Pour additionner ou soustraire deux fractions, tu les écris avec le même dénominateur (le nombre du bas), tu additionnes ou soustrais les numérateurs (les nombres du haut) en gardant ce dénominateur, puis tu simplifies. Par exemple, $\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{30} + \dfrac{9}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$. Cette page travaille le cas le plus délicat : des dénominateurs qui ne sont pas multiples l'un de l'autre, puis un résultat à simplifier jusqu'au bout.
Pourquoi il faut le même dénominateur
Le dénominateur donne la taille des parts. Un sixième et quatre sixièmes sont des parts de même taille : ensemble, ils font cinq sixièmes, comme un stylo et quatre stylos font cinq stylos. Des sixièmes et des dixièmes, eux, ne s'ajoutent pas tels quels. Il faut d'abord les redécouper dans une même unité, plus fine, qui convient aux deux.
Règle : pour des nombres $a$, $b$ et $c$, avec $c \neq 0$,
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \qquad \text{et} \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$
Les numérateurs s'ajoutent ou se soustraient, le dénominateur ne bouge pas.
Pour redécouper sans changer la valeur, tu utilises la propriété des fractions égales : multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul donne une fraction égale. Ainsi $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \times 5}{6 \times 5} = \dfrac{5}{30}$ : un sixième, c'est cinq trentièmes.
Piège classique : additionner les dénominateurs. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ ne vaut pas $\dfrac{2}{5}$ : ce serait moins que $\dfrac{1}{2}$, alors qu'on vient d'ajouter quelque chose à $\dfrac{1}{2}$. Le bon calcul donne $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Trouver le plus petit dénominateur commun
Un dénominateur commun est un multiple des deux dénominateurs à la fois. Il en existe une infinité, et tu cherches le plus petit : les calculs restent légers et il y aura moins à simplifier.
La méthode qui marche à tous les coups : passe en revue les multiples du plus grand dénominateur, un par un, et arrête-toi au premier qui est aussi un multiple de l'autre. Pour $6$ et $10$, tu essaies $10$ (pas dans la table de $6$), $20$ (non plus), puis $30 = 6 \times 5$ : le plus petit dénominateur commun est $30$.
| Dénominateurs | Multiples du plus grand | Plus petit dénominateur commun |
|---|---|---|
| $4$ et $12$ | $12$ est déjà un multiple de $4$ | $12$ |
| $4$ et $6$ | $6$, puis $12$ | $12$ |
| $6$ et $9$ | $9$, puis $18$ | $18$ |
| $3$ et $5$ | $5$, $10$, puis $15$ | $15 = 3 \times 5$ |
Le produit des deux dénominateurs est toujours un dénominateur commun : $4 \times 6 = 24$ marche aussi pour $4$ et $6$. Il dépanne, mais les nombres grossissent et la simplification finale s'allonge.
Le programme de cycle 4, appliqué en 5e depuis la rentrée 2026, demande justement d'« additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques ».
La méthode en quatre étapes
Voici le calcul de $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{10}$, tel que tu peux le rédiger sur ta copie.
Étape 1 : chercher le plus petit dénominateur commun. Tu passes en revue les multiples de $10$ : $10$, $20$, puis $30$, qui est dans la table de $6$. C'est $30$.
Étape 2 : transformer chaque fraction, en multipliant en haut et en bas par le même nombre : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 5}{6 \times 5} = \dfrac{25}{30}$ et $\dfrac{3}{10} = \dfrac{3 \times 3}{10 \times 3} = \dfrac{9}{30}$.
Étape 3 : soustraire les numérateurs et garder le dénominateur : $\dfrac{25}{30} - \dfrac{9}{30} = \dfrac{16}{30}$.
Étape 4 : simplifier. $16$ et $30$ sont pairs, donc $\dfrac{16}{30} = \dfrac{8}{15}$. Les diviseurs de $8$ sont $1$, $2$, $4$ et $8$, et seul $1$ divise aussi $15$. Le résultat est $\dfrac{8}{15}$.
Piège classique : multiplier le dénominateur et oublier le numérateur. Écrire $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{30}$, c'est diviser la fraction par $5$ sans le vouloir. Ce que tu fais en bas, tu le fais en haut.
Conseil : contrôle ton résultat avec un ordre de grandeur. $\dfrac{5}{6}$ vaut environ $0{,}83$ et $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$, donc la différence est proche de $0{,}53$. Et $\dfrac{8}{15} \approx 0{,}53$ : le calcul tient.
Simplifier jusqu'au bout
Simplifier, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre : la valeur ne change pas, les nombres rapetissent. Quand leur seul diviseur commun est $1$, la fraction est irréductible, c'est-à-dire qu'on ne peut plus la simplifier. C'est sous cette forme qu'on donne un résultat, sauf consigne contraire.
Pour repérer vite un diviseur commun, sers-toi des critères de divisibilité.
| Divisible par | Quand | Exemple |
|---|---|---|
| $2$ | il se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ | $134$ |
| $5$ | il se termine par $0$ ou $5$ | $145$ |
| $10$ | il se termine par $0$ | $250$ |
| $3$ | la somme de ses chiffres est un multiple de $3$ | $114$, car $1 + 1 + 4 = 6$ |
| $9$ | la somme de ses chiffres est un multiple de $9$ | $126$, car $1 + 2 + 6 = 9$ |
Exemple : pour $\dfrac{90}{126}$, les deux nombres sont pairs : $\dfrac{90}{126} = \dfrac{45}{63}$. Les sommes des chiffres font $4 + 5 = 9$ et $6 + 3 = 9$, donc on divise par $9$ : $\dfrac{45}{63} = \dfrac{5}{7}$. Plus rien de commun entre $5$ et $7$ : c'est fini.
