Niveau : troisième année de licence, du premier résidu au sujet de partiel. Durée estimée : 1 h 30. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Le théorème des résidus ramène $\oint_\gamma f(z)\,dz$, sur un contour fermé parcouru une fois dans le sens direct (sens trigonométrique), à $2i\pi$ fois la somme des résidus de $f$ aux singularités intérieures à $\gamma$ ; s'il n'y en a aucune, l'intégrale est nulle : c'est le théorème de Cauchy. Tout se joue donc sur le calcul du résidu, et la bonne méthode dépend de l'ordre de la singularité : trouve-le avant de choisir une formule. Exemple : $\frac{1-\cos z}{z^3}$ semble avoir un pôle triple en $0$, mais $1-\cos z=\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{24}+\dots$ donne $\frac{1-\cos z}{z^3}=\frac{1}{2z}-\frac{z}{24}+\dots$ : c'est un pôle simple, de résidu $\frac{1}{2}$, donc $\oint_{|z|=1}\frac{1-\cos z}{z^3}\,dz=i\pi$.
Une singularité isolée $z_0$ est un point où $f$ n'est pas définie alors qu'elle est holomorphe tout autour. Son développement de Laurent, c'est-à-dire l'écriture de $f$ en puissances positives et négatives de $z-z_0$, donne sa nature : sans puissance négative, elle est effaçable ; si la plus basse est $(z-z_0)^{-m}$, c'est un pôle d'ordre $m$ ; s'il y en a une infinité, elle est essentielle. Le résidu $\mathrm{Res}(f,z_0)$ est le coefficient de $\frac{1}{z-z_0}$.
| Singularité en $z_0$ | Résidu : la méthode la plus courte |
|---|---|
| Effaçable | $0$, sans calcul |
| Pôle simple | $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$, ou $\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$ si $f=\frac{g}{h}$, $h(z_0)=0$ et $h'(z_0)\neq0$ |
| Pôle double | $\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\left[(z-z_0)^2f(z)\right]$ |
| Pôle d'ordre $3$ ou plus | le développement, souvent plus court que la formule générale |
| Essentielle | le développement de Laurent, seule méthode |
Formules à retenir :
- Théorème des résidus : si $\gamma$ est un contour fermé simple parcouru une fois dans le sens direct, et $f$ holomorphe sur un ouvert contenant $\gamma$ et son intérieur, sauf en un nombre fini de points $z_k$ intérieurs à $\gamma$, alors $\oint_\gamma f(z)\,dz=2i\pi\sum_k\mathrm{Res}(f,z_k)$.
- Pôle d'ordre $m$ : $\mathrm{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-z_0)^mf(z)\right]$.
- Formule intégrale de Cauchy : si $f$ est holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé dont le bord $\gamma$ est parcouru dans le sens direct, alors pour tout $a$ intérieur au disque et tout entier $n\ge0$, $f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2i\pi}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$.
Piège classique : appliquer la formule du pôle simple sans avoir vérifié l'ordre. Sur un pôle double, $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$ est infinie et $\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$ n'a plus de sens, car $h'(z_0)=0$. Et l'ordre ne se lit pas sur le seul dénominateur : un zéro du numérateur le fait baisser.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : À l'aide d'un développement en série autour de $0$, donne la nature de la singularité en $0$ et le résidu en $0$ de chaque fonction : a) $\frac{\sin z}{z}$ ; b) $\frac{e^z-1}{z^2}$ ; c) $z\,e^{1/z}$.
Correction :
On écrit chaque développement autour de $0$ et on lit les puissances négatives.
a) $\frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{6}+\dots$ : aucune puissance négative.
b) $e^z-1=z+\frac{z^2}{2}+\dots$, donc $\frac{e^z-1}{z^2}=\frac{1}{z}+\frac{1}{2}+\dots$
c) $e^{1/z}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\dots$, donc $z\,e^{1/z}=z+1+\frac{1}{2z}+\frac{1}{6z^2}+\dots$, avec une infinité de puissances négatives.
a) Effaçable, résidu $0$ ; b) pôle simple, résidu $1$ ; c) essentielle, résidu $\frac{1}{2}$. En b), le $z^2$ du dénominateur fait croire à tort à un pôle double.
Exercice 2 : Soit $f(z)=\frac{1}{z^4-1}$. Calcule le résidu de $f$ en chacun de ses quatre pôles, puis $\oint_{\mathcal{C}}f(z)\,dz$, où $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $1$ et de rayon $1$, parcouru une fois dans le sens direct.
Correction :
Les pôles sont les racines quatrièmes de l'unité, et la formule $\frac{g(z_k)}{h'(z_k)}$ s'applique car $h'(z)=4z^3$ ne s'y annule pas.
