Niveau : Moyen — Durée estimée : 60 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Dans un repère (O, I, J), chaque point est défini par une abscisse (x) et une ordonnée (y). Pour calculer les coordonnées du milieu M d'un segment [AB], on fait la moyenne des coordonnées de A et B. C'est une notion simple mais fondamentale pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme (diagonales de même milieu).
La distance entre deux points A et B dans un repère orthonormé utilise le théorème de Pythagore. Il faut être très vigilant avec les signes moins lors du calcul des différences (xB - xA) et (yB - yA), car le carré les rendra toujours positifs.
Une droite est souvent définie par son équation réduite y = mx + p, où m est le coefficient directeur (la pente) et p l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur m se calcule par le rapport de la différence des ordonnées sur la différence des abscisses.
Formule : Distance AB = racine((xB - xA)² + (yB - yA)²). Milieu M : xM = (xA + xB)/2 et yM = (yA + yB)/2.
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Soient A(2 ; 3) et B(6 ; 7). Calcule les coordonnées du milieu M du segment [AB].
Correction :
xM = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.
yM = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5.
Les coordonnées du milieu M sont (4 ; 5).
Exercice 2 : Calcule la distance AB avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6) dans un repère orthonormé.
Correction :
AB = racine((4 - 1)² + (6 - 2)²)
AB = racine(3² + 4²) = racine(9 + 16) = racine(25).
La distance AB est de 5 unités.
Exercice 3 : Donne le coefficient directeur de la droite passant par A(0 ; 1) et B(2 ; 5).
Correction :
m = (yB - yA) / (xB - xA) = (5 - 1) / (2 - 0).
m = 4 / 2 = 2.
Le coefficient directeur est 2.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Soient A(-1 ; 2) et B(3 ; -4). Calcule la distance AB (donne la valeur exacte).
Correction :
AB = racine((3 - (-1))² + (-4 - 2)²)
AB = racine(4² + (-6)²) = racine(16 + 36) = racine(52).
On peut simplifier : racine(52) = racine(4 13) = 2racine(13).
Exercice 5 : Détermine l'équation réduite de la droite passant par A(1 ; 3) et de coefficient directeur m = -2.
Correction :
L'équation est de la forme y = -2x + p.
On utilise le point A : 3 = -2 * 1 + p.
3 = -2 + p => p = 3 + 2 = 5.
L'équation est y = -2x + 5.
Exercice 6 : Soient A(2 ; 1), B(5 ; 1) et C(5 ; 5). Montre que le triangle ABC est rectangle en B.
Correction :
On peut utiliser les coordonnées : (AB) est horizontale (même ordonnée y=1) et (BC) est verticale (même abscisse x=5).
Une droite horizontale et une droite verticale sont perpendiculaires. Le triangle est donc rectangle en B.
Exercice 7 : Détermine si le point K(10 ; 25) appartient à la droite d'équation y = 3x - 5.
Correction :
On remplace x par 10 : y = 3 * 10 - 5 = 30 - 5 = 25.
Le résultat correspond à l'ordonnée de K. Oui, le point K appartient à la droite.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Soient A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(6 ; 4). Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Correction :
Dans un parallélogramme, les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Milieu de [AC] : x = (1+6)/2 = 3,5 ; y = (2+4)/2 = 3.
Pour [BD] : (5 + xD)/2 = 3,5 => 5 + xD = 7 => xD = 2.
(2 + yD)/2 = 3 => 2 + yD = 6 => yD = 4.
Le point D a pour coordonnées (2 ; 4).
Exercice 9 : Trouve l'équation de la droite passant par A(2 ; 5) et B(4 ; 5). Quelle est sa particularité ?
Correction :
m = (5 - 5) / (4 - 2) = 0 / 2 = 0.
L'équation est y = 0x + p, soit y = p. Comme elle passe par A(2;5), p = 5.
L'équation est y = 5. Sa particularité est d'être une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).
Exercice 10 : Démontre que le point M(3 ; 4) est sur le cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon 5.
Correction :
Un point est sur le cercle si sa distance au centre est égale au rayon.
OM = racine((3 - 0)² + (4 - 0)²) = racine(3² + 4²) = racine(9 + 16) = racine(25) = 5.
La distance OM est égale au rayon 5, donc M est bien sur le cercle.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : En géométrie repérée, un schéma rapide au brouillon permet d'éviter les erreurs grossières. Fais attention aux signes lors des calculs de vecteurs ou de distances. N'oublie pas que l'équation d'une droite verticale est de la forme x = k.
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