Niveau : facile à difficile. Durée estimée : 90 min. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Une variable aléatoire $X$ à densité se décrit par une fonction $f$, sa densité : positive, continue sauf en un nombre fini de points, d'intégrale égale à $1$ sur $\mathbb{R}$. Toute probabilité est une intégrale de $f$, l'espérance aussi, et la variance s'en déduit. Exemple : si $f(x) = 2x$ sur $[0\,;\,1]$ et $f$ est nulle ailleurs, alors $P(X \le 0{,}5) = \int_0^{0{,}5} 2x\,\mathrm{d}x = 0{,}25$, $E(X) = \int_0^1 2x^2\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}$ et $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \int_0^1 2x^3\,\mathrm{d}x - \frac{4}{9} = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18}$.
La fonction de répartition $F(x) = P(X \le x)$ fait le chemin inverse : $X$ est à densité quand $F$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $C^1$ (dérivable, de dérivée continue) sauf en un nombre fini de points, et alors $f = F'$ hors de ces points. Sur un intervalle infini, l'intégrale est dite impropre : on intègre sur $[0\,;\,A]$, puis on fait tendre $A$ vers $+\infty$. L'espérance existe si et seulement si $\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x)\,\mathrm{d}x$ converge (convergence absolue). Ce sont les définitions du programme officiel de deuxième année de prépa ECG.
Formules à retenir :
- $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ et $P(X = a) = 0$.
- $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,\mathrm{d}x$, $E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\,\mathrm{d}x$, $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
- Loi uniforme $\mathcal{U}([a\,;\,b])$ : $f(x) = \frac{1}{b-a}$ sur $[a\,;\,b]$, $E(X) = \frac{a+b}{2}$, $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$.
- Loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, $\lambda > 0$ : $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$, $P(X > x) = e^{-\lambda x}$, $E(X) = \frac{1}{\lambda}$, $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$.
Piège classique : une densité n'est pas une probabilité. $f(x)$ peut dépasser $1$, alors que $P(X = x) = 0$ pour tout réel $x$ : seule l'aire sous la courbe, donc une intégrale, est une probabilité. Conséquence pratique : $P(X < a) = P(X \le a)$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f(x) = c\,x^2$ pour $x \in [0\,;\,2]$, et $f(x) = 0$ sinon.
a) Déterminer la constante $c$.
b) Calculer $P(0 \le X \le 1)$ et $P(X > 1{,}5)$.
c) Calculer $f(2)$. Ce nombre est-il une probabilité ? Que vaut $P(X = 2)$ ?
Correction :
On écrit que l'intégrale de $f$ vaut $1$, puis on intègre $f$ sur l'intervalle demandé.
a) $\int_0^2 c\,x^2\,\mathrm{d}x = c \times \frac{8}{3} = 1$, donc $c = \frac{3}{8}$.
b) Une primitive de $f$ sur $[0\,;\,2]$ est $\frac{x^3}{8}$. Donc $P(0 \le X \le 1) = \frac{1}{8}$ et $P(X > 1{,}5) = 1 - \frac{1{,}5^3}{8} = 1 - \frac{27}{64}$, soit $P(X > 1{,}5) = \frac{37}{64} \approx 0{,}578$.
c) $f(2) = \frac{3}{8} \times 4 = 1{,}5$ : ce n'est pas une probabilité, puisqu'il dépasse $1$. Sur un petit intervalle près de $2$, la probabilité vaut environ $1{,}5$ fois sa longueur. Et $P(X = 2) = \int_2^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.
Exercice 2 : Un métro passe exactement toutes les $5$ minutes (données fictives). Tu arrives sur le quai à un instant pris au hasard : ton temps d'attente $X$, en minutes, suit la loi uniforme sur $[0\,;\,5]$.
a) Donner la densité et la fonction de répartition de $X$.
b) Calculer la probabilité d'attendre entre $1$ et $3$ minutes.
c) Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Correction :
La densité est constante sur l'intervalle, égale à $\frac{1}{b-a}$.
a) $f(x) = \frac{1}{5}$ sur $[0\,;\,5]$, nulle ailleurs. En intégrant : $F(x) = 0$ si $x < 0$, $F(x) = \frac{x}{5}$ si $0 \le x \le 5$, $F(x) = 1$ si $x > 5$.
b) $P(1 \le X \le 3) = F(3) - F(1) = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}$, soit $\frac{2}{5} = 0{,}4$.
c) $E(X) = \frac{0+5}{2} = 2{,}5\ \text{min}$ et $V(X) = \frac{25}{12} \approx 2{,}08\ \text{min}^2$ : la variance s'exprime dans le carré de l'unité.
