Niveau : Moyen — Durée estimée : 50 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r, appelé raison. Le terme général s'exprime en fonction de n, ce qui permet de calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.
Une suite géométrique, en revanche, se construit en multipliant chaque terme par une constante q, également appelée raison. Ces suites croissent ou décroissent beaucoup plus rapidement que les suites arithmétiques, selon que la raison est supérieure ou inférieure à 1.
Savoir calculer la somme des premiers termes est une compétence essentielle. Pour les suites arithmétiques, on utilise la moyenne du premier et du dernier terme. Pour les géométriques, on appliqu'une formule spécifique faisant intervenir la puissance de la raison. Attention à bien compter le nombre de termes dans ta somme !
Formules : Arithmétique : u_n = u_0 + n*r. Géométrique : v_n = v_0 * q^n.
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme u_0 = 3 et de raison r = 4. Calcule u_10.
Correction :
On utilise la formule du terme général : u_n = u_0 + n*r.
u_10 = 3 + 10 * 4 = 3 + 40 = 43.
Exercice 2 : Soit (v_n) une suite géométrique de premier terme v_0 = 2 et de raison q = 3. Calcule v_4.
Correction :
On utilise la formule : v_n = v_0 * q^n.
v_4 = 2 3^4 = 2 81 = 162.
Exercice 3 : Détermine la raison d'une suite arithmétique telle que u_0 = 10 et u_20 = 50.
Correction :
u_20 = u_0 + 20*r => 50 = 10 + 20r.
40 = 20r => r = 40 / 20 = 2.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Calcule la somme S = 1 + 2 + 3 + . + 100.
Correction :
C'est la somme des 100 premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1.
Formule : S = nombre_de_termes * (premier + dernier) / 2.
S = 100 (1 + 100) / 2 = 50 101 = 5050.
Exercice 5 : Soit (v_n) géométrique avec v_1 = 10 et v_4 = 80. Trouve la raison q.
Correction :
v_4 = v_1 q^(4-1) = v_1 q³.
80 = 10 * q³ => q³ = 8. Donc q = 2.
Exercice 6 : Calcule la somme S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128.
Correction :
Suite géométrique de raison q = 2, premier terme a = 1, il y a 8 termes.
S = a (1 - q^n) / (1 - q) = 1 (1 - 2^8) / (1 - 2) = (1 - 256) / -1 = 255.
Exercice 7 : Étudie le sens de variation de la suite u_n = 5 - 2n.
Correction :
Calculons u_{n+1} - u_n = [5 - 2(n+1)] - [5 - 2n] = 5 - 2n - 2 - 5 + 2n = -2.
La différence est constante et négative, donc la suite est décroissante.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Un loyer augmente significativement chaque année. S'il est de 600€ aujourd'hui, quel sera-t-il en 2030 ?
Correction :
Augmenter de 2% revient à multiplier par 1,02. C'est une suite géométrique de raison q = 1,02.
L_0 = 600 (aujourd'hui). En 2030, n = 6.
L_6 = 600 (1,02)^6 ≈ 600 1,126 = 675,60€.
Exercice 9 : Trouve trois nombres en progression arithmétique dont la somme est 15 et le produit est 80.
Correction :
Soient les nombres (x-r), x, (x+r). Somme : (x-r) + x + (x+r) = 3x = 15, donc x = 5.
Produit : (5-r) 5 (5+r) = 5(25 - r²) = 80.
25 - r² = 16 => r² = 9, donc r = 3 (ou -3). Les nombres sont 2, 5, 8.
Exercice 10 : Démontre que pour toute suite géométrique de raison q ≠ 1, la somme des n premiers termes S_n vérifie la formule usuelle.
Correction :
S_n = a + aq + aq² + . + aq^(n-1).
qS_n = aq + aq² + . + aq^n.
S_n - qS_n = a - aq^n => S_n(1 - q) = a(1 - q^n).
D'où S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q).
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Identifie d'abord si la suite est additive (arithmétique) ou multiplicative (géométrique). Apprends tes formules par cœur, mais comprends comment elles sont construites. Attention au piège de l'indice : entre u_0 et u_n, il y a n+1 termes.
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