Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 75 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Avant toute formule, pose-toi deux questions : l'ordre compte-t-il, et un même élément peut-il revenir ? Quand des objets identiques se répètent, compte-les comme s'ils étaient tous différents, puis divise par les échanges entre objets identiques, qui ne changent rien. Exemple : le mot ELLE a $\frac{4!}{2!\,2!} = 6$ anagrammes (mots obtenus en permutant ses lettres, qu'ils aient un sens ou non) : EELL, ELEL, ELLE, LEEL, LELE, LLEE.
Sans ordre et avec répétition, on parle de combinaisons avec répétition. Choisir $k$ objets parmi $n$ types revient à répartir $k$ objets identiques dans $n$ cases : on aligne $k$ étoiles et $n-1$ barres qui séparent les cases, puis on choisit la place des barres. Exemple : choisir 3 boules, chacune rouge ou bleue, sans tenir compte de l'ordre, donne $\binom{4}{3} = 4$ possibilités (RRR, RRB, RBB, BBB).
Quand un choix se fait en plusieurs étapes, on multiplie ; quand il se découpe en cas qui ne se recoupent pas, on additionne. Une contrainte « au moins » va souvent plus vite par le contraire.
Formules à retenir : pour un ensemble à $n$ éléments,
- $p$-listes (suites de $p$ éléments, répétition permise) : $n^p$ ;
- arrangements ($p$ éléments distincts, dans l'ordre) : $\frac{n!}{(n-p)!}$ ; permutations : $n!$ ;
- combinaisons ($p$ éléments distincts, sans ordre) : $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}$ ;
- combinaisons avec répétition ($k$ objets parmi $n$ types) : $\binom{n+k-1}{k}$ ;
- mots de $m$ lettres formés de $n_1$ lettres identiques d'une sorte, …, $n_r$ d'une autre : $\frac{m!}{n_1!\,n_2!\cdots n_r!}$.
Piège classique : mélanger deux modèles dans un même calcul. Si tu ne notes que des couleurs, les boules d'une même couleur sont indiscernables (rien ne permet de les distinguer) : multiplier par $\binom{4}{3}$ pour « choisir trois rouges parmi quatre » revient à les numéroter, et le total ne compte plus rien de précis. Décide dès le départ : tout est numéroté, ou seules les couleurs comptent.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : On a 5 jetons numérotés de 1 à 5. On les tire tous, l'un après l'autre et sans remise, en notant la suite des numéros. Combien de suites différentes peut-on obtenir ?
Correction :
L'ordre compte et chaque jeton sort une seule fois : une suite est une permutation des 5 jetons.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$, soit 120 suites.
Exercice 2 : Combien de nombres de 3 chiffres peut-on écrire avec les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5, si un même chiffre peut être répété ?
Correction :
L'ordre compte (123 et 321 sont différents) et un chiffre peut revenir : un tel nombre est une $3$-liste de $\{1,2,3,4,5\}$, avec 5 choix pour chaque position.
$5^3 = 125$, soit 125 nombres.
Exercice 3 : Combien d'anagrammes le mot ANANAS a-t-il, en comptant le mot lui-même ?
Correction :
6 lettres, dont 3 A et 2 N identiques : on divise $6!$ par $3!$ et par $2!$.
$\frac{6!}{3!\,2!\,1!} = \frac{720}{12} = 60$, soit 60 anagrammes.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : On range sur une étagère 7 livres : 3 de maths, 2 de physique et 2 d'histoire. Seule la matière compte : deux livres de la même matière sont vus comme identiques. a) Combien de rangements gardent les 3 livres de maths côte à côte ? b) Combien ne les gardent pas tous les trois ensemble ?
Correction :
a) On colle les 3 livres de maths en un seul bloc M, puis on range 5 objets : M, deux P et deux H. On trouve $\frac{5!}{2!\,2!} = \frac{120}{4} = 30$ rangements.
b) On passe par le contraire. Sans contrainte, il y a $\frac{7!}{3!\,2!\,2!} = \frac{5040}{24} = 210$ rangements, donc $210 - 30 = 180$.
a) 30 rangements ; b) 180 rangements.
Exercice 5 : On distribue 10 bonbons identiques à 4 enfants ; un enfant peut n'en recevoir aucun. Combien de distributions différentes sont possibles ?
Correction :
Une distribution est une solution de $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10$ en entiers positifs ou nuls. On aligne 10 étoiles (les bonbons) et 3 barres (les séparations entre enfants) : une distribution, c'est le choix des places des 3 barres parmi 13.
$\binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$, soit 286 distributions.
Erreur à éviter : $4^{10}$, qui compte des bonbons tous différents.
Exercice 6 : On place 5 boules identiques dans 3 boîtes numérotées, sans laisser de boîte vide. De combien de façons peut-on le faire ?
Correction :
On met d'abord une boule dans chaque boîte ; il reste 2 boules à répartir librement, soit les solutions de $y_1 + y_2 + y_3 = 2$ avec $y_i \geq 0$.
$\binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = 6$, soit 6 façons.
