nombre positif, donc le sens ne change pas. Les solutions forment l'intervalle $]-\infty\,;\,2]$.
Sur le graphique, la droite de $f$ monte et celle de $g$ descend : à gauche de leur point commun, la droite de $f$ est en dessous. Le nombre $2$ est compris, car l'inégalité est large et $f(2) = g(2)$.
À retenir
À retenir :
- La droite d'équation $y = mx + p$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,p)$ et monte de $m$ quand $x$ augmente de $1$.
- Sur un graphique, $m$ est le déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal, mesurés dans les unités des axes.
- Fonction linéaire : la droite passe par l'origine, et un point $A$ d'abscisse non nulle suffit, avec $m = \dfrac{y_A}{x_A}$.
- $M(x_M\,;\,y_M)$ est sur la droite si et seulement si $y_M = m\,x_M + p$.
- Une droite verticale a une équation $x = k$ et ne représente aucune fonction. Une équation cartésienne se ramène à $y = mx + p$ en isolant $y$.
- Même coefficient directeur : droites parallèles. Coefficients différents : droites sécantes, et le point commun s'obtient en égalisant les deux expressions.
Sources
- Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, parties « Droites du plan » et « Fonctions » : texte sur education.gouv.fr.
- Arrêté du 26 février 2026 fixant ce programme, applicable à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027 : texte sur Légifrance.