Niveau : moyen. Durée estimée : 60 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour calculer $P_A(B)$, la probabilité de $B$ sachant $A$, ne garde que les cas où $A$ est réalisé et cherche la part de $B$ parmi eux. Exemple : dans une classe, 12 élèves font du latin et 3 d'entre eux sont internes ; sachant qu'un élève choisi au hasard fait du latin, la probabilité qu'il soit interne vaut $\frac{3}{12}=0{,}25$.
« Parmi les… » ou « sachant que… » annonce une probabilité conditionnelle. Dans un arbre pondéré (chaque branche porte une probabilité), le premier niveau donne $A$ et son contraire $\overline{A}$, le second les probabilités sachant $A$ ou sachant $\overline{A}$. Les branches issues d'un même nœud totalisent $1$ ; un chemin a pour probabilité le produit des probabilités de ses branches.
Formules à retenir :
- Définition, si $P(A)\neq0$ : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. On rencontre aussi la notation $P(B\mid A)$.
- Règle du produit : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
- Probabilités totales : $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$. Si $A_1$, $A_2$, $A_3$ forment une partition (à chaque fois, un et un seul des trois se réalise) : $P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+P(A_3\cap B)$.
- Remonter l'arbre : $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, avec $P(B)$ donnée par les probabilités totales (c'est l'idée de la formule de Bayes).
- Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ; si $P(A)\neq0$, cela revient à $P_A(B)=P(B)$ : connaître $A$ ne change pas la probabilité de $B$.
Piège classique : $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont deux nombres différents. La probabilité qu'un malade ait un test positif n'est pas la probabilité qu'une personne au test positif soit malade.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Dans un lycée, 60 % des élèves sont des filles et, parmi les filles, 20 % étudient l'espagnol. On choisit un élève au hasard ; on note $F$ « l'élève est une fille » et $E$ « l'élève étudie l'espagnol ». Calcule la probabilité que l'élève soit une fille qui étudie l'espagnol.
Correction :
« Parmi les filles » annonce une probabilité sachant $F$ ; on cherche $P(F\cap E)$, la probabilité du chemin.
$P(F)=0{,}6$ et $P_F(E)=0{,}2$, donc $P(F\cap E)=P(F)\times P_F(E)=0{,}6\times0{,}2$.
$P(F\cap E)=0{,}12$, soit 12 % des élèves.
Erreur à éviter : répondre $0{,}2$, qui ne concerne que les filles.
Exercice 2 : On lance deux pièces de monnaie équilibrées. On note $A$ « au moins une pièce tombe sur pile » et $B$ « les deux pièces tombent sur pile ». Calcule $P_A(B)$.
Correction :
On ne garde que les issues où $A$ est réalisé.
Sur les quatre issues de même probabilité (pile-pile, pile-face, face-pile, face-face), $A$ en contient trois, et une seule donne deux piles : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{1/4}{3/4}$.
$P_A(B)=\frac13$.
Erreur à éviter : répondre $\frac12$ ; pile-face et face-pile sont deux issues distinctes.
Pour l'exercice 3, voici la répartition des 250 élèves de première d'un lycée.
| Élèves | Internes | Non internes | Total |
|---|---|---|---|
| Sport en club | 40 | 60 | 100 |
| Pas de club | 30 | 120 | 150 |
| Total | 70 | 180 | 250 |
Exercice 3 : On choisit au hasard un élève de ce tableau. On note $S$ « il fait du sport en club » et $I$ « il est interne ». Calcule $P_S(I)$ et $P_I(S)$, puis compare-les.
Correction :
Avec des effectifs, on divise l'effectif de l'intersection par celui de la condition.
$P_S(I)=\dfrac{40}{100}$ (ligne « Sport en club ») et $P_I(S)=\dfrac{40}{70}$ (colonne « Internes »).
$P_S(I)=0{,}4$ et $P_I(S)=\frac47\approx0{,}57$ : les deux nombres sont différents.