Exercice 3 : Une variable aléatoire $X$ a pour fonction de répartition $F(x) = 0$ si $x < 0$, $F(x) = \frac{x^2}{4}$ si $0 \le x \le 2$, et $F(x) = 1$ si $x > 2$.
a) Justifier que $X$ est à densité et donner une densité $f$ de $X$.
b) Calculer $P(X > 1)$.
c) Calculer $E(X)$.
Correction :
On dérive $F$ là où elle est dérivable.
a) $F$ est continue sur $\mathbb{R}$ (en $0$ et en $2$, les expressions se raccordent) et de classe $C^1$ sauf en $2$. Donc $X$ est à densité, avec $f(x) = \frac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$ et $f(x) = 0$ ailleurs.
b) $P(X > 1) = 1 - F(1) = 1 - \frac{1}{4}$, soit $\frac{3}{4}$.
c) $E(X) = \int_0^2 x \times \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2$, soit $E(X) = \frac{4}{3}$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $X$ de densité $f(x) = ax + b$ sur $[0\,;\,1]$, nulle ailleurs, où $a$ et $b$ sont deux réels. On sait que $E(X) = \frac{7}{12}$.
a) Déterminer $a$ et $b$, puis vérifier que $f$ est positive.
b) Calculer $V(X)$.
Correction :
Deux inconnues, donc deux équations : l'intégrale de $f$ vaut $1$, et l'espérance est donnée.
a) $\int_0^1 (ax + b)\,\mathrm{d}x = \frac{a}{2} + b = 1$ et $E(X) = \int_0^1 (ax^2 + bx)\,\mathrm{d}x = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{7}{12}$. En remplaçant $b$ par $1 - \frac{a}{2}$ dans la seconde équation : $\frac{a}{12} + \frac{1}{2} = \frac{7}{12}$. Donc $a = 1$ et $b = \frac{1}{2}$, et $f(x) = x + \frac{1}{2}$ est bien positive sur $[0\,;\,1]$.
b) $E(X^2) = \int_0^1 \left(x^3 + \frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$, puis $V(X) = \frac{5}{12} - \frac{49}{144}$, soit $V(X) = \frac{11}{144} \approx 0{,}076$.
Erreur à éviter : retrancher $E(X)$ au lieu de $E(X)^2$.
Exercice 5 : Le temps $T$, en minutes, qui sépare deux appels reçus par un standard téléphonique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ (données fictives).
a) Quel est le temps moyen entre deux appels ?
b) Un appel vient d'arriver. Calculer la probabilité que le suivant arrive dans les $5$ minutes, puis entre $5$ et $15$ minutes.
c) Déterminer la durée $m$ telle que $P(T > m) = 0{,}5$, puis la comparer au temps moyen.
Correction :
Tout se lit sur $P(T > t) = e^{-0{,}1t}$ et sur $E(T) = \frac{1}{\lambda}$.
a) $E(T) = \frac{1}{0{,}1} = 10\ \text{min}$.
b) $P(T \le 5) = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}393$. Puis $P(5 \le T \le 15) = e^{-0{,}5} - e^{-1{,}5} \approx 0{,}383$.
c) $e^{-0{,}1m} = 0{,}5$ donne $m = 10\ln 2 \approx 6{,}9\ \text{min}$. C'est moins que $10$ min : beaucoup d'attentes sont courtes, et quelques très longues tirent la moyenne vers le haut.
Exercices : niveau difficile
Exercice 6 : Soit $\lambda > 0$ et $X$ de densité $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$, $f(x) = 0$ pour $x < 0$ : c'est la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$.
a) Vérifier que $f$ est une densité et calculer la fonction de répartition $F$ de $X$.
b) Démontrer que $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ et $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$.
Correction :
On intègre sur $[0\,;\,A]$, puis on fait tendre $A$ vers $+\infty$ ; une intégration par parties fait baisser la puissance de $x$.
a) $f$ est positive, continue sauf en $0$, et $\int_0^A \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = 1 - e^{-\lambda A}$ tend vers $1$. Le même calcul sur $[0\,;\,x]$ donne $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$, et $F(x) = 0$ pour $x < 0$.
b) Par parties, avec $u = x$ et $v = -e^{-\lambda x}$ : $\int_0^A x\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = -Ae^{-\lambda A} + \frac{1 - e^{-\lambda A}}{\lambda}$, qui tend vers $\frac{1}{\lambda}$ car $Ae^{-\lambda A} \to 0$ (croissances comparées). La fonction intégrée est positive, donc la convergence est absolue : $E(X) = \frac{1}{\lambda}$.
