Niveau : moyen. Durée estimée : 50 min. 10 exercices de seconde avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour trouver la nature d'un nombre, simplifie-le d'abord, puis cherche le plus petit ensemble qui le contient. Par exemple, $\frac{12}{4} = 3$ est un entier naturel, même s'il est écrit en fraction. Les ensembles s'emboîtent : entiers naturels $\mathbb{N}$ ($0$, $1$, $2$, $3$…), entiers relatifs $\mathbb{Z}$ (avec les négatifs), décimaux $\mathbb{D}$ (ils s'écrivent $\frac{a}{10^n}$, avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel), rationnels $\mathbb{Q}$ (quotients $\frac{p}{q}$ de deux entiers, avec $q \neq 0$) et réels $\mathbb{R}$, tous les nombres de la droite graduée. Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$. Le symbole $\in$ se lit « appartient à », $\notin$ « n'appartient pas à », $\subset$ « est inclus dans » et $\iff$ « équivaut à ».
Un intervalle regroupe tous les réels compris entre deux bornes. Un crochet tourné vers la borne l'inclut, un crochet tourné vers l'extérieur l'exclut : $2 \le x < 5$ s'écrit $x \in [2\,;\,5[$. Du côté de $+\infty$ ou de $-\infty$, le crochet est toujours ouvert. L'intersection $I \cap J$ contient les nombres qui sont à la fois dans $I$ et dans $J$ ; la réunion $I \cup J$ (on dit aussi union) contient ceux qui sont dans $I$ ou dans $J$. Un ensemble sans aucun élément est l'ensemble vide, noté $\varnothing$. Enfin, la valeur absolue $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite graduée.
Formules à retenir :
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
- $a \le x \le b \iff x \in [a\,;\,b]$ et $x > a \iff x \in \left]a\,;\,+\infty\right[$
- $|x - a| \le r \iff x \in [a - r\,;\,a + r]$, pour $r > 0$
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$
- Multiplier les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement positif garde son sens ; par un nombre strictement négatif, on l'inverse.
- Un produit de deux facteurs est strictement négatif quand ses facteurs sont de signes contraires. Si $a > 0$, $ax + b$ est négatif avant $-\frac{b}{a}$ et positif après.
Piège classique : l'écriture d'un nombre ne dit pas sa nature. $\sqrt{16} = 4$ est un entier naturel, $\frac{7}{4} = 1{,}75$ est un décimal. À l'inverse, $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ n'est pas décimal : ses chiffres $3$ se répètent sans fin, et ta calculatrice n'en affiche qu'un arrondi.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Donne le plus petit ensemble ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$) auquel appartient chacun de ces nombres, en justifiant : $15$ ; $-7$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{3}$ ; $\sqrt{2}$.
Correction :
On part de $\mathbb{N}$ et on monte jusqu'au premier ensemble qui contient le nombre.
$15$ est un entier positif : $15 \in \mathbb{N}$. $-7$ est un entier négatif : $-7 \in \mathbb{Z}$.
$\frac{1}{4} = 0{,}25 = \frac{25}{100}$, qui n'est pas entier : $\frac{1}{4} \in \mathbb{D}$.
$\frac{1}{3}$ est un quotient d'entiers. S'il était décimal, on aurait $\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}$, donc $10^n = 3a$ : $10^n$ serait divisible par $3$, alors que la somme de ses chiffres vaut $1$. Donc $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$, sans être décimal.
$\sqrt{2}$ est irrationnel : $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$, et $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Exercice 2 : Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ qui vérifient : a) $x > 3$ ; b) $x \le -2$ ; c) $-5 < x \le 10$. d) Traduis ensuite $x \in [0\,;\,4[$ par une double inégalité.
Correction :
Une inégalité stricte ($<$ ou $>$) donne un crochet ouvert, une inégalité large ($\le$ ou $\ge$) un crochet fermé.
a) $3$ exclu, pas de borne à droite : $]3\,;\,+\infty[$.
b) $-2$ inclus, pas de borne à gauche : $]{-\infty}\,;\,-2]$.
c) $-5$ exclu, $10$ inclus : $]{-5}\,;\,10]$.
d) $0$ inclus, $4$ exclu : $0 \le x < 4$.
Exercice 3 : On donne $I = [2\,;\,8]$ et $J = [5\,;\,12]$. Détermine $I \cap J$.
Correction :
Place les deux intervalles sur une droite graduée et garde la partie commune.
Un nombre de $I \cap J$ est supérieur ou égal à $2$ et à $5$, donc à $5$, et inférieur ou égal à $8$ et à $12$, donc à $8$. Les bornes $5$ et $8$ sont dans les deux intervalles.
$I \cap J = [5\,;\,8]$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : On sait que $3{,}1415 < \pi < 3{,}1416$. Justifie que $\pi - 3$ appartient à $[0{,}14\,;\,0{,}15]$, puis donne un encadrement de $\pi - 3$ (une double inégalité) d'amplitude $10^{-4}$ (l'amplitude est l'écart entre les deux bornes).
Correction :
On soustrait $3$ à chaque membre, ce qui garde le sens des inégalités : $0{,}1415 < \pi - 3 < 0{,}1416$.
Comme $0{,}14 < 0{,}1415$ et $0{,}1416 < 0{,}15$, on a $0{,}14 < \pi - 3 < 0{,}15$, donc $\pi - 3 \in [0{,}14\,;\,0{,}15]$.
Cet encadrement a pour amplitude $0{,}1416 - 0{,}1415 = 10^{-4}$ : $0{,}1415 < \pi - 3 < 0{,}1416$.
