Variables Aléatoires Continues : Densité, Espérance et Variance
Bienvenue dans cette série d'exercices dédiée aux variables aléatoires continues. Contrairement aux variables discrètes, ces variables peuvent prendre une infinité de valeurs dans un intervalle. Nous allons explorer les concepts clés tels que la densité de probabilité, la fonction de répartition, le calcul de l'espérance et de la variance. Chaque exercice te guidera à travers des problèmes concrets, avec des corrections détaillées pour t'assurer une compréhension solide.
Compétences travaillées
- Définir et utiliser une densité de probabilité et une fonction de répartition.
- Calculer des probabilités associées à des variables aléatoires continues.
- Calculer l'espérance mathématique et la variance.
- Identifier et appliquer des lois continues usuelles (uniforme, exponentielle).
- Résoudre des problèmes probabilistes impliquant des variables continues.
Erreurs fréquentes à éviter :
- Confondre la densité de probabilité avec la probabilité (une densité n'est pas une probabilité).
- Oublier que l'intégrale d'une densité sur tout son support doit être égale à 1.
- Erreurs dans les calculs d'intégrales lors du calcul des probabilités, de l'espérance ou de la variance.
- Interpréter incorrectement la fonction de répartition ou la densité.
- Ne pas vérifier les conditions d'application des lois continues.
Exercices sur les Variables Aléatoires Continues
Exercice 1 : Soit $X$ une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité $f(x)$ est donnée par :
$f(x) = \begin{cases} c x^2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$
a) Déterminer la valeur de la constante $c$ pour que $f(x)$ soit une densité de probabilité valide.
b) Calculer $P(0 \le X \le 1)$.
c) Calculer $P(X > 1.5)$.
Correction :
a) Pour que $f(x)$ soit une densité de probabilité valide, son intégrale sur tout son support doit être égale à 1.
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
$\int_{0}^{2} c x^2 dx = 1$
$c \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 1$
$c \left(\frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 1$
$c \left(\frac{8}{3} \right) = 1 \implies c = \frac{3}{8}$.
Donc, la densité est $f(x) = \frac{3}{8} x^2$ pour $0 \le x \le 2$.
b) Calcul de $P(0 \le X \le 1)$ :
$P(0 \le X \le 1) = \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} \frac{3}{8} x^2 dx$
$= \frac{3}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{3}{8} \left(\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{8}$.
c) Calcul de $P(X > 1.5)$ :
$P(X > 1.5) = \int_{1.5}^{2} f(x) dx = \int_{1.5}^{2} \frac{3}{8} x^2 dx$
$= \frac{3}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1.5}^{2} = \frac{3}{8} \left(\frac{2^3}{3} - \frac{1.5^3}{3} \right) = \frac{1}{8} (8 - 1.5^3)$
$= \frac{1}{8} (8 - 3.375) = \frac{4.625}{8} = \frac{37}{64}$.
Résultat : a) $c = \frac{3}{8}$. b) $P(0 \le X \le 1) = \frac{1}{8}$. c) $P(X > 1.5) = \frac{37}{64}$.
Méthode : Utiliser la condition $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ pour trouver la constante. Calculer les probabilités en intégrant la densité sur l'intervalle désiré.
Exercice 2 : Soit $X$ une variable aléatoire continue suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[0, 5]$.
a) Donner la densité de probabilité $f(x)$ et la fonction de répartition $F(x)$ de $X$.
b) Calculer $P(1 \le X \le 3)$.
c) Calculer $E(X)$ et $Var(X)$.
Correction :
a) Pour une loi uniforme sur $[a, b]$, la densité est $f(x) = \frac{1}{b-a}$ pour $a \le x \le b$ et 0 sinon.
Ici, $a=0$ et $b=5$. Donc, $f(x) = \frac{1}{5-0} = \frac{1}{5}$ pour $0 \le x \le 5$, et $f(x)=0$ sinon.
La fonction de répartition $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$.
Pour $x < 0$, $F(x) = 0$.
Pour $0 \le x \le 5$, $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{5} dt = \frac{1}{5} [t]_0^x = \frac{x}{5}$.
Pour $x > 5$, $F(x) = \int_{0}^{5} \frac{1}{5} dt = 1$.