Erreur à éviter : diviser par 250, ce qui donne $P(S\cap I)=0{,}16$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Léa va au lycée en bus avec une probabilité de $0{,}7$, sinon à vélo. En bus, elle arrive en retard avec une probabilité de $0{,}1$ ; à vélo, avec une probabilité de $0{,}05$. On note $B$ « Léa prend le bus » et $R$ « Léa est en retard ». Dresse l'arbre pondéré, puis calcule $P(R)$.
Correction :
$B$ et $\overline{B}$ forment une partition : on additionne les deux chemins qui mènent à $R$.
L'arbre : $B$ ($0{,}7$), puis $R$ ($0{,}1$) ou $\overline{R}$ ($0{,}9$) ; $\overline{B}$ ($0{,}3$), puis $R$ ($0{,}05$) ou $\overline{R}$ ($0{,}95$).
$P(R)=0{,}7\times0{,}1+0{,}3\times0{,}05=0{,}07+0{,}015$, donc $P(R)=0{,}085$.
Erreur à éviter : additionner $0{,}1$ et $0{,}05$ sans les multiplier par $0{,}7$ et $0{,}3$.
Exercice 5 : On lance un dé équilibré à six faces. On note $A$ « le résultat est pair », $B$ « le résultat est inférieur ou égal à 4 » et $C$ « le résultat est inférieur ou égal à 3 ». Détermine par le calcul si $A$ et $B$ sont indépendants, puis si $A$ et $C$ le sont.
Correction :
On compare $P(A\cap B)$ au produit $P(A)\times P(B)$.
$P(A)=\frac12$, $P(B)=\frac46=\frac23$ et $A\cap B=\{2\,;4\}$, donc $P(A\cap B)=\frac26=\frac13$, égal à $\frac12\times\frac23$ : $A$ et $B$ sont indépendants.
$P(C)=\frac12$ et $A\cap C=\{2\}$, donc $P(A\cap C)=\frac16$, alors que $P(A)\times P(C)=\frac14$ : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.
Erreur à éviter : croire que des événements indépendants ne peuvent pas se réaliser ensemble ; $A$ et $B$ ont le 2 et le 4 en commun.
Exercice 6 : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire deux boules l'une après l'autre ; on note $R_1$ « la première est rouge » et $R_2$ « la seconde est rouge ». Calcule $P(R_1\cap R_2)$ avec remise (la première boule est remise dans l'urne), puis sans remise.
Correction :
On applique la règle du produit en regardant l'urne au moment du second tirage.
Avec remise, l'urne n'a pas changé : $P_{R_1}(R_2)=\frac35$, les deux tirages sont indépendants et $P(R_1\cap R_2)=\frac35\times\frac35=\frac{9}{25}=0{,}36$.
Sans remise, il reste 2 rouges sur 4 boules : $P_{R_1}(R_2)=\frac24$ et $P(R_1\cap R_2)=\frac35\times\frac24=\frac{3}{10}=0{,}3$. Le second tirage dépend alors du premier.
Exercice 7 : Dans un magasin, 30 % des clients ont la carte de fidélité. Parmi eux, 80 % font un achat ; parmi les clients sans carte, une proportion $p$ fait un achat. Au total, 45 % des clients font un achat. Détermine $p$.
Correction :
On écrit les probabilités totales avec l'inconnue, puis on résout l'équation.
Avec $F$ « le client a la carte » et $A$ « il fait un achat » : $P(A)=0{,}3\times0{,}8+0{,}7\times p=0{,}24+0{,}7p$.
L'équation $0{,}24+0{,}7p=0{,}45$ donne $0{,}7p=0{,}21$, d'où $p=0{,}3$ : 30 % des clients sans carte font un achat.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Une usine fabrique ses téléphones sur trois chaînes : 50 % sur la chaîne 1, 30 % sur la chaîne 2 et 20 % sur la chaîne 3. Les proportions de téléphones défectueux y sont respectivement de 1 %, 3 % et 6 %. On prend un téléphone au hasard. a) Calcule la probabilité qu'il soit défectueux. b) Il est défectueux : de quelle chaîne vient-il le plus probablement, et avec quelle probabilité ?