En $z_k\in\{1,i,-1,-i\}$ : $\mathrm{Res}(f,z_k)=\frac{1}{4z_k^3}=\frac{z_k}{4z_k^4}=\frac{z_k}{4}$, car $z_k^4=1$. Les résidus valent $\frac{1}{4}$, $\frac{i}{4}$, $-\frac{1}{4}$ et $-\frac{i}{4}$.
Distances au centre $1$ : $|1-1|=0$, $|i-1|=\sqrt2$, $|-1-1|=2$ et $|-i-1|=\sqrt2$. Seul le pôle $1$ est intérieur au cercle.
$\oint_{\mathcal{C}}f(z)\,dz=2i\pi\times\frac{1}{4}=\frac{i\pi}{2}$.
Exercice 3 : Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $0$ et de rayon $2$, parcouru une fois dans le sens direct. Sans calculer de résidu, calcule $\oint_{\mathcal{C}}\frac{e^{2z}}{(z-1)^3}\,dz$.
Correction :
On reconnaît la formule intégrale de Cauchy avec $f(z)=e^{2z}$, holomorphe sur $\mathbb{C}$, $a=1$ intérieur au cercle et $n+1=3$, soit $n=2$.
$\oint_{\mathcal{C}}\frac{e^{2z}}{(z-1)^3}\,dz=\frac{2i\pi}{2!}f''(1)$, avec $f''(z)=4e^{2z}$, donc $f''(1)=4e^2$.
L'intégrale vaut $4i\pi e^2$. Attention au rang : l'exposant $3$ correspond à la dérivée seconde, pas à la dérivée troisième.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $0$ et de rayon $1$, parcouru une fois dans le sens direct. Calcule $\oint_{\mathcal{C}}\frac{dz}{z^2\sin z}$.
Correction :
On localise les singularités, puis on calcule le résidu par développement, plus court ici que la formule.
$z^2\sin z$ s'annule en $0$ et en $k\pi$, $k\in\mathbb{Z}^*$. Comme $\pi>1$, seul $0$ est intérieur au cercle.
$z^2\sin z=z^3\left(1-\frac{z^2}{6}+\dots\right)$, donc $\frac{1}{z^2\sin z}=\frac{1}{z^3}\left(1+\frac{z^2}{6}+\dots\right)=\frac{1}{z^3}+\frac{1}{6z}+\dots$ : pôle d'ordre $3$, de résidu $\frac{1}{6}$.
$\oint_{\mathcal{C}}\frac{dz}{z^2\sin z}=2i\pi\times\frac{1}{6}=\frac{i\pi}{3}$. Par la formule, il aurait fallu dériver deux fois $\frac{z}{\sin z}$ : bien plus long.
Exercice 5 : Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $0$ et de rayon $2$, parcouru une fois dans le sens direct. Calcule $\oint_{\mathcal{C}}\frac{e^z}{z^2(z-1)}\,dz$.
Correction :
Les deux pôles, $0$ (double) et $1$ (simple), sont intérieurs au cercle : on additionne leurs résidus.
En $1$ : $\mathrm{Res}=\lim_{z\to1}\frac{e^z}{z^2}=e$.
En $0$ : on dérive $z^2f(z)=\frac{e^z}{z-1}$, ce qui donne $\frac{e^z(z-2)}{(z-1)^2}$, qui vaut $-2$ en $0$.
$\oint_{\mathcal{C}}\frac{e^z}{z^2(z-1)}\,dz=2i\pi(e-2)\approx4{,}51\,i$. Sur le cercle de rayon $\frac{1}{2}$, seul $0$ resterait intérieur, et l'on trouverait $-4i\pi$.
Exercice 6 : Un circuit formé d'une bobine et d'un condensateur en série, sans résistance, avec $LC=1\ \mathrm{s}^2$, part du repos (condensateur déchargé, courant nul) et reçoit à $t=0$ un échelon de tension de $1\ \mathrm{V}$. La tension $u$ aux bornes du condensateur a pour transformée de Laplace $U(p)=\frac{1}{p(p^2+1)}$ ($t$ en secondes, $u$ en volts). On admet que si $F$ est une fraction rationnelle dont le numérateur est de degré strictement inférieur à celui du dénominateur, la fonction $f$ dont elle est la transformée vérifie, pour $t>0$, $f(t)=\sum_k\mathrm{Res}\left(F(p)e^{pt},p_k\right)$, la somme portant sur tous les pôles $p_k$ de $F$. Calcule $u(t)$ et sa valeur maximale.
Correction :
On additionne les résidus de $U(p)e^{pt}$ en ses trois pôles simples $0$, $i$ et $-i$, par la formule $\frac{g}{h'}$ avec $h(p)=p^3+p$, donc $h'(p)=3p^2+1$.
En $0$ : $\frac{e^{0}}{1}=1$. En $i$ : $\frac{e^{it}}{3i^2+1}=-\frac{e^{it}}{2}$. En $-i$ : $-\frac{e^{-it}}{2}$. Les deux derniers se regroupent : $-\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}=-\cos t$.
