Exercices Corrigés sur les Résidus et le Théorème de Cauchy
Compétences travaillées : Appliquer le théorème de Cauchy pour les intégrales de fonctions holomorphes, identifier et calculer les résidus d'une fonction en ses singularités, utiliser le théorème des résidus pour le calcul d'intégrales complexes.
Erreurs fréquentes : Ne pas identifier correctement toutes les singularités à l'intérieur du contour, erreurs dans le calcul des résidus (notamment pour les pôles d'ordre supérieur), oubli du facteur $2\pi i$ dans le théorème des résidus.
Cette série d'exercices te permet de plonger dans l'application pratique du théorème de Cauchy et du calcul des résidus. Ces outils sont essentiels pour évaluer des intégrales complexes qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. La progression de la difficulté te mènera de la compréhension des bases à des applications plus avancées.
Exercice 1 : Soit $f(z)$ une fonction holomorphe sur un domaine simplement connexe $D$. Si $C$ est une courbe fermée simple dans $D$, quel est le résultat de l'intégrale $\oint_C f(z) dz$ selon le théorème de Cauchy ?
Correction :
Ceci est une application directe du théorème de Cauchy.
Méthode : Application directe du théorème de Cauchy.
Solution étape par étape :
Le théorème de Cauchy (version simple) stipule que si une fonction $f(z)$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe $D$, et si $C$ est une courbe fermée simple entièrement contenue dans $D$, alors l'intégrale de $f(z)$ le long de $C$ est nulle.
Donc, $\oint_C f(z) dz = 0$.
Astuce : Le domaine d'holomorphie et la simplicité de la courbe sont des conditions cruciales.
Résultat : $\oint_C f(z) dz = 0$.
Exercice 2 : Soit $f(z) = z^3$. Calculer $\oint_C f(z) dz$ où $C$ est la droite joignant $z=0$ à $z=1+i$. Est-ce que le résultat dépend du chemin choisi ?
Correction :
Cette question évalue la compréhension de la relation entre holomorphie et indépendance du chemin.
Méthode : Utiliser le fait que $f(z)$ est holomorphe sur tout $\mathbb{C}$ (un domaine simplement connexe).
Solution étape par étape :
La fonction $f(z) = z^3$ est un polynôme, donc elle est holomorphe sur tout $\mathbb{C}$. Le plan complexe $\mathbb{C}$ est un domaine simplement connexe.
Le théorème de Cauchy stipule que si $f$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe $D$, alors l'intégrale de $f$ entre deux points $a$ et $b$ dans $D$ ne dépend pas du chemin choisi dans $D$. Plus précisément, si $C_1$ et $C_2$ sont deux courbes dans $D$ joignant $a$ à $b$, alors $\int_{C_1} f(z) dz = \int_{C_2} f(z) dz$.
Dans ce cas, nous pouvons choisir un chemin simple, par exemple la droite joignant 0 à $1+i$. Ou, encore plus simplement, puisque $f(z)$ est holomorphe sur tout $\mathbb{C}$, et qu'une primitive de $f(z)=z^3$ est $F(z) = \frac{z^4}{4}$, l'intégrale entre $a=0$ et $b=1+i$ est simplement $F(b) - F(a)$.
$F(1+i) - F(0) = \frac{(1+i)^4}{4} - \frac{0^4}{4}$.
Calculons $(1+i)^4$: $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.
$(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$.
Donc, l'intégrale est $\frac{-4}{4} = -1$.
Le résultat ne dépend pas du chemin choisi car $f(z)$ est holomorphe sur un domaine simplement connexe.
Point méthode : Pour une fonction holomorphe sur un domaine simplement connexe, l'intégrale entre deux points ne dépend que des points, pas du chemin.
Résultat : $\oint_C z^3 dz = -1$, et ce résultat est indépendant du chemin.
Exercice 3 : Soit $f(z) = \frac{1}{z}$. Calculer $\oint_C f(z) dz$ où $C$ est le cercle unité $|z|=1$, parcouru dans le sens trigonométrique.
Correction :
Cette intégrale a une singularité à l'intérieur du contour. Nous allons la calculer en utilisant la paramétrisation comme dans la série précédente.
Méthode : Paramétrisation de la courbe.
Solution étape par étape :
La courbe $C$ est paramétrée par $z(t) = e^{it}$ pour $t \in [0, 2\pi]$.
Alors $dz = ie^{it} dt$.
