Niveau : Moyen — Durée estimée : 45 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
En mathématiques, les nombres sont classés dans des ensembles emboîtés. On distingue les entiers naturels (N), les entiers relatifs (Z), les nombres décimaux (D), les nombres rationnels (Q) et enfin les nombres réels (R) qui contiennent tous les précédents. Il est crucial de savoir identifier la nature d'un nombre pour appliquer les bonnes propriétés de calcul.
Les intervalles sont des sous-ensembles de R. On utilise des crochets pour définir si les bornes sont incluses ou exclues. Par exemple, l'intervalle [a ; b] contient tous les nombres x tels que a ≤ x ≤ b. La manipulation d'intervalles nécessite de maîtriser l'intersection (nombres présents dans les deux ensembles) et l'union (nombres présents dans l'un ou l'autre).
L'appartenance d'un nombre à un ensemble se note avec le symbole ∈. Si un ensemble est inclus dans un autre, on utilise le symbole ⊂. Par exemple, N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Attention aux pièges classiques : un nombre peut paraître non décimal sous sa forme fractionnaire alors qu'il l'est après simplification.
Formule : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme p/q avec p entier et q entier non nul. Il est décimal s'il peut s'écrire sous la forme p/(2^n * 5^m).
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Indique le plus petit ensemble de nombres (N, Z, D, Q ou R) auquel appartiennent les nombres suivants : 15 ; -7 ; 1/4 ; 1/3 ; racine carrée de 2.
Correction :
15 est un entier positif, son plus petit ensemble est N (Entiers naturels).
-7 est un entier négatif, son plus petit ensemble est Z (Entiers relatifs).
1/4 est égal à 0,25. C'est un nombre à virgule finie, son plus petit ensemble est D (Décimaux).
1/3 a une écriture décimale infinie périodique (0,333.). On ne peut pas l'écrire sous forme décimale finie, son plus petit ensemble est Q (Rationnels).
La racine carrée de 2 ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. C'est un nombre irrationnel, son plus petit ensemble est R (Réels).
Exercice 2 : Traduis les inégalités suivantes sous forme d'intervalles : a) x > 3 ; b) x ≤ -2 ; c) -5 < x ≤ 10.
Correction :
a) x > 3 signifie que x est strictement supérieur à 3. L'intervalle commence à 3 (exclu) et va vers l'infini. Réponse : ]3 ; +∞[.
b) x ≤ -2 signifie que x est inférieur ou égal à -2. L'intervalle vient de l'infini négatif et s'arrête à -2 (inclus). Réponse : ]-∞ ; -2].
c) -5 < x ≤ 10 signifie que x est entre -5 (exclu) et 10 (inclus). Réponse : ]-5 ; 10].
Exercice 3 : Détermine l'intersection des intervalles I = [2 ; 8] et J = [5 ; 12].
Correction :
L'intersection I ∩ J correspond aux nombres qui sont à la fois dans I et dans J.
Les nombres doivent être supérieurs ou égaux à 2 ET 5 (donc ≥ 5) et inférieurs ou égaux à 8 ET 12 (donc ≤ 8).
Le résultat est l'intervalle [5 ; 8].
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Le nombre (pi - 3) appartient-il à l'intervalle [0,14 ; 0,15] ? Justifie en utilisant une approximation de pi à 4 décimales.
Correction :
On sait que pi est environ égal à 3,1415.
Calculons pi - 3 : 3,1415 - 3 = 0,1415.
Comparons ce résultat aux bornes de l'intervalle [0,14 ; 0,15].
On a 0,14 < 0,1415 < 0,15. La valeur est bien comprise entre les bornes. Oui, (pi - 3) appartient à l'intervalle.
Exercice 5 : Simplifie l'expression suivante et donne la nature du nombre obtenu : A = (3/5 + 1/2) / (11/10).
Correction :
Étape 1 : Calcul du numérateur. On met au même dénominateur (10). 3/5 = 6/10. Donc 6/10 + 5/10 = 11/10.
Étape 2 : Division par le dénominateur. A = (11/10) / (11/10).
Un nombre divisé par lui-même est égal à 1. A = 1.
Le nombre 1 est un entier naturel (N).
Exercice 6 : Détermine l'union des intervalles I = ]-∞ ; 4] et J = [2 ; +∞[.
Correction :
L'union I ∪ J correspond aux nombres qui sont dans I OU dans J.
I couvre toutes les valeurs de -∞ jusqu'à 4. J commence à 2 et couvre toutes les valeurs jusqu'à +∞.
Comme 2 est inférieur à 4, les deux intervalles se chevauchent. Ils couvrent ainsi la totalité de la droite numérique.
Le résultat est ]-∞ ; +∞[ (ou l'ensemble R).
Exercice 7 : Soit x un réel tel que |x - 5| ≤ 2. Traduis cette condition sous forme d'un intervalle pour x.
Correction :
L'expression |x - 5| ≤ 2 signifie que la distance entre x et 5 est inférieure ou égale à 2.
Cela revient à écrire : -2 ≤ x - 5 ≤ 2.
Ajoutons 5 à chaque membre de l'inégalité : -2 + 5 ≤ x ≤ 2 + 5.
Ce qui donne 3 ≤ x ≤ 7. L'ensemble des solutions est l'intervalle [3 ; 7].
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Démontre que le nombre racine(2) + racine(8) peut s'écrire sous la forme a*racine(2) où a est un entier, puis détermine son plus petit ensemble d'appartenance.
Correction :
Étape 1 : Simplification de racine(8). On sait que 8 = 4 2. Donc racine(8) = racine(4 2) = racine(4) racine(2) = 2racine(2).
Étape 2 : Somme des termes. racine(2) + 2*racine(2) = 3*racine(2).
Ici a = 3, qui est un entier.
Étape 3 : Nature du nombre. 3*racine(2) ne peut pas s'écrire sous forme de fraction car racine(2) est irrationnel. Son plus petit ensemble est donc R (Réels).
Exercice 9 : Résous dans R l'inéquation suivante et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle : (2x - 4)(x + 3) < 0.
Correction :
On étudie le signe de chaque facteur : 2x - 4 = 0 pour x = 2 ; x + 3 = 0 pour x = -3.
On dresse un tableau de signes :
- Sur ]-∞ ; -3[, (2x-4) est négatif et (x+3) est négatif. Le produit est positif.
- Sur ]-3 ; 2[, (2x-4) est négatif et (x+3) est positif. Le produit est négatif.
- Sur ]2 ; +∞[, (2x-4) est positif et (x+3) est positif. Le produit est positif.
On cherche les valeurs strictement négatives. L'ensemble des solutions est ]-3 ; 2[.
Exercice 10 : On considère l'ensemble A = {x ∈ R | 1/x ≥ 2}. Détermine A sous forme d'intervalle.
Correction :
Attention : on ne peut pas simplement multiplier par x car on ne connaît pas son signe.
Étape 1 : Condition d'existence. x doit être non nul (x ≠ 0).
Étape 2 : Si x < 0, alors 1/x est négatif et ne peut pas être supérieur à 2. Donc x doit être positif.
Étape 3 : Pour x > 0, on peut multiplier par x sans changer le sens de l'inégalité : 1 ≥ 2x.
Étape 4 : On divise par 2 : x ≤ 1/2.
En combinant x > 0 et x ≤ 1/2, on obtient l'intervalle ]0 ; 1/2].
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La classification des nombres demande de toujours simplifier une expression avant de conclure. Pour les intervalles, un dessin sur une droite graduée est le meilleur moyen d'éviter les erreurs d'intersection ou d'union. Attention au sens des crochets !
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