Le périmètre d'une figure, c'est la longueur de son tour ; son aire, c'est la place qu'occupe son intérieur. Un rectangle de 6 cm sur 4 cm a pour périmètre $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ cm, et son intérieur se remplit de $6 \times 4 = 24$ carreaux de 1 cm de côté : son aire est 24 cm². Pour tracer ces figures, deux définitions servent partout : deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit, deux droites parallèles ne se coupent jamais.
Tu verras d'où viennent ces règles et les pièges qui coûtent des points, puis tu t'entraîneras sur quatre exercices corrigés.
Droites parallèles et perpendiculaires
Une droite est un trait droit qui ne s'arrête jamais : tu n'en traces qu'un morceau, mais elle continue sans fin des deux côtés. Un segment s'arrête à ses deux extrémités, et c'est lui que tu mesures à la règle graduée. Une demi-droite part d'un point, son origine, et continue sans fin d'un seul côté.
On les note $(AB)$ pour la droite qui passe par $A$ et $B$, $[AB]$ pour le segment, $[AB)$ pour la demi-droite d'origine $A$, et $AB$, sans rien autour, pour la longueur du segment.
Définition : deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit. Deux droites parallèles ne se coupent jamais, même prolongées aussi loin que tu veux.
Pour vérifier un angle droit, place le coin de l'équerre sur le point où les droites se coupent, un bord le long de la première droite : si la seconde suit exactement l'autre bord, elles sont perpendiculaires. Sur une figure, on code l'angle droit par un petit carré dans le coin.
Pour tracer la parallèle à une droite $(d)$ passant par un point $A$, l'équerre suffit encore. Trace la perpendiculaire à $(d)$ qui passe par $A$, puis, en $A$, la perpendiculaire à cette nouvelle droite. C'est la parallèle cherchée : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Piège classique : deux droites qui ne se touchent pas sur ta feuille ne sont pas forcément parallèles. Prolonge-les : elles se coupent peut-être un peu plus loin. Et un angle droit reste droit quand la figure est penchée, alors vérifie à l'équerre plutôt qu'à l'œil.
Les angles : aigu, droit, obtus
Un angle est formé par deux demi-droites qui partent du même point : ce point est le sommet, les demi-droites sont les côtés. On le nomme avec un chapeau et trois lettres, celle du sommet au milieu : $\widehat{ABC}$ est l'angle de sommet $B$.
Un angle se mesure en degrés (°). L'angle droit, celui du coin de ta feuille ou de ton équerre, mesure 90°. Un angle aigu est plus petit qu'un angle droit : moins de 90°. Un angle obtus est plus grand qu'un angle droit, sans que ses côtés forment une ligne droite : entre 90° et 180°.
Pour classer un angle, pas besoin de le mesurer. Pose le coin de l'équerre sur le sommet, un bord le long d'un côté : si l'autre côté reste dans l'angle droit de l'équerre, l'angle est aigu ; s'il en sort, il est obtus. Et pour obtenir la moitié d'un angle droit, plie le coin d'une feuille en amenant un bord sur l'autre : le pli forme un angle de 45° avec chaque bord.
Pour mesurer un angle au degré près, il faut un rapporteur, un instrument gradué en degrés. D'après le programme de mathématiques du cycle 3, il n'arrive qu'en 6e.
Piège classique : un angle aux côtés plus longs n'est pas plus grand. Allonger les côtés ne change pas leur écartement, et seul l'écartement compte. Un angle obtus tracé avec des côtés de 1 cm reste plus grand qu'un angle aigu tracé avec des côtés de 10 cm.
Le périmètre, longueur du tour
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Imagine une fourmi qui en fait le tour complet en suivant le bord : la distance qu'elle parcourt, c'est le périmètre. C'est une longueur, qui s'exprime en mm, cm, m ou km.
Pour un polygone, c'est-à-dire une figure fermée dont tous les côtés sont des segments, on additionne les longueurs des côtés. Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm a pour périmètre $3 + 4 + 5 = 12$ cm.
Le carré et le rectangle ont leur raccourci. Un carré a quatre côtés de même longueur : ajouter quatre fois cette longueur revient à la multiplier par 4. Un rectangle a deux longueurs et deux largeurs : on ajoute une longueur et une largeur, puis on double.
Formule : carré de côté $c$ : $P = 4 \times c$. Rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ : $P = 2 \times (L + \ell)$.
Avant d'additionner, mets toutes les longueurs dans la même unité. Un rectangle de 1 m sur 40 cm a pour périmètre $2 \times (100 + 40) = 280$ cm, soit 2,8 m, et non $2 \times (1 + 40) = 82$, un nombre qui ne veut rien dire. Le tour d'un cercle, lui, a sa propre formule, vue en 6e.
L'aire, surface de l'intérieur
L'aire mesure la place qu'occupe l'intérieur d'une figure : on compte combien de carrés-unités il faut pour la recouvrir. Le centimètre carré (cm²) est l'aire d'un carré de 1 cm de côté. De même, le décimètre carré (dm²) et le mètre carré (m²) sont les aires des carrés de 1 dm et de 1 m de côté.