La fonction est $f(z) = \frac{1}{z}$. Sur $C$, $f(z(t)) = \frac{1}{e^{it}} = e^{-it}$.
L'intégrale est :
$\oint_C \frac{1}{z} dz = \int_0^{2\pi} e^{-it} (ie^{it}) dt = \int_0^{2\pi} i dt = i[t]_0^{2\pi} = 2\pi i$.
Astuce : Cette intégrale est un cas particulier fondamental qui montre l'importance des singularités.
Résultat : $\oint_C \frac{1}{z} dz = 2\pi i$.
Exercice 4 : Soit $f(z) = \frac{1}{z(z-2)}$. Calculer $\oint_C f(z) dz$ où $C$ est le cercle $|z|=1$, parcouru dans le sens trigonométrique.
Correction :
Cette intégrale impliqu'une fonction avec des singularités, et le contour est donné. Nous devons identifier les singularités à l'intérieur du contour.
Méthode : Utiliser le théorème de Cauchy ou identifier la position des singularités par rapport au contour.
Solution étape par étape :
La fonction $f(z) = \frac{1}{z(z-2)}$ a des pôles simples en $z=0$ et $z=2$.
Le cercle $C$ est $|z|=1$. Sa seule singularité à l'intérieur est $z=0$. La singularité $z=2$ est à l'extérieur du cercle.
Puisque $f(z)$ est holomorphe à l'intérieur du cercle $C$ sauf au point $z=0$, nous pouvons considérer le contour $C'$ comme un cercle plus petit entourant $z=0$ mais pas $z=2$. Par le principe du déformation des contours, l'intégrale sur $C$ est la même que sur $C'$.
Cependant, il est plus direct de dire que la fonction $g(z) = (z-2)f(z) = \frac{1}{z}$ est holomorphe à l'intérieur et sur le contour $C$ à l'exception du point $z=0$. La fonction $h(z) = z f(z) = \frac{1}{z-2}$ est holomorphe partout à l'intérieur de $C$ (car $|z|=1$ n'inclut pas $z=2$).
Puisque $h(z) = z f(z)$ est holomorphe à l'intérieur et sur $C$, par le théorème de Cauchy, $\oint_C h(z) dz = 0$.
Donc, $\oint_C z f(z) dz = 0$.
Nous avons $z f(z) = \frac{1}{z-2}$.
$\oint_C \frac{1}{z-2} dz = 0$.
Ceci montre que l'intégrale de $\frac{1}{z-2}$ le long du cercle unité est nulle.
Pour calculer $\oint_C f(z) dz = \oint_C \frac{1}{z(z-2)} dz$, on peut utiliser la décomposition en éléments simples :
$\frac{1}{z(z-2)} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z-2}$.
$1 = A(z-2) + Bz$.
Pour $z=0$, $1 = A(-2) \implies A = -1/2$.
Pour $z=2$, $1 = B(2) \implies B = 1/2$.
Donc $f(z) = -\frac{1}{2z} + \frac{1}{2(z-2)}$.
$\oint_C f(z) dz = \oint_C \left(-\frac{1}{2z} + \frac{1}{2(z-2)}\right) dz = -\frac{1}{2} \oint_C \frac{1}{z} dz + \frac{1}{2} \oint_C \frac{1}{z-2} dz$.
Nous avons déjà calculé $\oint_C \frac{1}{z} dz = 2\pi i$ (Exercice 3).
Pour $\oint_C \frac{1}{z-2} dz$, la fonction $g(z) = \frac{1}{z-2}$ est holomorphe à l'intérieur et sur le cercle $|z|=1$ car le pôle $z=2$ est extérieur au cercle.
Par le théorème de Cauchy, $\oint_C \frac{1}{z-2} dz = 0$.
Donc, $\oint_C f(z) dz = -\frac{1}{2} (2\pi i) + \frac{1}{2} (0) = -\pi i$.
Point méthode : Utilise la décomposition en éléments simples pour simplifier l'intégrale, puis applique le théorème de Cauchy ou le théorème des résidus.
Résultat : $\oint_C \frac{1}{z(z-2)} dz = -\pi i$.
Exercice 5 : Calculer le résidu de $f(z) = \frac{e^z}{z^2(z-1)}$ en $z=0$.
Correction :
Il s'agit d'un pôle d'ordre 2, ce qui nécessite une formule spécifique pour le calcul du résidu.
Méthode : Calcul du résidu en un pôle d'ordre $m$.
