Pour calculer $\int_a^b f(x)\,dx$, tu cherches une primitive $F$ de $f$, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée est $f$, puis tu calcules $F(b) - F(a)$. Exemple : $\dfrac{x^3}{3}$ a pour dérivée $x^2$, donc $\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{8}{3}$. Comme $x^2$ est positif, ce nombre est l'aire du domaine situé sous la courbe entre 0 et 2, soit environ $2{,}67$ unités d'aire.
Les primitives : le chemin inverse de la dérivation
Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est $f$ : $F' = f$. Chercher une primitive, c'est lire ton tableau de dérivées à l'envers. Puisque $(x^3)' = 3x^2$, la fonction $x \mapsto x^3$ est une primitive de $x \mapsto 3x^2$.
Elle n'est pas la seule : $x^3 + 5$ et $x^3 - 2$ ont la même dérivée, car une constante se dérive en 0. Réciproquement, sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Les primitives de $f$ sont donc les fonctions $F + C$, avec $C$ réel. Enfin, toute fonction continue sur un intervalle a des primitives, même quand on ne sait pas les écrire avec les fonctions usuelles.
| Fonction $f$ | Une primitive $F$ | Intervalle |
|---|---|---|
| $x^n$, $n$ entier, $n \neq -1$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ si $n \geqslant 0$ ; $]-\infty\,;0[$ ou $]0\,;+\infty[$ si $n \leqslant -2$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln x$ | $]0\,;+\infty[$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0\,;+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
Chaque ligne se retrouve en dérivant la colonne du milieu : c'est comme ça qu'on la reconstruit le jour où on l'a oubliée.
Les fonctions plus compliquées cachent souvent la dérivée d'une composée. Tu sais que $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$. Lue à l'envers, cette formule dit qu'une fonction de la forme $u' \times (v' \circ u)$ a pour primitive $v \circ u$. Tout le travail consiste à repérer $u$, puis à vérifier que $u'$ est bien là.
Formule : pour $u$ dérivable sur un intervalle $I$,
$u'\,e^u$ a pour primitive $e^u$ ; $u'\cos u$ a pour primitive $\sin u$ ; $u'\sin u$ a pour primitive $-\cos u$ ;
$u'\,u^n$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$, pour $n$ entier, $n \neq -1$ ($u$ ne s'annule pas sur $I$ si $n < 0$) ;
$\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln u$ et $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ a pour primitive $2\sqrt{u}$, quand $u > 0$ sur $I$.
Piège classique : il manque souvent un coefficient. Dans $f(x) = x\,e^{x^2}$, on reconnaît $u(x) = x^2$, mais $u'(x) = 2x$ et il n'y a que $x$. On fait apparaître le 2 en compensant : $f(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2}$, donc $F(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2}$. Le réflexe qui sauve : dérive ta primitive. Ici $\left(\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right)' = \dfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2} = x\,e^{x^2}$, c'est bon.
L'intégrale, une aire sous la courbe
Prends une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$. Le domaine compris entre sa courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ a une aire : c'est, par définition, l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x)\,dx$.
Cette aire se compte en unités d'aire (u.a.) : une unité d'aire est l'aire du rectangle d'une unité de large sur une unité de haut dans le repère. Si l'unité vaut 2 cm sur l'axe des abscisses et 3 cm sur l'axe des ordonnées, alors 1 u.a. vaut $6\ \text{cm}^2$, et une aire de $\dfrac{8}{3}$ u.a. fait $16\ \text{cm}^2$.
La notation raconte la méthode des rectangles. Découpe $[a\,;b]$ en bandes très fines de largeur $\Delta x$ : chacune ressemble à un rectangle de hauteur $f(x)$, donc d'aire $f(x) \times \Delta x$, et l'aire totale est à peu près la somme $\sum f(x_i)\,\Delta x$. Plus les bandes sont fines, meilleure est l'approximation. Le signe $\int$ prend la place du $\sum$, et $dx$ celle de $\Delta x$.
La lettre $x$ est interchangeable : $\int_a^b f(t)\,dt$ désigne le même nombre. On dit que la variable est muette.
Le théorème fondamental de l'analyse
Fixe $a$ et fais glisser la borne de droite. Pour chaque $x$ de $[a\,;b]$, appelle $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ l'aire sous la courbe entre $a$ et $x$. Cette aire grandit quand $x$ avance : c'est une fonction de $x$. Et sa dérivée, c'est $f$.
Théorème : si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, la fonction $F_a : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ sur $[a\,;b]$ qui s'annule en $a$. Par conséquent, pour toute primitive $F$ de $f$ :
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$$
Le programme de spécialité de Terminale demande de savoir le démontrer quand $f$ est en plus croissante. L'idée tient dans un dessin : une bande très fine sous la courbe a presque l'aire d'un rectangle.