Donc, $F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ x/5 & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 1 & \text{si } x > 5 \end{cases}$.
b) Calcul de $P(1 \le X \le 3)$ :
On peut utiliser la densité : $P(1 \le X \le 3) = \int_{1}^{3} \frac{1}{5} dx = \frac{1}{5} [x]_1^3 = \frac{1}{5} (3-1) = \frac{2}{5}$.
Ou utiliser la fonction de répartition : $P(1 \le X \le 3) = F(3) - F(1) = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
c) Pour une loi uniforme sur $[a, b]$ :
$E(X) = \frac{a+b}{2}$. Ici $E(X) = \frac{0+5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.
$Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$. Ici $Var(X) = \frac{(5-0)^2}{12} = \frac{25}{12}$.
Résultat : a) $f(x) = 1/5$ pour $0 \le x \le 5$ et $F(x)$ est définie ci-dessus. b) $P(1 \le X \le 3) = 2/5$. c) $E(X) = 2.5$ et $Var(X) = 25/12$.
Méthode : Appliquer les formules standards pour la loi uniforme. Utiliser soit la densité pour calculer les probabilités par intégration, soit la fonction de répartition pour les calculs de différence.
Exercice 3 : Soit $X$ une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$, où $\lambda > 0$. Cette loi est connue sous le nom de loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
a) Montrer que $f(x)$ est une densité de probabilité valide.
b) Calculer la fonction de répartition $F(x)$.
c) Calculer $E(X)$ et $Var(X)$.
Correction :
a) Condition de positivité : $e^{-\lambda x} > 0$ pour tout $x$, donc $f(x) \ge 0$.
Condition d'intégrale égale à 1 :
$\int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} = [-e^{-\lambda x}]_0^{\infty}$
$= \lim_{x \to \infty} (-e^{-\lambda x}) - (-e^{-\lambda \times 0}) = 0 - (-1) = 1$.
La densité est valide.
b) Calcul de la fonction de répartition $F(x) = P(X \le x)$ :
Pour $x < 0$, $F(x) = 0$.
Pour $x \ge 0$, $F(x) = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} dt = \lambda \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} \right]_0^x = [-e^{-\lambda t}]_0^x$
$= (-e^{-\lambda x}) - (-e^0) = 1 - e^{-\lambda x}$.
Donc, $F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$.
c) Calcul de $E(X)$ :
$E(X) = \int_{0}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx$. On utilise l'intégration par parties : $u=x, dv=\lambda e^{-\lambda x} dx \implies du=dx, v=-e^{-\lambda x}$.
$E(X) = [-x e^{-\lambda x}]_0^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-\lambda x}) dx = (0 - 0) + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx$
$E(X) = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^{\infty} = 0 - (-\frac{1}{\lambda}) = \frac{1}{\lambda}$.
Calcul de $Var(X)$ : On utilise $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. Il faut calculer $E(X^2)$.
$E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx$. On utilise l'intégration par parties deux fois, ou on peut utiliser le fait que pour une loi exponentielle, $Var(X) = (1/\lambda)^2$.
En utilisant le résultat connu : $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$.
(Pour calculer $E(X^2)$ rigoureusement, on utilise l'IPP : $u=x^2, dv=\lambda e^{-\lambda x} dx \implies du=2x dx, v=-e^{-\lambda x}$.
$E(X^2) = [-x^2 e^{-\lambda x}]_0^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-\lambda x}) 2x dx = 0 + 2 \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx = 2 \cdot E(X) = 2 \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda}$.
Oh, c'est incorrect. Il faut refaire le calcul de $E(X^2)$ avec attention.
$E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx$. On utilise $u=x^2, dv=\lambda e^{-\lambda x} dx \implies du=2x dx, v=-e^{-\lambda x}$.
$E(X^2) = [-x^2 e^{-\lambda x}]_0^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-\lambda x}) 2x dx = 0 + 2 \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx$. L'intégrale $\int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx$ est $E(X)$ calculé précédemment, qui est $1/\lambda$.
Donc $E(X^2) = 2 \times \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda}$. Ce n'est toujours pas bon.
La formule pour l'intégrale est $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$.
Pour $E(X) = \int_{0}^{\infty} x^1 \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \frac{1!}{\lambda^{1+1}} = \lambda \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$. Correct.
Pour $E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \frac{2!}{\lambda^{2+1}} = \lambda \frac{2}{\lambda^3} = \frac{2}{\lambda^2}$.
