Niveau : Facile à Moyen — Durée estimée : 50 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Une fonction est un processus qui, à un nombre x (l'antécédent), associe un unique nombre y (l'image), noté f(x). On peut se représenter une fonction comme une "machine" à transformer les nombres. Il est crucial de ne pas confondre le départ (x) et l'arrivée (f(x)).
Graphiquement, l'antécédent se lit sur l'axe des abscisses (horizontal) et l'image sur l'axe des ordonnées (vertical). Un point M appartient à la courbe représentative de la fonction f si et seulement si ses coordonnées sont (x ; f(x)).
Pour trouver une image par le calcul, on remplace x par sa valeur dans l'expression de f(x). Pour trouver un antécédent, on résout l'équation f(x) = k, où k est la valeur dont on cherche l'antécédent. Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun, mais il n'a toujours qu'une seule image.
Formule : Image de a : calculer f(a). Antécédent de b : résoudre l'équation f(x) = b.
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Soit la fonction f définie par f(x) = 3x - 5. Calcule les images de 2 et de -4.
Correction :
Pour l'image de 2 : f(2) = 3 * 2 - 5 = 6 - 5 = 1. L'image de 2 est 1.
Pour l'image de -4 : f(-4) = 3 * (-4) - 5 = -12 - 5 = -17. L'image de -4 est -17.
Exercice 2 : Soit g(x) = x². Détermine le ou les antécédents de 16 par la fonction g.
Correction :
On doit résoudre l'équation g(x) = 16, soit x² = 16.
Il existe deux nombres dont le carré est 16 : 4 et -4.
Les antécédents de 16 par g sont 4 et -4.
Exercice 3 : Par lecture graphique, une courbe passe par le point A(3 ; 7). Quelle est l'image de 3 ? Quel est un antécédent de 7 ?
Correction :
Le point A a pour coordonnées (x ; y). Ici x = 3 et y = 7.
L'image correspond à l'ordonnée, donc l'image de 3 est 7.
L'antécédent correspond à l'abscisse, donc un antécédent de 7 est 3.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Soit h(x) = (2x + 1) / (x - 3). Calcule l'image de 0, puis explique pourquoi 3 n'a pas d'image.
Correction :
Image de 0 : h(0) = (2*0 + 1) / (0 - 3) = 1 / -3 = -1/3.
Pour x = 3, le dénominateur devient 3 - 3 = 0. Or, la division par zéro est impossible. Donc 3 n'a pas d'image car c'est une valeur interdite.
Exercice 5 : Complète le tableau de valeurs pour f(x) = x² - 2 pour x allant de -2 à 2 avec un pas de 1.
Correction :
- f(-2) = (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2
- f(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = -1
- f(0) = 0² - 2 = -2
- f(1) = 1² - 2 = -1
- f(2) = 2² - 2 = 2
Le tableau est : (-2;2), (-1;-1), (0;-2), (1;-1), (2;2).
Exercice 6 : Trouve l'antécédent de 10 par la fonction f(x) = 4x + 2.
Correction :
On résout 4x + 2 = 10.
4x = 10 - 2 => 4x = 8.
x = 8 / 4 = 2. L'antécédent de 10 est 2.
Exercice 7 : Soit f(x) = x² + 1. Le point M(5 ; 26) appartient-il à la courbe de f ?
Correction :
M appartient à la courbe si f(5) = 26.
Calculons f(5) : 5² + 1 = 25 + 1 = 26.
Le résultat correspond à l'ordonnée de M. Oui, M appartient à la courbe.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Détermine les antécédents de 0 par la fonction f(x) = (x - 3)(2x + 8).
Correction :
On résout l'équation produit nul : (x - 3)(2x + 8) = 0.
Un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul :
Soit x - 3 = 0 => x = 3.
Soit 2x + 8 = 0 => 2x = -8 => x = -4.
Les antécédents de 0 sont 3 et -4.
Exercice 9 : Soit f(x) = x² + 2x. Montre que f(x) peut s'écrire sous la forme (x + 1)² - 1, puis trouve les antécédents de -1.
Correction :
Développons (x + 1)² - 1 : x² + 2x + 1 - 1 = x² + 2x. La forme est vérifiée.
Pour les antécédents de -1, résolvons (x + 1)² - 1 = -1.
Cela donne (x + 1)² = 0.
Le seul nombre dont le carré est 0 est 0 lui-même, donc x + 1 = 0, d'où x = -1.
L'antécédent de -1 est -1.
Exercice 10 : Une fonction f est telle que f(x) = ax + b. On sait que f(0) = 3 et f(2) = 7. Détermine les valeurs de a et b.
Correction :
f(0) = a*0 + b = b. Or f(0) = 3, donc b = 3.
f(2) = a*2 + 3 = 7.
2a = 7 - 3 => 2a = 4 => a = 2.
La fonction est f(x) = 2x + 3.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Toujours bien lire si on demande l'image (calcul direct) ou l'antécédent (résolution d'équation). Graphiquement, sois précis dans tes reports sur les axes. Ne confonds pas f(2) (l'image de 2) et f(x)=2 (recherche des antécédents de 2).
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