Soit $x$ dans $[a\,;b[$ et $h > 0$ avec $x + h \leqslant b$. La différence $F_a(x+h) - F_a(x)$ est l'aire de la bande sous la courbe entre $x$ et $x + h$. Comme $f$ croît, cette bande contient le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x)$, et elle tient dans celui de hauteur $f(x+h)$ :
$$h\,f(x) \leqslant F_a(x+h) - F_a(x) \leqslant h\,f(x+h)$$
On divise par $h > 0$ : le taux d'accroissement $\dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h}$ est coincé entre $f(x)$ et $f(x+h)$. Quand $h$ tend vers 0, $f(x+h)$ tend vers $f(x)$ puisque $f$ est continue, donc ce taux tend vers $f(x)$ par le théorème des gendarmes. Le cas $h < 0$ se traite de la même façon. Ainsi $F_a' = f$, et $F_a(a) = 0$.
Si $F$ est une autre primitive de $f$, elle s'écrit $F = F_a + C$. Alors $F(b) - F(a) = F_a(b) - F_a(a) = \int_a^b f(x)\,dx$.
Avec ce théorème, une aire qui demandait une infinité de rectangles devient une soustraction. Il sert aussi de définition quand $f$ n'est pas positive : pour $f$ continue de signe quelconque sur un intervalle contenant $a$ et $b$, on pose $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, avec $F$ une primitive de $f$. Le choix de la primitive ne change rien, car la constante $C$ disparaît dans la soustraction. Par exemple, $\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$.
Calcul d'aires : quand la courbe passe sous l'axe
Si $f$ est négative sur $[a\,;b]$, le calcul $F(b) - F(a)$ donne un nombre négatif : l'opposé de l'aire. L'intégrale compte en positif ce qui est au-dessus de l'axe des abscisses et en négatif ce qui est en dessous. On parle d'aire algébrique.
Piège classique : quand $f$ change de signe, l'intégrale n'est pas l'aire, car les morceaux du dessous se retranchent de ceux du dessus. Ainsi $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$, alors que la courbe délimite avec l'axe deux arches de 2 u.a. chacune, soit 4 u.a.
La méthode pour une aire : étudie le signe de $f$ et repère les valeurs où elle s'annule. Coupe l'intervalle en ces valeurs. Sur chaque morceau, garde l'intégrale si $f$ est positive, prends son opposé si $f$ est négative, puis additionne.
Entre deux courbes, c'est plus direct. Si $f(x) \geqslant g(x)$ sur $[a\,;b]$, l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ vaut $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ u.a., que les courbes soient au-dessus de l'axe ou non. Entre les courbes de $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;1]$, où $x \geqslant x^2$, on trouve $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ u.a.
Les propriétés de l'intégrale
Elles découlent toutes de l'égalité $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$ qui contient $a$, $b$ et $c$, et $\lambda$ est un réel.
Propriété :
Linéarité : $\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$ et $\int_a^b \lambda f(x)\,dx = \lambda \int_a^b f(x)\,dx$.
Relation de Chasles : $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$.
Positivité : si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur $[a\,;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \geqslant 0$.
Intégration des inégalités : si $a \leqslant b$ et $f \leqslant g$ sur $[a\,;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leqslant \int_a^b g(x)\,dx$.
La condition $a \leqslant b$ compte : échanger les bornes change le signe, puisque $\int_b^a f(x)\,dx = F(a) - F(b) = -\int_a^b f(x)\,dx$.
Dernière notion : la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$, avec $a < b$, est le nombre $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$. Pour $f$ positive, c'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe. Par exemple, la valeur moyenne de $x \mapsto x^2$ sur $[0\,;2]$ vaut $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$.
L'intégration par parties
Elle sert quand tu dois intégrer un produit qui ne ressemble à aucune forme connue, comme $x\,e^x$ ou $x\ln x$. Inutile de l'apprendre par cœur : elle se retrouve en une ligne. La dérivée d'un produit donne $(uv)' = u'v + uv'$, donc $uv' = (uv)' - u'v$. On intègre de $a$ à $b$, sachant que $uv$ est une primitive de $(uv)'$.
Formule : si $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a\,;b]$, avec $u'$ et $v'$ continues,
$$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$$
Pour $\int_0^1 x\,e^x\,dx$, pose $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$, d'où $u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x$. Alors $\int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$.
Tout se joue sur le choix de $u$. Prends pour $u$ le facteur qui se simplifie quand on le dérive (un polynôme, $\ln x$) et pour $v'$ celui dont tu connais une primitive. Si la nouvelle intégrale est plus dure que la première, échange les rôles.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Calcule $I = \int_1^2 \left(3x^2 - \dfrac{2}{x^2}\right)dx$.