Alors $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2} - (\frac{1}{\lambda})^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$.
Résultat : a) $f(x)$ est valide. b) $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$. c) $E(X) = 1/\lambda$ et $Var(X) = 1/\lambda^2$.
Méthode : Pour la loi exponentielle, utiliser les formules d'intégration standards ou les résultats connus pour l'espérance et la variance. L'intégration par parties est souvent nécessaire pour les moments d'ordre supérieur.
Exercice 4 : Soit $X$ une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition est donnée par :
$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ x-1 & \text{si } 1 \le x \le 2 \\ 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
a) Calculer la densité de probabilité $f(x)$ de $X$.
b) Calculer $P(1.2 \le X \le 1.8)$.
c) Calculer $E(X)$.
Correction :
a) La densité de probabilité $f(x)$ est la dérivée de la fonction de répartition $F(x)$.
Pour $x < 1$, $f(x) = \frac{d}{dx}(0) = 0$.
Pour $1 < x < 2$, $f(x) = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$.
Pour $x > 2$, $f(x) = \frac{d}{dx}(1) = 0$.
La densité est donc $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } 1 < x < 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$. (Note : les valeurs aux points 1 et 2 n'affectent pas les intégrales, on peut définir $f(x)=1$ sur $[1,2]$).
Il s'agit d'une loi uniforme sur l'intervalle $[1, 2]$.
b) Calcul de $P(1.2 \le X \le 1.8)$ :
On peut utiliser la fonction de répartition :
$P(1.2 \le X \le 1.8) = F(1.8) - F(1.2) = (1.8-1) - (1.2-1) = 0.8 - 0.2 = 0.6$.
Ou avec la densité :
$P(1.2 \le X \le 1.8) = \int_{1.2}^{1.8} 1 dx = [x]_{1.2}^{1.8} = 1.8 - 1.2 = 0.6$.
c) Calcul de $E(X)$ :
Puisqu'il s'agit d'une loi uniforme sur $[1, 2]$, l'espérance est $E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Alternativement, en utilisant la densité :
$E(X) = \int_{1}^{2} x \cdot 1 dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Résultat : a) $f(x) = 1$ pour $1 < x < 2$ et 0 sinon. b) $P(1.2 \le X \le 1.8) = 0.6$. c) $E(X) = 1.5$.
Méthode : La fonction de répartition donne accès à la densité par dérivation. Une fois la densité identifiée, on peut calculer les probabilités et l'espérance. Reconnaître la loi uniforme simplifie les calculs.
Exercice 5 : Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité $f(x) = ax^2$ pour $0 \le x \le 1$, et $f(x)=0$ sinon. On sait que $E(X) = 3/4$.
a) Déterminer la valeur de $a$.
b) Calculer $Var(X)$.
Correction :
a) Pour que $f(x)$ soit une densité, l'intégrale sur son support doit être égale à 1.
$\int_{0}^{1} ax^2 dx = 1$
$a \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1$
$a \left(\frac{1}{3} - 0 \right) = 1 \implies \frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$.
Donc, la densité est $f(x) = 3x^2$ pour $0 \le x \le 1$.
Vérifions l'espérance donnée : $E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot (3x^2) dx = \int_{0}^{1} 3x^3 dx = 3 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 3 \left(\frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{3}{4}$. L'espérance est bien $3/4$, donc $a=3$ est correct.
b) Calcul de $Var(X)$ :
Il faut d'abord calculer $E(X^2)$.
$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot f(x) dx = \int_{0}^{1} x^2 \cdot (3x^2) dx = \int_{0}^{1} 3x^4 dx$
$E(X^2) = 3 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = 3 \left(\frac{1}{5} - 0 \right) = \frac{3}{5}$.
Maintenant, calculons la variance :
$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{3}{5} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16}$
$Var(X) = \frac{3 \times 16 - 9 \times 5}{5 \times 16} = \frac{48 - 45}{80} = \frac{3}{80}$.
Résultat : a) $a = 3$. b) $Var(X) = \frac{3}{80}$.
Méthode : Utiliser la condition d'intégrale égale à 1 pour trouver le paramètre de la densité. Puis, calculer $E(X^2)$ et enfin la variance en utilisant la formule $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. La donnée de $E(X)$ permet de vérifier le calcul de $a$.
