Niveau : Moyen — Durée estimée : 60 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Un système de deux équations à deux inconnues ($x$ et $y$) consiste à trouver le couple $(x ; y)$ qui vérifie les deux égalités simultanément. Il existe deux méthodes principales pour résoudre ces systèmes de manière algébrique.
La méthode par substitution consiste à isoler une variable dans l'une des deux équations (par exemple exprimer $x$ en fonction de $y$), puis à remplacer cette expression dans la deuxième équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue.
La méthode par combinaison linéaire (ou addition) consiste à multiplier les équations par des nombres judicieusement choisis pour que, lorsqu'on additionne ou soustrait les deux lignes, l'une des variables disparaisse totalement.
Méthode : Isoler $x \to$ Remplacer dans L2 (Substitution) OU Multiplier L1 et L2 pour annuler $x$ (Combinaison).
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Résous par substitution le système suivant : $\begin{cases} x = 2y \\ 3x + y = 21 \end{cases}$
Correction :
1. On a déjà $x$ isolé dans la première équation : $x = 2y$.
2. On remplace $x$ par $2y$ dans la deuxième équation : $3(2y) + y = 21$.
3. On simplifie : $6y + y = 21 \implies 7y = 21 \implies y = \frac{21}{7} = 3$.
4. On trouve $x$ en utilisant $x = 2y$ : $x = 2 \times 3 = 6$.
Le couple solution est $(6 ; 3)$.
Exercice 2 : Résous par combinaison le système suivant : $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$
Correction :
1. On additionne les deux lignes membre à membre : $(x + y) + (x - y) = 10 + 4$.
2. Les $y$ s'annulent : $2x = 14 \implies x = 7$.
3. On remplace $x$ par 7 dans la première équation : $7 + y = 10 \implies y = 10 - 7 = 3$.
Le couple solution est $(7 ; 3)$.
Exercice 3 : Vérifie si le couple $(2 ; 1)$ est solution du système : $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 9 \end{cases}$
Correction :
On remplace $x$ par 2 et $y$ par 1 dans chaque équation :
L1 : $2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$. L'égalité est vraie.
L2 : $4(2) - 1 = 8 - 1 = 7$. Or l'équation demande que ce soit égal à 9.
L'égalité $7 = 9$ est fausse, donc le couple $(2 ; 1)$ n'est pas solution du système.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Résous par substitution : $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 2y = 11 \end{cases}$
Correction :
1. On isole $y$ dans la première ligne : $y = 5 - 2x$.
2. On remplace dans L2 : $3x - 2(5 - 2x) = 11$.
3. On développe : $3x - 10 + 4x = 11 \implies 7x - 10 = 11 \implies 7x = 21 \implies x = 3$.
4. On calcule $y$ : $y = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$.
La solution est $(3 ; -1)$.
Exercice 5 : Résous par combinaison : $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 1 \end{cases}$
Correction :
1. On veut éliminer $y$. On multiplie L1 par 3 et L2 par 2 :
L1 : $9x + 6y = 36$
L2 : $10x - 6y = 2$
2. On additionne les deux nouvelles lignes : $19x = 38 \implies x = 2$.
3. On remplace $x$ par 2 dans L1 : $3(2) + 2y = 12 \implies 6 + 2y = 12 \implies 2y = 6 \implies y = 3$.
La solution est $(2 ; 3)$.
Exercice 6 : La somme de deux nombres est 45 et leur différence est 7. Quels sont ces deux nombres ? (Mise en équation obligatoire).
Correction :
Soit $x$ le premier nombre et $y$ le second ($x > y$).
On a le système : $\begin{cases} x + y = 45 \\ x - y = 7 \end{cases}$
Par combinaison (addition) : $2x = 52 \implies x = 26$.
On en déduit $y$ : $26 + y = 45 \implies y = 45 - 26 = 19$.
Les deux nombres sont 26 et 19.
Exercice 7 : Dans une boulangerie, 3 croissants et 2 pains au chocolat coûtent 6,10€. 2 croissants et 4 pains au chocolat coûtent 7,40€. Quel est le prix d'un croissant et d'un pain au chocolat ?
Correction :
Soit $c$ le prix du croissant et $p$ celui du pain au chocolat.
$\begin{cases} 3c + 2p = 6,10 \text{ (L1)} \\ 2c + 4p = 7,40 \text{ (L2)} \end{cases}$
Astuce : on multiplie L1 par -2 pour annuler $p$ : $-6c - 4p = -12,20$.
On additionne avec L2 : $(-6c + 2c) + (-4p + 4p) = -12,20 + 7,40 \implies -4c = -4,80 \implies c = 1,20$.
Calcul de $p$ : $3(1,20) + 2p = 6,10 \implies 3,60 + 2p = 6,10 \implies 2p = 2,50 \implies p = 1,25$.
Un croissant coûte 1,20€ et un pain au chocolat 1,25€.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Résous le système suivant : $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \\ 2x - y = 6 \end{cases}$
Correction :
1. On commence par "nettoyer" L1 en multipliant tout par 6 (le PPCM de 2 et 3) : $3x + 2y = 24$.
2. On utilise la substitution dans L2 : $y = 2x - 6$.
3. On remplace dans la nouvelle L1 : $3x + 2(2x - 6) = 24 \implies 3x + 4x - 12 = 24 \implies 7x = 36 \implies x = \frac{36}{7}$.
4. On calcule $y$ : $y = 2(\frac{36}{7}) - 6 = \frac{72}{7} - \frac{42}{7} = \frac{30}{7}$.
La solution est le couple $(\frac{36}{7} ; \frac{30}{7})$.
Exercice 9 : Un fermier a des poules et des lapins. Il compte 35 têtes et 94 pattes. Combien a-t-il de poules et de lapins ?
Correction :
Soit $x$ le nombre de poules et $y$ le nombre de lapins.
Le nombre de têtes : $x + y = 35$.
Le nombre de pattes (2 par poule, 4 par lapin) : $2x + 4y = 94$.
Par substitution : $x = 35 - y$.
On remplace dans L2 : $2(35 - y) + 4y = 94 \implies 70 - 2y + 4y = 94 \implies 2y = 24 \implies y = 12$.
On trouve $x$ : $x = 35 - 12 = 23$.
Il y a 23 poules and 12 lapins.
Exercice 10 : Détermine les valeurs de $a$ et $b$ pour que la droite d'équation $y = ax + b$ passe par les points $A(-2 ; 7)$ et $B(3 ; -3)$.
Correction :
Le passage par $A$ donne : $7 = a(-2) + b \implies -2a + b = 7$.
Le passage par $B$ donne : $-3 = a(3) + b \implies 3a + b = -3$.
On soustrait les deux équations pour éliminer $b$ : $(-2a - 3a) + (b - b) = 7 - (-3) \implies -5a = 10 \implies a = -2$.
On trouve $b$ : $3(-2) + b = -3 \implies -6 + b = -3 \implies b = 3$.
Les valeurs sont $a = -2$ et $b = 3$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Choisis la substitution si une variable a un coefficient de 1 ou -1. Choisis la combinaison si les coefficients sont plus complexes. Vérifie toujours tes résultats en remplaçant $x$ et $y$ dans les deux équations de départ.
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