Correction :
Une primitive de $3x^2$ est $x^3$. On écrit $-\dfrac{2}{x^2} = -2x^{-2}$, dont une primitive est $-2 \times \dfrac{x^{-1}}{-1} = \dfrac{2}{x}$. Sur $[1\,;2]$, une primitive de la fonction est donc $F(x) = x^3 + \dfrac{2}{x}$. Contrôle : $F'(x) = 3x^2 - \dfrac{2}{x^2}$.
$I = F(2) - F(1) = (8 + 1) - (1 + 2) = 6$.
Exercice 2 : Soit $f(x) = x^2 - 1$. Calcule $\int_0^2 f(x)\,dx$, puis l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
Correction :
Une primitive de $f$ est $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$. Donc $\int_0^2 f(x)\,dx = F(2) - F(0) = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}$.
Ce n'est pas l'aire : $f(x) = (x - 1)(x + 1)$ est négative sur $[0\,;1]$ et positive sur $[1\,;2]$. On coupe en 1 :
$\int_0^1 f(x)\,dx = F(1) - F(0) = \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{2}{3}$ et $\int_1^2 f(x)\,dx = F(2) - F(1) = \dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$.
L'aire vaut $\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2$ u.a. Contrôle avec la relation de Chasles : $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}$, on retrouve bien l'intégrale.
Exercice 3 : Une cycliste démarre. Sa vitesse, en mètres par seconde, est modélisée par $v(t) = 6 - 6e^{-0{,}5t}$, où $t$ est le temps en secondes (données fictives). La distance parcourue entre deux instants est l'intégrale de la vitesse entre ces deux instants. Calcule la distance parcourue pendant les 10 premières secondes, au centimètre près, puis la vitesse moyenne sur cette durée.
Correction :
Pour $e^{-0{,}5t}$, on pose $u(t) = -0{,}5t$, donc $u'(t) = -0{,}5$. On écrit $e^{-0{,}5t} = -2 \times \left(-0{,}5\,e^{-0{,}5t}\right)$, qui a pour primitive $-2e^{-0{,}5t}$. Une primitive de $v$ est donc $V(t) = 6t + 12e^{-0{,}5t}$. Contrôle : $V'(t) = 6 + 12 \times (-0{,}5)\,e^{-0{,}5t} = 6 - 6e^{-0{,}5t}$.
$d = V(10) - V(0) = \left(60 + 12e^{-5}\right) - 12 = 48 + 12e^{-5} \approx 48{,}08$ m.
La vitesse moyenne est la valeur moyenne de $v$ sur $[0\,;10]$ : $\dfrac{1}{10}\int_0^{10} v(t)\,dt = \dfrac{d}{10} \approx 4{,}81$ m/s.
Exercice 4 : Calcule $J = \int_1^e x\ln x\,dx$ à l'aide d'une intégration par parties. Que représente ce nombre pour la courbe de la fonction $x \mapsto x\ln x$ ?
Correction :
Le tableau ne donne aucune primitive de $\ln x$, alors c'est lui qu'on dérive : $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = x$, d'où $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = \dfrac{x^2}{2}$.
$J = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{2}\,dx = \dfrac{e^2}{2} - \int_1^e \dfrac{x}{2}\,dx$.
Or $\int_1^e \dfrac{x}{2}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^e = \dfrac{e^2}{4} - \dfrac{1}{4}$. Donc $J = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}10$.
Sur $[1\,;e]$, $x > 0$ et $\ln x \geqslant 0$, donc $x\ln x \geqslant 0$ : $J$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$.
À retenir
À retenir :
- $F$ est une primitive de $f$ si $F' = f$ ; deux primitives diffèrent d'une constante. Vérifie toujours une primitive en la dérivant.
- Pour $f$ continue, $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, avec $F$ n'importe quelle primitive de $f$.
- Pour $f$ positive, c'est l'aire sous la courbe en u.a. ; quand $f$ change de signe, coupe l'intervalle là où elle s'annule avant de parler d'aire.
- Aire entre deux courbes : $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$, avec $f \geqslant g$ sur $[a\,;b]$.
- Valeur moyenne : $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.
- Intégration par parties : $\int_a^b u v' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u' v$, qui se retrouve à partir de $(uv)' = u'v + uv'$.
Sources
- Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, annexe de l'arrêté du 19 juillet 2019, parties « Primitives, équations différentielles » et « Calcul intégral » : texte sur eduscol.
- Arrêté du 26 février 2026, qui remplace ce programme à la rentrée 2027-2028 : texte sur Légifrance.