Exercice 6 : Le temps d'attente (en minutes) pour qu'un bus arrive est modélisé par une variable aléatoire continue $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 1/10$.
a) Quelle est la densité de probabilité $f(t)$ de $T$ ?
b) Calculer la probabilité que le prochain bus arrive dans moins de 5 minutes.
c) Calculer la probabilité que le prochain bus arrive entre 5 et 15 minutes.
Correction :
a) Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, la densité est $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ pour $t \ge 0$. Ici $\lambda = 1/10$.
Donc, $f(t) = \frac{1}{10} e^{-t/10}$ pour $t \ge 0$.
b) Calcul de $P(T < 5)$ :
On utilise la fonction de répartition $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$ pour $t \ge 0$.
$P(T < 5) = F(5) = 1 - e^{-5/10} = 1 - e^{-0.5}$.
En utilisant $e^{-0.5} \approx 0.6065$, $P(T < 5) \approx 1 - 0.6065 = 0.3935$.
c) Calcul de $P(5 \le T \le 15)$ :
$P(5 \le T \le 15) = F(15) - F(5) = (1 - e^{-15/10}) - (1 - e^{-5/10})$
$P(5 \le T \le 15) = 1 - e^{-1.5} - 1 + e^{-0.5} = e^{-0.5} - e^{-1.5}$.
En utilisant $e^{-0.5} \approx 0.6065$ et $e^{-1.5} \approx 0.2231$,
$P(5 \le T \le 15) \approx 0.6065 - 0.2231 = 0.3834$.
Cette probabilité est également égale à $P(T > 5) - P(T > 15) = e^{-5/10} - e^{-15/10}$.
Résultat : a) $f(t) = \frac{1}{10} e^{-t/10}$ pour $t \ge 0$. b) $P(T < 5) = 1 - e^{-0.5} \approx 0.3935$. c) $P(5 \le T \le 15) = e^{-0.5} - e^{-1.5} \approx 0.3834$.
Méthode : Identifier la loi exponentielle et son paramètre. Utiliser la fonction de répartition pour calculer les probabilités d'intervalles.
Exercice 7 : Le temps de vie (en années) d'un certain composant électronique est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0.2$.
a) Calculer la probabilité qu'un composant fonctionne pendant plus de 10 ans.
b) Calculer la probabilité qu'un composant fonctionne pendant plus de 10 ans, sachant qu'il a déjà fonctionné pendant 5 ans (propriété de "non-vieillissement" de la loi exponentielle).
Correction :
La variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0.2$. Sa densité est $f(x) = 0.2 e^{-0.2 x}$ pour $x \ge 0$. Sa fonction de répartition est $F(x) = 1 - e^{-0.2 x}$ pour $x \ge 0$.
a) Calcul de $P(X > 10)$ :
$P(X > 10) = 1 - F(10) = 1 - (1 - e^{-0.2 \times 10}) = e^{-0.2 \times 10} = e^{-2}$.
En utilisant $e^{-2} \approx 0.1353$, $P(X > 10) \approx 0.1353$.
b) Calcul de $P(X > 10 \mid X > 5)$ :
Pour une loi exponentielle, il y a une propriété de "non-vieillissement" (ou mémoire nulle) : $P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)$ pour tout $t \ge 0$ et $s \ge 0$.
Ici, $t=5$ ans et $s=10$ ans (on veut la probabilité de fonctionner pendant au moins 10 ans supplémentaires, sachant qu'il a déjà fonctionné 5 ans, donc $5+5=10$ n'est pas le bon calcul ici. On veut $P(X > 10 \mid X > 5)$).
Utilisons la formule de la probabilité conditionnelle : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Ici $A = \{X > 10\}$ et $B = \{X > 5\}$. $A \cap B = \{X > 10\}$ car si $X > 10$, alors nécessairement $X > 5$.
$P(X > 10 \mid X > 5) = \frac{P(X > 10)}{P(X > 5)}$.
On a déjà calculé $P(X > 10) = e^{-2}$.
Calculons $P(X > 5) = 1 - F(5) = 1 - (1 - e^{-0.2 \times 5}) = e^{-0.2 \times 5} = e^{-1}$.
$P(X > 10 \mid X > 5) = \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = e^{-2 - (-1)} = e^{-1}$.
