Niveau : Moyen — Durée estimée : 55 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré sur l'origine. L'abscisse d'un point sur ce cercle correspond au cosinus de l'angle, et son ordonnée au sinus. Les angles sont mesurés en radians, avec $180^\circ = \pi$ radians.
Il existe des valeurs remarquables à connaître par cœur : pour $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$ et leurs multiples. La relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ est utilisée dans presque tous les problèmes de simplification.
La résolution d'équations de type $\cos(x) = \cos(a)$ ou $\sin(x) = \sin(a)$ nécessite de prendre en compte la périodicité de $2\pi$ et les symétries du cercle (axe des abscisses pour le cosinus, axe des ordonnées pour le sinus).
Formule : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ ; $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Convertis en radians les angles suivants : $30^\circ, 45^\circ, 90^\circ, 120^\circ$.
Correction :
On utilise la règle de trois avec $180^\circ \to \pi$.
$30^\circ = 30\pi / 180 = \pi/6$.
$45^\circ = 45\pi / 180 = \pi/4$.
$90^\circ = 90\pi / 180 = \pi/2$.
$120^\circ = 120\pi / 180 = 2\pi/3$.
Les angles sont $\pi/6, \pi/4, \pi/2$ et $2\pi/3$.
Exercice 2 : Donne les valeurs exactes de $\cos(\pi/3)$, $\sin(\pi/6)$ et $\cos(\pi)$.
Correction :
D'après les valeurs remarquables du cours :
$\cos(\pi/3) = 1/2$.
$\sin(\pi/6) = 1/2$.
$\cos(\pi) = -1$.
Exercice 3 : Place sur un cercle trigonométrique les points correspondants à $5\pi/4$ et $- \pi/3$.
Correction :
1. $5\pi/4 = \pi + \pi/4$ : c'est le milieu du troisième quadrant.
2. $-\pi/3$ : on part de 0 et on tourne dans le sens horaire d'un tiers de demi-cercle.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Sachant que $\cos(x) = 0,6$ et que $x \in [0 ; \pi/2]$, calcule $\sin(x)$.
Correction :
On utilise $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
$0,6^2 + \sin^2(x) = 1 \Rightarrow 0,36 + \sin^2(x) = 1$.
$\sin^2(x) = 0,64 \Rightarrow \sin(x) = \sqrt{0,64} = 0,8$ (car $x \in [0 ; \pi/2]$, le sinus est positif).
$\sin(x) = 0,8$.
Exercice 5 : Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos(x) = \cos(\pi/5)$.
Correction :
D'après le cours, $\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$.
Ici, $x = \pi/5 + 2k\pi$ ou $x = -\pi/5 + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$).
Exercice 6 : Simplifie l'expression $A = \cos(x + \pi) + \sin(x + \pi/2)$.
Correction :
Formules d'angles associés :
$\cos(x + \pi) = -\cos(x)$.
$\sin(x + \pi/2) = \cos(x)$.
$A = -\cos(x) + \cos(x) = 0$.
L'expression est égale à 0.
Exercice 7 : Détermine la valeur exacte de $\sin(3\pi/4)$.
Correction :
$3\pi/4 = \pi - \pi/4$.
$\sin(\pi - a) = \sin(a)$.
$\sin(3\pi/4) = \sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2$.
La valeur est $\sqrt{2}/2$.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Résous dans $[0 ; 2\pi]$ l'équation $2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0$.
Correction :
On pose $X = \sin(x)$. L'équation devient $2X^2 - X - 1 = 0$.
$\Delta = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 9$. Racines : $X_1 = 1$ et $X_2 = -0,5$.
1. $\sin(x) = 1 \Rightarrow x = \pi/2$.
2. $\sin(x) = -0,5 \Rightarrow x = 7\pi/6$ ou $x = 11\pi/6$.
Solutions : $\{\pi/2 ; 7\pi/6 ; 11\pi/6\}$.
Exercice 9 : Démontre que pour tout réel $x$, $(\cos(x) + \sin(x))^2 = 1 + \sin(2x)$.
Correction :
On développe le carré : $(\cos(x) + \sin(x))^2 = \cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)$.
On sait que $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
On sait aussi que $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$ (formule de duplication).
On obtient bien $1 + \sin(2x)$.
Exercice 10 : Résous l'inéquation $\cos(x) > 1/2$ sur l'intervalle $[-\pi ; \pi]$.
Correction :
On sait que $\cos(x) = 1/2$ pour $x = \pi/3$ ou $x = -\pi/3$.
En observant le cercle trigonométrique, le cosinus est supérieur à $1/2$ pour les angles situés entre ces deux valeurs (proche de l'axe des abscisses positif).
L'ensemble des solutions est $S = ]-\pi/3 ; \pi/3[$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Le cercle trigonométrique est ta meilleure arme. Ne l'apprends pas par cœur, apprends à le reconstruire. Les symétries t'aideront à retrouver toutes les valeurs à partir du premier quadrant ($0$ à $\pi/2$).
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