Solution étape par étape :
La fonction $f(z) = \frac{e^z}{z^2(z-1)}$ a une singularité en $z=0$. Le dénominateur est $z^2(z-1)$. Le terme $z^2$ indiqu'un pôle d'ordre 2 en $z=0$. Le terme $(z-1)$ ne s'annule pas en $z=0$.
La formule pour le résidu en un pôle $z_0$ d'ordre $m$ est :
$\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left((z-z_0)^m f(z) \right)$.
Ici, $z_0 = 0$ et $m=2$. Donc $(m-1)! = 1! = 1$.
$(z-0)^m f(z) = z^2 \cdot \frac{e^z}{z^2(z-1)} = \frac{e^z}{z-1}$.
Nous devons calculer la dérivée première de $\frac{e^z}{z-1}$ et prendre la limite quand $z \to 0$.
Soit $g(z) = \frac{e^z}{z-1}$. Sa dérivée $g'(z)$ est :
$g'(z) = \frac{e^z(z-1) - e^z(1)}{(z-1)^2} = \frac{ze^z - e^z - e^z}{(z-1)^2} = \frac{ze^z - 2e^z}{(z-1)^2}$.
Maintenant, calculons la limite quand $z \to 0$ :
$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{ze^z - 2e^z}{(z-1)^2} = \frac{0 \cdot e^0 - 2e^0}{(0-1)^2} = \frac{0 - 2(1)}{(-1)^2} = \frac{-2}{1} = -2$.
Astuce : Pour les pôles d'ordre élevé, l'utilisation de la formule est plus simple que le développement en série de Laurent.
Résultat : Le résidu de $f(z) = \frac{e^z}{z^2(z-1)}$ en $z=0$ est $-2$.
Exercice 6 : Calculer $\oint_C \frac{e^z}{z^2(z-1)} dz$ où $C$ est le cercle $|z|=1/2$, parcouru dans le sens trigonométrique.
Correction :
Nous allons utiliser le théorème des résidus pour calculer cette intégrale.
Méthode : Théorème des résidus.
Solution étape par étape :
La fonction est $f(z) = \frac{e^z}{z^2(z-1)}$. Les singularités sont en $z=0$ (pôle d'ordre 2) et $z=1$ (pôle simple).
Le contour $C$ est le cercle $|z|=1/2$. La seule singularité à l'intérieur de ce cercle est $z=0$. La singularité $z=1$ est à l'extérieur.
Nous avons déjà calculé le résidu en $z=0$ dans l'exercice précédent : $\text{Res}(f, 0) = -2$.
Le théorème des résidus stipule que $\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$, où $z_k$ sont les singularités à l'intérieur de $C$.
Ici, la seule singularité est $z=0$. Donc, $\sum \text{Res}(f, z_k) = \text{Res}(f, 0) = -2$.
L'intégrale est donc :
$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \times (-2) = -4\pi i$.
Astuce : Assure-toi de bien identifier quelles singularités sont à l'intérieur du contour.
Résultat : $\oint_C \frac{e^z}{z^2(z-1)} dz = -4\pi i$.
Exercice 7 : Calculer l'intégrale réelle $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx$ en utilisant le théorème des résidus.
Correction :
Cette intégrale réelle peut être calculée en considérant une intégrale complexe appropriée.
Méthode : Associer l'intégrale réelle à une intégrale complexe sur un contour semi-circulaire.
Solution étape par étape :
Considérons la fonction complexe $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$. Les singularités de $f(z)$ sont les racines de $z^2+1=0$, c'est-à-dire $z^2 = -1$, donc $z = i$ et $z = -i$. Ce sont des pôles simples.
Nous allons calculer l'intégrale de $f(z)$ sur un contour $C_R$ formé par le segment réel de $-R$ à $R$ et un demi-cercle supérieur $\Gamma_R$ de rayon $R$ centré à l'origine, pour $R>1$.
L'intégrale sur le segment réel est $\int_{-R}^{R} \frac{1}{x^2+1} dx$. Lorsque $R \to \infty$, cette intégrale tend vers l'intégrale réelle recherchée.
Le contour $C_R$ n'entoure que la singularité $z=i$ (car $R>1$).
Le résidu en $z=i$ est :
$\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z-i) \frac{1}{z^2+1} = \lim_{z \to i} (z-i) \frac{1}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{i+i} = \frac{1}{2i}$.
