Niveau : Moyen — Durée estimée : 55 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
La trigonométrie permet d'établir des relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Les trois rapports fondamentaux sont le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu.
Le Cosinus est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse. Le Sinus est le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse. La Tangente est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent. Pour s'en souvenir, on utilise souvent le moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA.
Pour calculer une longueur, on utilise le rapport classique. Pour calculer un angle, on utilise les fonctions inverses de la calculatrice : $\arccos$, $\arcsin$ ou $\arctan$ (parfois notées $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Formule : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$ ; $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$ ; $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on donne $BC = 10$ cm et $\widehat{ABC} = 30°$. Calcule la longueur du côté $AB$.
Correction :
1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on connaît l'hypoténuse $[BC]$ and on cherche le côté adjacent $[AB]$ à l'angle $\widehat{B}$.
2. On utilise le cosinus : $\cos(\widehat{B}) = \frac{AB}{BC}$.
3. $\cos(30°) = \frac{AB}{10} \implies AB = 10 \times \cos(30°)$.
4. $AB \approx 10 \times 0,866 \approx 8,66$ cm.
La longueur $AB$ est d'environ 8,66 cm.
Exercice 2 : Un triangle $DEF$ est rectangle en $D$. On donne $DE = 5$ cm et $EF = 8$ cm. Calcule la valeur de l'angle $\widehat{DFE}$ au degré près.
Correction :
1. On connaît le côté opposé $[DE]$ à l'angle $\widehat{F}$ et l'hypoténuse $[EF]$.
2. On utilise le sinus : $\sin(\widehat{F}) = \frac{DE}{EF} = \frac{5}{8} = 0,625$.
3. À la calculatrice : $\widehat{F} = \arcsin(0,625) \approx 38,68°$.
L'angle $\widehat{DFE}$ mesure environ 39°.
Exercice 3 : Quelle est la valeur de $\tan(45°)$ ? Explique pourquoi en pensant à un triangle particulier.
Correction :
$\tan(45°) = 1$.
Justification : Dans un triangle rectangle isocèle, les angles aigus mesurent 45°. Les deux côtés de l'angle droit sont égaux. Comme la tangente est le rapport "opposé/adjacent", on divise deux longueurs identiques, ce qui donne 1.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Une échelle de 5 mètres est appuyée contre un mur vertical. Elle forme un angle de 70° avec le sol horizontal. À quelle hauteur sur le mur l'échelle arrive-t-elle ?
Correction :
L'échelle est l'hypoténuse (5 m). La hauteur sur le mur est le côté opposé à l'angle de 70°.
$\sin(70°) = \frac{Hauteur}{5} \implies Hauteur = 5 \times \sin(70°)$.
$Hauteur \approx 5 \times 0,9397 \approx 4,70$ m.
L'échelle atteint une hauteur de 4,70 mètres.
Exercice 5 : Calcule la longueur de la diagonale d'un rectangle de 8 cm de long si cette diagonale fait un angle de 25° avec la longueur.
Correction :
La longueur est le côté adjacent à l'angle de 25°. La diagonale est l'hypoténuse.
$\cos(25°) = \frac{8}{Diagonale} \implies Diagonale = \frac{8}{\cos(25°)}$.
$Diagonale \approx \frac{8}{0,9063} \approx 8,83$ cm.
La diagonale mesure environ 8,83 cm.
Exercice 6 : Soit un triangle $RST$ rectangle en $S$ tel que $RS = 7$ cm et $ST = 4$ cm. Calcule l'angle $\widehat{SRT}$.
Correction :
On connaît le côté adjacent $[RS]$ et le côté opposé $[ST]$ par rapport à l'angle $\widehat{R}$.
$\tan(\widehat{R}) = \frac{ST}{RS} = \frac{4}{7} \approx 0,5714$.
$\widehat{R} = \arctan(4/7) \approx 29,74°$.
L'angle $\widehat{SRT}$ est d'environ 30°.
Exercice 7 : Un skieur descend une pente de 200 m de long. Le dénivelé vertical est de 50 m. Quel est l'angle d'inclinaison de la pente avec l'horizontale ?
Correction :
La pente (200 m) est l'hypoténuse. Le dénivelé (50 m) est le côté opposé à l'angle recherché.
$\sin(\text{angle}) = \frac{50}{200} = 0,25$.
$\text{angle} = \arcsin(0,25) \approx 14,48°$.
L'angle d'inclinaison est d'environ 14,5°.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Dans un triangle quelconque $ABC$, on trace la hauteur $[AH]$. On donne $AB = 6$ cm, $\widehat{B} = 40°$ et $\widehat{C} = 30°$. Calcule la longueur de la hauteur $AH$.
Correction :
Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
Dans ce triangle, $[AH]$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$ et $[AB]$ est l'hypoténuse.
$\sin(40°) = \frac{AH}{6} \implies AH = 6 \times \sin(40°)$.
$AH \approx 6 \times 0,6428 \approx 3,86$ cm.
La hauteur $AH$ mesure environ 3,86 cm.
Exercice 9 : Un observateur situé à 50 m d'une tour mesure un angle d'élévation de 35° pour atteindre le sommet. L'œil de l'observateur est à 1,60 m du sol. Quelle est la hauteur totale de la tour ?
Correction :
1. On calcule la hauteur au-dessus de l'œil : $\tan(35°) = \frac{h}{50} \implies h = 50 \times \tan(35°)$.
2. $h \approx 50 \times 0,7002 \approx 35,01$ m.
3. Hauteur totale = $h + \text{taille observateur} = 35,01 + 1,60 = 36,61$ m.
La tour mesure environ 36,61 mètres.
Exercice 10 : Démontre que pour tout angle aigu $x$, on a $(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1$.
Correction :
Soit un triangle rectangle de côtés $a$ (opposé), $b$ (adjacent) et $c$ (hypoténuse).
On sait que $\sin x = a/c$ et $\cos x = b/c$.
$(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = (a/c)^2 + (b/c)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
D'après le théorème de Pythagore, $a^2 + b^2 = c^2$.
Donc $\frac{c^2}{c^2} = 1$. La relation est démontrée.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Vérifie toujours que ta calculatrice est en mode "Degrés" (DEG) et non en "Radians". Repère bien l'hypoténuse en premier (le côté en face de l'angle droit), cela t'aidera à identifier le côté adjacent et le côté opposé sans erreur.
Comment ORBITECH Peut T'aider
ORBITECH AI Academy met à ta disposition des outils concrets pour réviser plus efficacement et progresser à ton rythme.
- Générateur de Quiz : crée des quiz personnalisés pour tester tes connaissances et identifier tes lacunes.
- Générateur d'Exercices : crée des exercices d'entraînement adaptés à ton niveau avec corrections détaillées.
- Calculatrice Scientifique : effectue des calculs avancés avec historique et graphiques de fonctions.
- Générateur de Résumés : transforme tes cours en fiches de révision claires et structurées.
Tous ces outils sont disponibles sur ta plateforme ORBITECH. Connecte-toi et explore ceux qui correspondent le mieux à tes besoins !