Niveau : Moyen — Durée estimée : 55 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Les probabilités conditionnelles étudient la probabilité qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. La notation P_A(B) ou P(B|A) se lit "probabilité de B sachant A". C'est un concept crucial pour modéliser des situations où les événements sont dépendants.
L'outil le plus efficace est l'arbre pondéré. Sur chaque branche, on indique la probabilité de l'événement correspondant. Pour trouver la probabilité d'un "chemin" (une intersection), on multiplie les probabilités rencontrées le long de ce chemin. La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
Enfin, la formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement final en sommant les probabilités de tous les chemins qui y mènent. C'est la base de nombreux problèmes complexes de diagnostic ou de prévision.
Formules à connaître :
- P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)
- P(A ∩ B) = P(A) * P_A(B)
- Indépendance : A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Dans une classe, la majorité des élèves sont des filles. 20% des filles étudient l'espagnol. Quelle est la probabilité de choisir une fille qui étudie l'espagnol ?
Correction :
1. On note F l'événement "être une fille" et E "étudier l'espagnol".
2. Données : P(F) = 0,6 et P_F(E) = 0,2.
3. Calcul : On cherche P(F ∩ E) = P(F) P_F(E) = 0,6 0,2 = 0,12.
La probabilité est de 0,12 (ou 12%).
Exercice 2 : On lance un dé équilibré. On sait que le résultat est pair. Quelle est la probabilité que ce soit un 6 ?
Correction :
1. Événements : A = {2, 4, 6} (résultat pair) et B = {6}.
2. P(A) = 3/6 = 0,5. P(A ∩ B) = P({6}) = 1/6.
3. Calcul : P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) = (1/6) / (1/2) = 1/3.
La probabilité est de 1/3.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 3 : Un test médical donne un résultat positif dans la majorité des cas si le patient est malade. Il donne un résultat négatif dans la majorité des cas si le patient est sain. On sait que 1% de la population est malade. Calcule la probabilité qu'un patient soit malade ET ait un test positif.
Correction :
1. Événements : M (Malade), S (Sain), T (Test positif).
2. Données : P(M) = 0,01 ; P_M(T) = 0,95.
3. Calcul : P(M ∩ T) = P(M) P_M(T) = 0,01 0,95 = 0,0095.
La probabilité est de 0,0095.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 4 : Reprends l'exercice 3. Calcule la probabilité que le test soit positif pour n'importe quel patient (probabilités totales).
Correction :
1. Le test est positif si le patient est malade OU s'il est sain (faux positif).
2. P(M ∩ T) = 0,0095 (calculé avant).
3. P(S ∩ T) = P(S) * P_S(T). P(S) = 1 - 0,01 = 0,99. P_S(T) = 1 - P_S(non T) = 1 - 0,90 = 0,10.
4. P(S ∩ T) = 0,99 * 0,10 = 0,099.
5. P(T) = P(M ∩ T) + P(S ∩ T) = 0,0095 + 0,099 = 0,1085.
La probabilité que le test soit positif est 0,1085.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : L'arbre pondéré est ton meilleur guide. Assure-toi que la somme des branches partant d'un point fait 1. Ne confonds pas P(A ∩ B) et P_A(B) : l'un est la probabilité globale, l'autre est une probabilité "locale" sur une branche.
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