Niveau : Facile / Moyen — Durée estimée : 45 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Les transformations géométriques permettent de déplacer une figure dans le plan tout en conservant ses propriétés (longueurs, angles, aires). La symétrie axiale agit comme un miroir par rapport à une droite, tandis que la symétrie centrale effectue un demi-tour autour d'un point.
La translation glisse une figure selon une direction, un sens et une longueur donnés, souvent représentés par un vecteur. La rotation fait tourner la figure autour d'un centre $O$ selon un angle précis (positif pour le sens inverse des aiguilles d'une montre) et un sens donné.
Enfin, l'homothétie (souvent vue en fin de cycle 4) agrandit ou réduit la figure par rapport à un centre. Toutes ces transformations, sauf l'homothétie de rapport différent de 1 ou -1, sont des isométries : elles ne déforment pas l'objet initial.
Propriété : Les transformations conservent les alignements, les angles, les longueurs et les aires.
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : On considère un point $A$ et une droite $(d)$. Si le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$, quelle est la position de la droite $(d)$ par rapport au segment $[AA']$ ?
Correction :
Par définition de la symétrie axiale, la droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$. Cela signifie qu'elle est perpendiculaire au segment et passe par son milieu.
Exercice 2 : Quelle transformation est équivalente à une rotation de centre $O$ et d'angle 180° ?
Correction :
Une rotation de 180° correspond à un demi-tour parfait autour du centre $O$. Cette transformation est rigoureusement identique à une symétrie centrale de centre $O$.
Exercice 3 : Un triangle $ABC$ a une aire de 15 $cm^2$. On lui appliqu'une translation de vecteur $\vec{u}$. Quelle est l'aire du triangle image $A'B'C'$ ? Justifie.
Correction :
L'aire du triangle image est de 15 $cm^2$. La justification est que la translation est une isométrie, elle conserve donc les aires des figures.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Le point $M(2 ; 3)$ subit une symétrie centrale de centre $O(0 ; 0)$. Quelles sont les coordonnées du point image $M'$ ?
Correction :
Dans une symétrie centrale par rapport à l'origine, les coordonnées du point image sont les opposées des coordonnées du point de départ. Donc $x_{M'} = -x_M = -2$ et $y_{M'} = -y_M = -3$. Les coordonnées sont $M'(-2 ; -3)$.
Exercice 5 : Soit un carré $ABCD$ de centre $O$. Quelle est l'image du point $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre ?
Correction :
Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu $O$. En tournant de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre autour de $O$, le point $A$ se déplace vers le sommet suivant. L'image est le point $B$ (en supposant le nommage classique ABCD).
Exercice 6 : On donne deux points $E$ et $F$. On applique à $E$ la translation qui transforme $A$ en $B$. Comment peut-on qualifier le quadrilatère $ABFE'$ (où $E'$ est l'image de $E$) ?
Correction :
Si la translation transforme $A$ en $B$ et $E$ en $E'$, alors le vecteur $\vec{AB}$ est égal au vecteur $\vec{EE'}$. Par propriété des vecteurs, si $\vec{AB} = \vec{EE'}$, alors le quadrilatère $AB E'E$ est un parallélogramme.
Exercice 7 : Trace l'image d'un cercle de rayon 3 cm par une rotation de 60°. Quel sera le rayon du cercle image ?
Correction :
La rotation conserve les distances. Puisque le rayon est une distance entre le centre du cercle et un point de sa circonférence, il reste inchangé. Le rayon du cercle image est donc de 3 cm.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Un polygone possèd'un centre de symétrie $S$. Si le point $A(1 ; 2)$ appartient au polygone et que $S$ a pour coordonnées $(3 ; 3)$, quel autre point appartient nécessairement au polygone ?
Correction :
On cherche le symétrique de $A$ par rapport à $S(3 ; 3)$. $S$ doit être le milieu de $[AA']$.
$\frac{x_A + x_{A'}}{2} = x_S \implies \frac{1 + x_{A'}}{2} = 3 \implies 1 + x_{A'} = 6 \implies x_{A'} = 5$.
$\frac{y_A + y_{A'}}{2} = y_S \implies \frac{2 + y_{A'}}{2} = 3 \implies 2 + y_{A'} = 6 \implies y_{A'} = 4$.
Le point $(5 ; 4)$ appartient aussi au polygone.
Exercice 9 : Démontre que la composée de deux symétries axiales d'axes parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$ est une translation. Quelle est sa distance ?
Correction :
Soit $M$ un point. La première symétrie par rapport à $(d_1)$ donne $M'$. La deuxième par rapport à $(d_2)$ donne $M''$. Les segments $[MM']$ et $[M'M'']$ sont perpendiculaires aux axes parallèles, donc $M, M'$ et $M''$ sont alignés.
La distance $MM'' = 2 \times$ la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$. Le déplacement ne dépend pas de $M$, c'est donc bien une translation de vecteur perpendiculaire aux axes et de norme $2d$.
Exercice 10 : On appliqu'une rotation de 90° à une droite $(d)$. Quelle est la position relative de la droite $(d)$ et de son image $(d')$ ?
Correction :
Une rotation conserve les angles entre les objets. Puisque la droite a "tourné" de 90° par rapport à sa direction initiale, la droite image $(d')$ est perpendiculaire à la droite initiale $(d)$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Visualise toujours le mouvement. Translation = glissement. Rotation = pivot. Symétrie axiale = pliage. Symétrie centrale = demi-tour. Toutes ces transformations gardent les formes intactes : c'est ta meilleure vérification lors d'un tracé !
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