Erreur à éviter : $\binom{5+3-1}{5} = 21$, qui compte aussi les répartitions avec une boîte vide.
Exercice 7 : Un jeu de 52 cartes compte 13 rangs (as, 2 à 10, valet, dame, roi) de 4 cartes chacun. Une main est un ensemble de 5 cartes, sans ordre. Combien de mains contiennent 3 cartes d'un même rang et 2 cartes d'un autre rang ?
Correction :
On construit la main étape par étape et on multiplie. Rang des trois cartes : 13 choix, puis ces trois cartes : $\binom{4}{3} = 4$. Rang des deux cartes, parmi les 12 autres : 12 choix, puis ces deux cartes : $\binom{4}{2} = 6$.
$13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3\,744$, soit 3 744 mains.
Erreur à éviter : choisir les deux rangs avec $\binom{13}{2}$. Ils n'ont pas le même rôle (trois cartes d'un côté, deux de l'autre) : on trouverait la moitié du total.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : On enfile 6 perles sur un collier fermé : 3 rouges (R), 2 bleues (B) et 1 verte (V) ; les perles d'une même couleur sont identiques. Deux colliers sont les mêmes si l'un s'obtient en faisant tourner l'autre, sans le retourner. Combien de colliers différents peut-on fabriquer ?
Correction :
La perle verte est unique : on tourne chaque collier pour la mettre en haut, puis on lit les 5 autres perles dans le sens des aiguilles d'une montre. Chaque collier donne ainsi une seule suite de 3 R et 2 B, et chaque suite donne un collier.
$\frac{5!}{3!\,2!} = 10$, soit 10 colliers.
Erreur à éviter : diviser en règle générale les rangements en ligne par le nombre de rotations. Ici, les 60 rangements en ligne (le calcul d'ANANAS) divisés par 6 donnent bien 10, parce qu'aucune rotation ne redonne le même collier. Avec 2 R et 2 B, on aurait $\frac{6}{4}$ (6 rangements, 4 rotations), qui n'est même pas entier : il y a 2 colliers, RRBB et RBRB.
Exercice 9 : Une urne contient 4 boules rouges, 3 bleues et 2 vertes ; les boules d'une même couleur sont indiscernables. On tire 5 boules l'une après l'autre, sans remise, et on note la suite des couleurs (par exemple RBRVR). Combien de suites de couleurs différentes peut-on obtenir ?
Correction :
On compte les mots de 5 lettres écrits avec R, B et V, puis on retire ceux que le contenu de l'urne rend impossibles.
Sans contrainte : $3^5 = 243$ mots. À retirer : 5 R, soit 1 mot ; au moins 4 B, soit $5 \times 2 + 1 = 11$ mots (une seule boule non bleue, avec sa place et sa couleur, ou BBBBB) ; au moins 3 V, soit $\binom{5}{3} \times 2^2 + \binom{5}{4} \times 2 + 1 = 40 + 10 + 1 = 51$ mots. Ces cas ne se recoupent pas : deux à la fois demanderaient plus de 5 boules.
$243 - 1 - 11 - 51 = 180$, soit 180 suites de couleurs.
Erreur à éviter : multiplier chaque cas par $\binom{4}{3}$, $\binom{3}{2}$, etc. pour « choisir les boules » : c'est le piège du rappel.
Exercice 10 : Combien de mots de 8 lettres peut-on écrire avec les lettres A, B, C, D, E, répétitions permises, si A apparaît exactement 2 fois et B au moins 3 fois ?
Correction :
On place les deux A, puis on remplit les 6 places restantes avec B, C, D, E, en passant par le contraire pour « au moins 3 B ».
Places des A : $\binom{8}{2} = 28$. Mots de 6 lettres sur B, C, D, E : $4^6 = 4\,096$, dont $3^6 + 6 \times 3^5 + \binom{6}{2} \times 3^4 = 729 + 1\,458 + 1\,215 = 3\,402$ ont 0, 1 ou 2 B. Il en reste $4\,096 - 3\,402 = 694$.
$28 \times 694 = 19\,432$, soit 19 432 mots.
Erreur à éviter : réserver 3 places aux B puis compléter librement, soit $\binom{6}{3} \times 4^3 = 1\,280$ au lieu de 694 : un mot qui a 4 B ou plus est compté plusieurs fois.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : avant de calculer, dis en une phrase ce que tu comptes, des suites ou des ensembles, et si les objets sont discernables. Pour répartir des objets identiques, pense étoiles et barres ; pour une contrainte « au moins », pense cas disjoints ou contraire.
Teste ta formule sur un petit cas que tu peux lister à la main, comme ELLE ou les colliers RRBB et RBRB : si les deux comptes diffèrent, c'est le modèle qui est faux.
En PCSI, le programme de mathématiques de 2021 contient les $p$-listes d'éléments distincts, les permutations et les parties à $p$ éléments, et précise que l'utilisation de bijections en dénombrement n'y est pas un attendu. La méthode des étoiles et barres repose sur une bijection : quand tu t'en sers, justifie le codage en une phrase.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques de la classe PCSI (annexe 1, 2021), partie « Dénombrement ».