Correction :
Les trois chaînes forment une partition : on additionne trois chemins. On note $C_k$ « le téléphone vient de la chaîne $k$ » et $D$ « il est défectueux ».
a) $P(D)=0{,}5\times0{,}01+0{,}3\times0{,}03+0{,}2\times0{,}06=0{,}005+0{,}009+0{,}012$, donc $P(D)=0{,}026$.
b) Les trois quotients $P_D(C_k)=\dfrac{P(C_k\cap D)}{P(D)}$ ont le même dénominateur : il suffit de comparer $0{,}005$, $0{,}009$ et $0{,}012$. C'est la chaîne 3, avec $P_D(C_3)=\dfrac{0{,}012}{0{,}026}=\dfrac{6}{13}\approx0{,}46$, alors qu'elle ne fabrique que 20 % des téléphones.
Exercice 9 : Données fictives. Une maladie touche 1 % d'une population. Un test de dépistage est positif chez 95 % des malades, mais aussi chez 10 % des personnes non malades (ce sont les « faux positifs »). On teste une personne au hasard ; on note $M$ « elle est malade » et $T$ « son test est positif ». a) Calcule $P(T)$. b) Son test est positif : calcule la probabilité qu'elle soit malade, arrondie au millième, puis commente.
Correction :
On calcule $P(T)$ par les probabilités totales, puis on remonte l'arbre.
a) $P(M\cap T)=0{,}01\times0{,}95=0{,}0095$ et $P(\overline{M}\cap T)=0{,}99\times0{,}1=0{,}099$, donc $P(T)=0{,}1085$.
b) $P_T(M)=\dfrac{0{,}0095}{0{,}1085}\approx0{,}088$.
Moins de 9 % des personnes positives sont malades, alors que le test repère 95 % des malades. Sur 10 000 personnes, 95 malades sont positifs, contre 990 non malades : la maladie est rare, donc les faux positifs dominent. C'est le piège $P_M(T)\neq P_T(M)$.
Exercice 10 : À un QCM, chaque question propose 4 réponses dont une seule est juste. Théo connaît la réponse avec une probabilité $p$, où $0<p<1$, et répond alors juste ; sinon, il coche une des 4 réponses au hasard. On note $C$ « Théo connaît la réponse » et $J$ « sa réponse est juste ». a) Montre que $P(J)=\dfrac{3p+1}{4}$. b) Sa réponse est juste : exprime en fonction de $p$ la probabilité qu'il connaisse la réponse. c) À partir de quelle valeur de $p$ cette probabilité atteint-elle $0{,}9$ ?
Correction :
On lit l'arbre, avec $P_C(J)=1$ et $P_{\overline{C}}(J)=\frac14$, puis on remonte avec la définition.
a) $P(J)=p\times1+(1-p)\times\frac14=\dfrac{4p+1-p}{4}$, donc $P(J)=\dfrac{3p+1}{4}$.
b) $P_J(C)=\dfrac{P(C\cap J)}{P(J)}=p\times\dfrac{4}{3p+1}$, donc $P_J(C)=\dfrac{4p}{3p+1}$.
c) Comme $3p+1>0$, l'inéquation $\dfrac{4p}{3p+1}\geqslant0{,}9$ équivaut à $4p\geqslant2{,}7p+0{,}9$, soit $1{,}3p\geqslant0{,}9$ : $p\geqslant\dfrac{9}{13}\approx0{,}69$.
Erreur à éviter : écrire $P(J)=p$ en oubliant les bonnes réponses données au hasard.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : le « sachant », c'est ce que tu sais déjà, et c'est lui qui va au dénominateur, même pour une probabilité « à l'envers » comme $P_T(M)$. Dans un arbre, multiplie le long d'un chemin, puis additionne les chemins qui mènent au même événement.
Le programme de spécialité de mathématiques de première a changé à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026) : sur un sujet plus ancien, vérifie avec ton professeur ce qui reste attendu.
Sources
Arrêté du 26 février 2026 fixant le programme d'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale, Légifrance.