Quadrille un rectangle de 5 cm sur 3 cm en carreaux de 1 cm de côté. Tu obtiens 3 rangées de 5 carreaux, soit $3 \times 5 = 15$ carreaux : son aire est 15 cm². Voilà d'où vient la règle : compter les carreaux rangée par rangée, c'est multiplier la longueur par la largeur. Le carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales, donc son aire vaut côté fois côté.
Formule : rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ : $A = L \times \ell$. Carré de côté $c$ : $A = c \times c$. Les deux longueurs sont dans la même unité : des centimètres donnent des cm², des mètres donnent des m².
Pour changer d'unité d'aire, reviens aux carrés. Un carré de 1 m de côté mesure 10 dm sur 10 dm : il contient $10 \times 10 = 100$ carrés de 1 dm². Donc $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2$, et de la même façon $1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2$.
Piège classique : $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$, mais $1\ \text{m}^2$ ne vaut pas $100\ \text{cm}^2$. Un carré de 1 m de côté mesure 100 cm sur 100 cm : il contient $100 \times 100 = 10\,000$ carrés de 1 cm². Donc $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$. Entre deux unités d'aire voisines, le rapport est 100, pas 10.
Périmètre ou aire : ne plus confondre
Le périmètre est une longueur, l'aire une surface, et l'unité te dit ce que tu as calculé : des cm pour un périmètre, des cm² pour une aire. Surtout, l'un ne décide pas de l'autre.
Exemple : un carré de 4 cm de côté et un rectangle de 6 cm sur 2 cm ont le même périmètre : $4 \times 4 = 16$ cm et $2 \times (6 + 2) = 16$ cm. Pourtant, le carré a une aire de $4 \times 4 = 16$ cm², le rectangle de $6 \times 2 = 12$ cm² seulement.
Le jour où tu oublies une formule, refais le geste. Pour le périmètre, tu fais le tour et tu additionnes. Pour l'aire, tu remplis l'intérieur de carreaux, et compter des rangées de carreaux, c'est multiplier.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Le cadran d'une horloge est partagé en 12 heures égales. À 3 h pile, l'aiguille des minutes est sur le 12 et celle des heures sur le 3. Quel angle forment les deux aiguilles ? Déduis-en l'angle qu'elles forment à 1 h pile, puis à 5 h pile, et dis chaque fois s'il est aigu, droit ou obtus.
Correction :
Du 12 au 3, il y a 3 heures sur 12, soit un quart du cadran : à 3 h, les aiguilles forment un angle droit, de 90°.
Ce quart de tour couvre 3 heures, donc une heure correspond à $90^\circ \div 3 = 30^\circ$.
À 1 h, l'angle mesure 30° : il est aigu. À 5 h, il mesure $5 \times 30^\circ = 150^\circ$ : plus de 90°, il est obtus.
Exercice 2 : Un potager rectangulaire mesure 12 m de long et 7 m de large. On veut l'entourer d'un grillage, en laissant une ouverture de 1 m pour passer. Quelle longueur de grillage faut-il ? Quelle surface peut-on cultiver ?
Correction :
Le grillage suit le tour du potager : c'est le périmètre, moins l'ouverture. Périmètre : $2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38$ m. Grillage : $38 - 1 = 37$ m.
La surface à cultiver est l'aire du rectangle : $12 \times 7 = 84$ m².
Exercice 3 : Un carré a un périmètre de 36 cm. Calcule son aire.
Correction :
Le périmètre d'un carré vaut 4 fois son côté, donc le côté mesure $36 \div 4 = 9$ cm.
Son aire vaut $9 \times 9 = 81$ cm². Attention : 36 cm est le tour du carré, pas son côté, donc ni $36 \times 36$ ni 36 cm² ne conviennent.
Exercice 4 : Une affiche rectangulaire mesure 2 m de long et 50 cm de large. Calcule son aire en cm², puis en m².
Correction :
Les deux longueurs doivent être dans la même unité. En centimètres, $2\ \text{m} = 200\ \text{cm}$, donc l'aire vaut $200 \times 50 = 10\,000$ cm².
En mètres, $50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}$, donc l'aire vaut $2 \times 0{,}5 = 1$ m².
Les deux résultats concordent, puisque $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$. Le piège était d'écrire $2 \times 50 = 100$ en mélangeant mètres et centimètres : ce nombre ne correspond à aucune unité.
À retenir
À retenir :
- Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit ; deux droites parallèles ne se coupent jamais.
- Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
- Un angle se juge à l'écartement de ses côtés, pas à leur longueur : aigu sous 90°, droit à 90°, obtus entre 90° et 180°.
- Le périmètre est la longueur du tour : $P = 4 \times c$ pour le carré, $P = 2 \times (L + \ell)$ pour le rectangle.
- L'aire compte les carrés-unités à l'intérieur : $A = c \times c$ pour le carré, $A = L \times \ell$ pour le rectangle.
- Toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer, et $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$.
- Même périmètre ne veut pas dire même aire.
Sources
- Programme de mathématiques du cycle 3 (CM1, CM2 et 6e), publié au Bulletin officiel du 17 avril 2025 : texte sur education.gouv.fr.