En utilisant $e^{-1} \approx 0.3679$, $P(X > 10 \mid X > 5) \approx 0.3679$.
Vérifions la propriété de non-vieillissement : $P(X > 10 \mid X > 5) = P(X > 5)$ ? Non, c'est $P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)$.
Ici, $t=5$. On cherche la probabilité de fonctionner pendant au moins 5 années supplémentaires (donc au moins jusqu'à $5+5=10$ ans), sachant qu'il a déjà fonctionné 5 ans.
$P(X > 5+5 \mid X > 5) = P(X > 10 \mid X > 5) = P(X > 5) = e^{-0.2 \times 5} = e^{-1}$.
Le résultat obtenu est correct.
Résultat : a) $P(X > 10) = e^{-2} \approx 0.1353$. b) $P(X > 10 \mid X > 5) = e^{-1} \approx 0.3679$.
Méthode : Appliquer les formules de la loi exponentielle. Pour la probabilité conditionnelle, utiliser la formule générale ou reconnaître et appliquer la propriété de non-vieillissement.
Exercice 8 : Une variable aléatoire continue $X$ a pour densité $f(x) = \frac{2}{\pi(1+x^2)}$ pour $x \in \mathbb{R}$.
a) Montrer que $f(x)$ est une densité de probabilité valide.
b) Calculer $P(|X| \le 1)$.
c) Que peut-on dire de $E(X)$ et $Var(X)$ ?
Correction :
a) Positivité : $\frac{2}{\pi(1+x^2)} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Intégrale : $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{\pi(1+x^2)} dx = \frac{2}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$.
L'intégrale $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x)$.
$\frac{2}{\pi} [\arctan(x)]_{-\infty}^{\infty} = \frac{2}{\pi} \left(\lim_{x \to \infty} \arctan(x) - \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) \right)$
$= \frac{2}{\pi} \left(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{2}{\pi} (\pi) = 2$.
L'intégrale vaut 2, et non 1. Pour que ce soit une densité valide, il faudrait que la constante soit $1/\pi$. La densité correcte serait $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$ (loi de Cauchy standard). Avec la densité donnée, l'intégrale vaut 2. Si on considère cette fonction comme une densité proprement normalisée, la constante devrait être $1/\pi$. Si on suit l'énoncé tel quel, ce n'est pas une densité valide.
Correction de l'énoncé : Supposons que la densité soit $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$.
a) Avec $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$ : $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi(1+x^2)} dx = \frac{1}{\pi} [\arctan(x)]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = 1$. La densité est valide.
b) Calcul de $P(|X| \le 1)$ :
$P(|X| \le 1) = P(-1 \le X \le 1) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\pi(1+x^2)} dx = \frac{1}{\pi} [\arctan(x)]_{-1}^{1}$
$= \frac{1}{\pi} (\arctan(1) - \arctan(-1)) = \frac{1}{\pi} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{\pi} (\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$.
c) Que peut-on dire de $E(X)$ et $Var(X)$ ?
La loi de Cauchy standard n'a ni espérance ni variance définie. Pour calculer $E(X)$, il faudrait évaluer $\int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\pi(1+x^2)} dx$. L'intégrale de $|x|/(1+x^2)$ diverge à l'infini. L'intégrale $\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ est une intégrale impropre qui ne converge pas absolument. Pour la loi de Cauchy, les intégrales qui définissent $E(X)$ et $Var(X)$ divergent.
Résultat : a) En supposant la densité $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$, elle est valide. b) $P(|X| \le 1) = 1/2$. c) L'espérance $E(X)$ et la variance $Var(X)$ ne sont pas définies pour la loi de Cauchy.
Méthode : Vérifier la validité de la densité par intégration. Calculer les probabilités à l'aide de la fonction arctan. Se rappeler que certaines lois continues (comme la loi de Cauchy) n'ont pas d'espérance ni de variance définie.
Comment ORBITECH Peut T'aider
ORBITECH AI Academy est ton allié pour maîtriser les probabilités et les variables aléatoires continues. Nous t'offrons :
- Des explications concises et visuelles des concepts complexes.
- Une bibliothèque d'exercices corrigés avec des étapes détaillées pour chaque solution.
- Des outils interactifs pour visualiser les fonctions de densité et de répartition.
- Un accompagnement personnalisé pour t'aider à dépasser tes difficultés et à atteindre tes objectifs.