Niveau : Moyen — Durée estimée : 60 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. On utilise les opérations inverses : l'addition devient soustraction, et la multiplication devient division de l'autre côté du signe égal. Attention : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif dans une inéquation, on doit changer le sens de l'inégalité.
Les équations produits (type (ax+b)(cx+d)=0) reposent sur le principe qu'un produit est nul si l'un des facteurs est nul. C'est une méthode puissante pour résoudre des équations de degré supérieur à 1 sans outils complexes.
L'interprétation graphique est essentielle : les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Pour f(x) < g(x), on cherche les intervalles de x où la courbe de f est située en dessous de celle de g.
Formule : a < b alors -a > -b. (Propriété fondamentale des inéquations avec les nombres négatifs).
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Résous l'équation suivante : 5x - 12 = 3.
Correction :
On ajoute 12 de chaque côté : 5x = 3 + 12 => 5x = 15.
On divise par 5 : x = 15 / 5 = 3.
La solution est S = {3}.
Exercice 2 : Résous l'inéquation suivante : 2x + 7 < 15.
Correction :
On soustrait 7 : 2x < 15 - 7 => 2x < 8.
On divise par 2 (nombre positif, on ne change pas le sens) : x < 4.
La solution est l'intervalle S = ]-∞ ; 4[.
Exercice 3 : Résous l'équation produit : (x - 5)(3x + 9) = 0.
Correction :
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul :
x - 5 = 0 => x = 5.
3x + 9 = 0 => 3x = -9 => x = -3.
Les solutions sont S = {-3 ; 5}.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Résous l'équation : 3(x + 4) = 7x - 2.
Correction :
Développement : 3x + 12 = 7x - 2.
Regroupement des x à gauche : 3x - 7x = -2 - 12.
-4x = -14.
x = -14 / -4 = 3,5. La solution est S = {3,5}.
Exercice 5 : Résous l'inéquation : -2x + 5 ≥ 11.
Correction :
Attention : Ici on va diviser par un nombre négatif, il faut inverser le symbole !
-2x ≥ 11 - 5 => -2x ≥ 6.
x ≤ 6 / (-2) => x ≤ -3.
La solution est S = ]-∞ ; -3].
Exercice 6 : Résous graphiquement f(x) = 2 sachant que la courbe de f est une droite passant par (0 ; 0) et (2 ; 4).
Correction :
La droite passe par l'origine, c'est une fonction linéaire f(x) = ax.
Le coefficient a est 4/2 = 2, donc f(x) = 2x.
On cherche x tel que 2x = 2, donc x = 1. Graphiquement, on trace la droite horizontale y=2 et on lit l'abscisse du point de contact. S = {1}.
Exercice 7 : Résous l'équation : x² = 25.
Correction :
L'équation x² = k possède deux solutions si k > 0 : racine(k) et -racine(k).
Ici x = 5 ou x = -5. Les solutions sont S = {-5 ; 5}.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Résous l'inéquation : (x + 1) / (x - 2) ≤ 0.
Correction :
On fait un tableau de signes. Valeur interdite : x = 2. Valeur d'annulation : x = -1.
- Signe de (x+1) : - jusqu'à -1, puis + après.
- Signe de (x-2) : - jusqu'à 2, puis + après.
Le quotient est positif sur ]-∞ ; -1], négatif sur [-1 ; 2[ et positif sur ]2 ; +∞[.
On veut le signe négatif ou nul : S = [-1 ; 2[ (2 est exclu car valeur interdite).
Exercice 9 : Résous l'équation : x² - 6x + 9 = 0 en utilisant une identité remarquable.
Correction :
On reconnaît la forme a² - 2ab + b² avec a = x et b = 3.
(x - 3)² = 0.
Un carré est nul si le nombre à l'intérieur est nul, donc x - 3 = 0.
La solution unique est S = {3}.
Exercice 10 : Détermine pour quelles valeurs de x le périmètre d'un carré de côté x est supérieur à l'aire d'un rectangle de côtés 2 et 5.
Correction :
Périmètre du carré : 4x. Aire du rectangle : 2 * 5 = 10.
On pose l'inéquation : 4x > 10.
x > 10 / 4 => x > 2,5.
Comme x représente un côté, il doit être positif. S = ]2,5 ; +∞[.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La rigueur est ton alliée. Vérifie toujours tes solutions en les remplaçant dans l'équation de départ. Pour les inéquations, n'oublie jamais d'exclure les valeurs interdites (dénominateur nul) et de surveiller les multiplications par des nombres négatifs.
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