Erreur à éviter : partir d'une seule valeur approchée. Avec $\pi \approx 3{,}14$, on trouve $\pi - 3 \approx 0{,}14$, pile sur la borne : on ne peut pas conclure.
Exercice 5 : Simplifie $A = \left(\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\right) \div \frac{11}{10}$, puis écris $B = \frac{7}{20}$ sous forme décimale. Donne le plus petit ensemble auquel appartient chacun de ces deux nombres.
Correction :
On simplifie avant de classer.
$\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{11}{10}$, donc $A = \frac{11}{10} \div \frac{11}{10} = 1$ : $A = 1$, donc $A \in \mathbb{N}$.
$B = \frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$, qui n'est pas entier : $B \in \mathbb{D}$.
Erreur à éviter : répondre $\mathbb{Q}$ parce que les nombres sont écrits avec des fractions.
Exercice 6 : On donne $I = [-3\,;\,1[$ et $J = [1\,;\,5]$. Détermine $I \cap J$, puis $I \cup J$.
Correction :
Tout se joue sur la borne $1$ : exclue de $I$, incluse dans $J$.
Les nombres de $I$ sont strictement inférieurs à $1$, ceux de $J$ supérieurs ou égaux à $1$. Aucun réel n'est dans les deux : $I \cap J = \varnothing$.
Pour la réunion, $J$ apporte le nombre $1$ : il n'y a aucun trou entre $-3$ et $5$, donc $I \cup J = [-3\,;\,5]$.
Erreur à éviter : écrire $I \cap J = \{1\}$, alors que $1 \notin I$.
Exercice 7 : Dans un atelier, une tige est acceptée au contrôle si sa longueur $L$, en centimètres, vérifie $|L - 50| \le 0{,}2$. a) Écris cette condition sous forme d'intervalle. b) Une tige mesure $49{,}75$ cm. Est-elle acceptée ? Justifie.
Correction :
$|L - 50|$ est la distance entre $L$ et $50$ : elle doit valoir au plus $0{,}2$.
a) $50 - 0{,}2 \le L \le 50 + 0{,}2$, donc $L \in [49{,}8\,;\,50{,}2]$, en cm.
b) $|49{,}75 - 50| = 0{,}25$ et $0{,}25 > 0{,}2$ : la tige de $49{,}75$ cm est refusée.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Écris $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ sous la forme $a\sqrt{2}$, avec $a$ entier. On admet que $\sqrt{2}$ est irrationnel : justifie que $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ l'est aussi, puis donne son plus petit ensemble.
Correction :
On fait apparaître sous la racine un carré parfait (le carré d'un entier) : $8 = 4 \times 2$.
$\sqrt{8} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$, donc $\sqrt{2} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2}$.
Raisonnons par l'absurde (on suppose le contraire et on aboutit à une impossibilité). Si $3\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers, $q \neq 0$, alors $\sqrt{2} = \frac{p}{3q}$ serait rationnel : c'est faux. Donc $3\sqrt{2}$ est irrationnel, son plus petit ensemble est $\mathbb{R}$.
Erreur à éviter : écrire $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}$. Une racine ne se partage pas sur une somme : $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ alors que $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$.
Exercice 9 : Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(2x - 4)(x + 3) < 0$ et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Correction :
On cherche le signe de chaque facteur, puis celui du produit, comme dans un tableau de signes.
$2x - 4$ s'annule en $2$ : négatif avant, positif après. $x + 3$ s'annule en $-3$ : négatif avant, positif après.
Sur $]{-\infty}\,;\,-3[$, les deux facteurs sont négatifs : produit positif. Sur $]{-3}\,;\,2[$, ils sont de signes contraires : produit négatif. Sur $]2\,;\,+\infty[$, les deux sont positifs : produit positif. En $-3$ et en $2$, le produit est nul, donc pas strictement négatif.
L'ensemble des solutions est $S = ]{-3}\,;\,2[$.
Exercice 10 : Détermine, sous forme d'intervalle, l'ensemble des réels $x$ non nuls tels que $\frac{1}{x} \ge 2$.
Correction :
Le signe de $x$ est inconnu : on sépare deux cas avant de multiplier par $x$.
Si $x < 0$, alors $\frac{1}{x} < 0$, donc $\frac{1}{x} < 2$ : aucune solution.
Si $x > 0$, multiplier par $x$ garde le sens : $1 \ge 2x$, soit $x \le \frac{1}{2}$.
Avec $x > 0$ : $S = ]0\,;\,\frac{1}{2}]$.
Erreur à éviter : multiplier tout de suite par $x$. On trouve $x \le \frac{1}{2}$, qui garde à tort $x = -1$, alors que $\frac{1}{-1} = -1 < 2$.
Bilan et conseils
Si tu as hésité aux exercices 1 et 5, relis le piège classique du rappel. Les exercices 3 et 6 se règlent avec un dessin : trace les deux intervalles sur une droite graduée, puis regarde chaque borne, incluse ou exclue. Pour les exercices 9 et 10, écris le signe de chaque morceau avant de multiplier ou de conclure.
Ce qu'il faut retenir : un nombre se classe après simplification, dans le plus petit ensemble qui le contient. Un crochet se décide borne par borne, et il est toujours ouvert du côté de l'infini.
Ces exercices sont du niveau de la seconde, dont le programme de mathématiques est fixé par l'arrêté du 26 février 2026, applicable à partir de la rentrée 2026 (Légifrance).
Sources
Arrêté du 26 février 2026 fixant le programme d'enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, publié au Journal officiel du 27 mars 2026 : legifrance.gouv.fr.