$u(t)=1-\cos t$ (en volts) : la tension oscille entre $0$ et $2\ \mathrm{V}$, et atteint son maximum de $2\ \mathrm{V}$ pour la première fois à $t=\pi\ \mathrm{s}\approx3{,}14\ \mathrm{s}$. Pour une fraction à coefficients réels, deux pôles conjugués ont des résidus conjugués, dont la somme est réelle.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Calcule $I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$. Pour cela, intègre $f(z)=\frac{1}{(z^2+1)^2}$ sur le contour formé du segment $[-R\,;\,R]$ et du demi-cercle $\Gamma_R$ de centre $0$ et de rayon $R>1$ situé dans le demi-plan $\mathrm{Im}\,z\ge0$, puis fais tendre $R$ vers $+\infty$.
Correction :
On applique le théorème des résidus au contour, puis on montre que l'intégrale sur $\Gamma_R$ tend vers $0$.
$f(z)=\frac{1}{(z-i)^2(z+i)^2}$ a deux pôles doubles, $i$ et $-i$ ; seul $i$ est à l'intérieur du contour. La formule du pôle simple échoue ici : on dérive $(z-i)^2f(z)=\frac{1}{(z+i)^2}$, ce qui donne $-\frac{2}{(z+i)^3}$, soit en $i$ : $-\frac{2}{(2i)^3}=-\frac{2}{-8i}=\frac{1}{4i}$.
Le contour donne donc $2i\pi\times\frac{1}{4i}=\frac{\pi}{2}$. Sur $\Gamma_R$, $|z^2+1|\ge R^2-1$, donc $\left|\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz\right|\le\frac{\pi R}{(R^2-1)^2}$ (longueur de l'arc fois maximum de $|f|$), qui tend vers $0$.
$I=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57$.
Exercice 8 : On cherche $J=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^3}$. La fonction n'est pas paire et a un pôle en $-1$ sur l'axe réel : un demi-disque ne convient pas. Intègre $f(z)=\frac{1}{1+z^3}$ sur le bord, parcouru dans le sens direct, du secteur angulaire $\left\{re^{i\theta}\,:\,0\le r\le R,\ 0\le\theta\le\frac{2\pi}{3}\right\}$, avec $R>1$, puis fais tendre $R$ vers $+\infty$ et calcule $J$.
Correction :
Ce secteur convient car la rotation $z\mapsto e^{2i\pi/3}z$ laisse $z^3$ inchangé : le retour par la demi-droite redonne $J$.
Les pôles sont $-1$, $e^{i\pi/3}$ et $e^{-i\pi/3}$ ; seul $z_0=e^{i\pi/3}$ est dans le secteur. Comme $z_0^3=-1$, $\mathrm{Res}(f,z_0)=\frac{1}{3z_0^2}=\frac{z_0}{3z_0^3}=-\frac{z_0}{3}$.
Sur la demi-droite, $z=te^{2i\pi/3}$ donne $z^3=t^3$ et $dz=e^{2i\pi/3}\,dt$ : parcourue de $R$ vers $0$, elle apporte $-e^{2i\pi/3}\int_0^R\frac{dt}{1+t^3}$. Sur l'arc, la majoration donne au plus $\frac{2\pi R}{3(R^3-1)}$, qui tend vers $0$.
À la limite, $\left(1-e^{2i\pi/3}\right)J=-\frac{2i\pi}{3}e^{i\pi/3}$. Or $1-e^{2i\pi/3}=e^{i\pi/3}\left(e^{-i\pi/3}-e^{i\pi/3}\right)=-i\sqrt3\,e^{i\pi/3}$.
$J=\frac{2\pi}{3\sqrt3}\approx1{,}21$. Erreur à éviter : oublier le signe du retour, qui ferait écrire $\left(1+e^{2i\pi/3}\right)J$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : situe chaque singularité par rapport au contour, trouve son ordre en regardant le numérateur autant que le dénominateur, puis prends la méthode la plus courte du tableau. Pour une intégrale réelle, le contour suit la symétrie de la fonction : demi-disque pour $\int_{-\infty}^{+\infty}$, secteur pour $\int_0^{+\infty}$ quand une rotation laisse la fonction inchangée.
Dans une copie, justifie toujours la position de chaque pôle et la limite sur l'arc : sans elles, le calcul ne prouve rien. Le niveau visé est celui de l'UE « Analyse complexe » de l'université de Montpellier, suivie au printemps après le premier semestre de L3, dont le programme va jusqu'au « développement en série de Laurent, théorème des résidus ».
Sources
Université de Montpellier, fiche de l'UE « Analyse complexe », mise à jour le 21 juillet 2026 : fiche de l'UE (PDF).