Avec de grands nombres, tu peux aussi les décomposer en produits de nombres premiers (des nombres qui n'ont que deux diviseurs, $1$ et eux-mêmes), puis barrer les facteurs communs, ceux qu'on retrouve en haut et en bas : $\dfrac{90}{126} = \dfrac{2 \times 3 \times 3 \times 5}{2 \times 3 \times 3 \times 7} = \dfrac{5}{7}$.
Piège classique : simplifier dans une somme. On ne barre que des facteurs (des nombres multipliés), jamais des termes (des nombres additionnés). Dans $\dfrac{3 + 5}{3 + 7}$, barrer les $3$ donnerait $\dfrac{5}{7}$, alors que le vrai résultat est $\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$.
Simplifie aussi les fractions de départ avant de chercher le dénominateur commun : $\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{3}$ devient $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$, sans aucun grand nombre.
Avec un entier ou un résultat négatif
Un nombre entier s'écrit comme une fraction avec le dénominateur dont tu as besoin : $1 = \dfrac{7}{7}$, $2 = \dfrac{10}{5}$. Pour $2 - \dfrac{3}{5}$, tu écris donc $\dfrac{10}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{5}$.
Si la fraction que tu retires est la plus grande, le résultat est négatif. La méthode ne change pas, et tu soustrais les numérateurs comme des nombres relatifs : $\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{3 - 10}{12} = \dfrac{-7}{12}$. Le signe moins peut aussi se placer devant la fraction : $\dfrac{-7}{12} = -\dfrac{7}{12}$.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Rends irréductibles les fractions $\dfrac{45}{60}$ et $\dfrac{63}{105}$.
Correction :
$45$ se termine par $5$ et $60$ par $0$ : on divise par $5$, $\dfrac{45}{60} = \dfrac{9}{12}$. Puis $9$ et $12$ sont dans la table de $3$ : $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$. Diviser directement par $15$ donne le même résultat.
Pour $\dfrac{63}{105}$, les sommes des chiffres valent $6 + 3 = 9$ et $1 + 0 + 5 = 6$ : les deux nombres sont divisibles par $3$, et $\dfrac{63}{105} = \dfrac{21}{35}$. Puis $21$ et $35$ sont dans la table de $7$ : $\dfrac{21}{35} = \dfrac{3}{5}$.
Exercice 2 : Calcule et donne chaque résultat sous forme irréductible : $A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$ et $B = \dfrac{3}{10} - \dfrac{2}{15}$.
Correction :
Pour $A$ : $6$ n'est pas dans la table de $4$, mais $12$ l'est. $A = \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{19}{12}$. Le seul diviseur commun de $19$ et $12$ est $1$ : $A = \dfrac{19}{12}$.
Pour $B$ : $15$ n'est pas dans la table de $10$, mais $30$ l'est. $B = \dfrac{9}{30} - \dfrac{4}{30} = \dfrac{5}{30}$, puis on divise par $5$ : $B = \dfrac{1}{6}$.
Exercice 3 : Camille a écrit $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{7}$. Sans refaire le calcul, explique pourquoi c'est forcément faux, puis donne le bon résultat.
Correction :
$\dfrac{2}{3}$, c'est plus de la moitié, alors que $\dfrac{3}{7}$ est moins de la moitié, puisque $3$ est moins que la moitié de $7$. Une somme de deux nombres positifs ne peut pas être plus petite que l'un d'eux. Camille a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Le bon calcul : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$, déjà irréductible.
Exercice 4 : Dans un collège, $\dfrac{1}{4}$ des élèves viennent à pied, $\dfrac{2}{9}$ à vélo et tous les autres en bus. Quelle fraction des élèves vient en bus ? Le collège compte $540$ élèves : combien viennent en bus ?
Correction :
$9$, $18$ et $27$ ne sont pas dans la table de $4$, mais $36$ l'est. À pied ou à vélo : $\dfrac{9}{36} + \dfrac{8}{36} = \dfrac{17}{36}$ des élèves.
L'ensemble des élèves, c'est $1 = \dfrac{36}{36}$. En bus : $\dfrac{36}{36} - \dfrac{17}{36} = \dfrac{19}{36}$ des élèves.
Pour prendre $\dfrac{19}{36}$ de $540$, on calcule $540 \div 36 = 15$, puis $15 \times 19 = 285$. $285$ élèves viennent en bus.
Contrôle : $135$ à pied, $120$ à vélo et $285$ en bus font bien $540$ élèves.
À retenir
À retenir :
- On n'ajoute ou ne soustrait que des fractions de même dénominateur : on opère sur les numérateurs, le dénominateur reste.
- Le plus petit dénominateur commun se trouve parmi les multiples du plus grand dénominateur.
- Pour changer de dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
- On simplifie jusqu'à la fraction irréductible, en divisant par des facteurs communs, jamais dans une somme.
- Un entier s'écrit avec le dénominateur dont on a besoin : $2 = \dfrac{10}{5}$.
Sources
- Programme de mathématiques du cycle 4, partie « Nombres rationnels » de la classe de cinquième, publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026 : texte sur education.gouv.fr.
- Arrêté du 18 février 2026 fixant ce programme, dont l'article 3 prévoit son application en 5e à la rentrée 2026, en 4e à la rentrée 2027 et en 3e à la rentrée 2028 : texte sur Légifrance.