Selon le théorème des résidus, $\oint_{C_R} f(z) dz = 2\pi i \times \text{Res}(f, i) = 2\pi i \times \frac{1}{2i} = \pi$.
L'intégrale sur le contour $C_R$ est $\oint_{C_R} f(z) dz = \int_{-R}^{R} f(x) dx + \int_{\Gamma_R} f(z) dz$.
Lorsque $R \to \infty$, on peut montrer que l'intégrale sur le demi-cercle $\Gamma_R$ tend vers 0. Pour $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$, $|f(z)| \leq \frac{1}{R^2-1}$ sur $\Gamma_R$ si $R>1$. La longueur de $\Gamma_R$ est $\pi R$. Par le lemme de estimation, $\left|\int_{\Gamma_R} f(z) dz\right| \leq \frac{1}{R^2-1} \pi R \to 0$ lorsque $R \to \infty$.
Donc, en passant à la limite $R \to \infty$ :
$\lim_{R \to \infty} \oint_{C_R} f(z) dz = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} f(x) dx + \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} f(z) dz$.
$\pi = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx + 0$.
Point méthode : Pour les intégrales réelles sur $(-\infty, \infty)$, on utilise souvent un contour semi-circulaire supérieur (ou inférieur) et le lemme de estimation.
Résultat : $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx = \pi$.
Exercice 8 : Calculer l'intégrale réelle $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1} dx$ en utilisant le théorème des résidus.
Correction :
Cette intégrale impliqu'une fonction trigonométrique au numérateur, ce qui nécessite une légère adaptation.
Méthode : Utiliser $e^{iz}$ au lieu de $\cos(x)$ et prendre la partie réelle.
Solution étape par étape :
Considérons la fonction complexe $f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2+1}$. Les singularités sont $z=i$ et $z=-i$ (pôles simples).
Nous utilisons le même contour que précédemment : le segment $[-R, R]$ et le demi-cercle supérieur $\Gamma_R$. La singularité à l'intérieur est $z=i$.
Le résidu en $z=i$ de $f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2+1}$ est :
$\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z-i) \frac{e^{iz}}{(z-i)(z+i)} = \lim_{z \to i} \frac{e^{iz}}{z+i} = \frac{e^{i(i)}}{i+i} = \frac{e^{-1}}{2i} = \frac{1}{2ie}$.
Par le théorème des résidus, $\oint_{C_R} f(z) dz = 2\pi i \times \text{Res}(f, i) = 2\pi i \times \frac{1}{2ie} = \frac{\pi}{e}$.
En passant à la limite $R \to \infty$, l'intégrale sur $\Gamma_R$ tend vers 0 (car $|e^{iz}| = |e^{i(x+iy)}| = e^{-y}$, et pour $y>0$ sur $\Gamma_R$, $y$ est de l'ordre de $R$, donc $|e^{iz}| \to 0$ assez vite). Plus rigoureusement, on utilise le lemme de Jordan pour $\int_{\Gamma_R} \frac{e^{iz}}{z^2+1} dz$. On a $|f(z)| \leq \frac{1}{R^2-1}$ pour $z$ sur $\Gamma_R$ et $R>1$. La longueur de $\Gamma_R$ est $\pi R$. Par le lemme de Jordan, $\left|\int_{\Gamma_R} f(z) dz\right| \leq \frac{\pi R}{R^2-1} \to 0$ quand $R \to \infty$.
Donc, $\lim_{R \to \infty} \oint_{C_R} f(z) dz = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{e}$.
L'intégrale recherchée est la partie réelle de cette intégrale :
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1} dx = \text{Re}\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1} dx\right) = \text{Re}\left(\frac{\pi}{e}\right) = \frac{\pi}{e}$.
Astuce : Utilise $e^{iz}$ pour les intégrales impliquant $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ car c'est plus simple à manipuler avec les résidus.
Résultat : $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{e}$.
Comment ORBITECH Peut T'aider
ORBITECH AI Academy est conçue pour t'aider à exceller dans des domaines exigeants comme l'analyse complexe. Nous fournissons les outils et le soutien nécessaires pour que tu puisses aborder ces concepts avec confiance.
- Accès à des exercices corrigés qui couvrent le théorème de Cauchy et le calcul des résidus de manière approfondie.
- Des explications claires qui décomposent les concepts mathématiques complexes.
- Des ressources pédagogiques pour renforcer ta compréhension des applications pratiques.
- Un environnement d'apprentissage stimulant pour t'aider à atteindre tes objectifs académiques.