Avec $u = x^2$ : $\int_0^A x^2\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = -A^2e^{-\lambda A} + \frac{2}{\lambda}\int_0^A x\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x$, qui tend vers $\frac{2}{\lambda} \times \frac{1}{\lambda}$. Donc $E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ et $V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$.
Erreur à éviter : $\int_0^{+\infty} x e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x$ vaut $\frac{E(X)}{\lambda}$, pas $E(X)$. Oublier ce facteur donne $E(X^2) = \frac{2}{\lambda}$, ce qui est faux.
Exercice 7 : La durée de vie $X$, en années, d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ (données fictives).
a) Calculer la probabilité que le composant fonctionne plus de $10$ ans.
b) Au bout de $5$ ans, le composant fonctionne encore. Calculer la probabilité qu'il dépasse $10$ ans de vie au total.
c) Démontrer que pour tous réels $s \ge 0$ et $t \ge 0$, $P_{(X > s)}(X > s + t) = P(X > t)$, puis interpréter.
Correction :
On part de $P(X > x) = e^{-0{,}2x}$ ; une probabilité conditionnelle est un quotient.
a) $P(X > 10) = e^{-2} \approx 0{,}135$.
b) L'événement $(X > 10)$ est inclus dans $(X > 5)$, donc $P_{(X > 5)}(X > 10) = \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = e^{-1} \approx 0{,}368$.
c) $P_{(X > s)}(X > s + t) = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t)$. Le composant ne vieillit pas : avoir tenu $s$ années ne change pas ses chances de tenir $t$ années de plus. C'est l'absence de mémoire de la loi exponentielle.
Erreur à éviter : en b), répondre $P(X > 10)$ en oubliant l'information, ou $P(X > 15)$ en ajoutant $10$ ans aux $5$ déjà passés.
Exercice 8 : Soit $c$ un réel et $f(x) = \frac{c}{1 + x^2}$ pour tout réel $x$. On rappelle que la fonction $\arctan$ est une primitive impaire de $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$, avec $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ et $\arctan A \to \frac{\pi}{2}$ quand $A \to +\infty$.
a) Déterminer $c$ pour que $f$ soit une densité.
b) Soit $X$ de densité $f$. Calculer $P(-1 \le X \le 1)$.
c) $f$ est paire. Un camarade en déduit que $E(X) = 0$. A-t-il raison ? Que dire de $V(X)$ ?
Correction :
Les intégrales se calculent avec $\arctan$ ; pour l'espérance, on teste d'abord la convergence absolue.
a) $\int_0^A \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \arctan A$ tend vers $\frac{\pi}{2}$, et de même sur $]-\infty\,;\,0]$ par parité : l'intégrale sur $\mathbb{R}$ vaut $\pi$. Donc $c\pi = 1$ : $c = \frac{1}{\pi}$ (c'est la loi de Cauchy).
b) $P(-1 \le X \le 1) = \frac{1}{\pi}\left(\arctan 1 - \arctan(-1)\right) = \frac{1}{\pi} \times \frac{\pi}{2}$, soit $\frac{1}{2}$.
c) $\int_0^A \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm{d}x = \frac{\ln(1+A^2)}{2\pi}$ tend vers $+\infty$, donc $\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x)\,\mathrm{d}x$ diverge. $X$ n'a pas d'espérance, donc pas de variance non plus : le camarade a tort. La symétrie donne $E(X) = 0$ seulement quand l'espérance existe.
Bilan et conseils
Pour la loi exponentielle, pars de $P(X > x) = e^{-\lambda x}$ : elle donne les probabilités d'intervalles et l'absence de mémoire en une ligne.
Ce qu'il faut retenir : une probabilité est une intégrale de la densité, jamais une valeur de $f$. Sur un intervalle infini, vérifie la convergence absolue avant de parler d'espérance. Pour la variance, calcule $E(X^2)$ puis $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ : un résultat négatif trahit une erreur de calcul.
Sources
Programme de mathématiques approfondies de deuxième année de prépa ECG, publié au Bulletin officiel spécial n°1 du 11 février 2021 et reproduit dans la brochure des programmes du concours BCE 2026 (variables aléatoires à densité).