Prends les maths approfondies si tu aimes démontrer et manier des objets abstraits, les maths appliquées si tu préfères calculer, modéliser et programmer sur des données. Un exemple dès le premier semestre : en approfondies, tu prouves qu'un ensemble de polynômes est un espace vectoriel (on peut y additionner deux éléments et les multiplier par un réel sans en sortir) ; en appliquées, tu étudies des graphes (des réseaux de points reliés entre eux) et tu analyses en Python un fichier de données publiques. Les deux mènent aux concours de la BCE (banque commune d'épreuves), avec des sujets de maths propres à chacune ; au concours 2026, seules deux écoles imposaient l'une d'elles.
Ce qui change vraiment entre les deux programmes
Au départ, rien ne te sépare : les deux programmes officiels prennent pour niveau de référence l'option mathématiques complémentaires de terminale. Ni la spécialité maths ni les maths expertes ne sont donc supposées.
Les chemins se séparent dès le premier semestre, surtout en algèbre. En approfondies, l'espace vectoriel arrive tôt et devient le cœur du second semestre. En appliquées, le programme l'écarte en toutes lettres, en première comme en deuxième année : « l'espace vectoriel, comme objet abstrait, n'est pas au programme ».
Le reste tient dans ce tableau. Les horaires sont fixés par arrêté ; un TD, ou travaux dirigés, est une séance d'exercices.
| Point de comparaison | Maths approfondies | Maths appliquées |
|---|---|---|
| Par semaine | 7 h de cours, 2 h de TD | 6 h de cours, 2 h de TD |
| Algèbre en 1re année | Matrices, polynômes, espaces vectoriels, applications linéaires | Matrices, systèmes linéaires, sous-espaces de $\mathbb{R}^n$, applications linéaires de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^m$ |
| Analyse en 1re année | Séries (sommes d'une infinité de termes), intégrales sur un intervalle quelconque, formules de Taylor, développements limités | Premières séries, intégrales sur un segment, équations différentielles linéaires |
| Probabilités en 1re année | Variables discrètes, couples de variables, premiers résultats de convergence | Variables discrètes ; couples et convergence en 2e année |
| Chapitres propres à l'option | Produit scalaire et fonctions de $n$ variables en 2e année (deux variables seulement en appliquées) | Théorie des graphes, puis chaînes de Markov (un système qui passe au hasard d'un état à un autre) et bases de données en 2e année |
| Python | numpy, matplotlib, scipy.special | numpy, matplotlib, et pandas pour lire des fichiers de données |
La méthode change aussi : en approfondies, « la plupart des résultats » du programme sont démontrés en classe. En appliquées, ils sont « admis ou démontrés selon les choix » du professeur, et le programme se dit « résolument tourné » vers les outils qui résolvent des problèmes concrets. Et en première année d'appliquées, les fonctions trigonométriques sont hors programme.
Ce que l'option change aux concours
La BCE distingue quatre parcours ECG : maths approfondies ou appliquées, associées soit à l'HGG (histoire, géographie et géopolitique), soit à l'ESH (économie, sociologie et histoire). Tu passes les épreuves de ton parcours, donc des sujets de maths propres à ton option, et chaque école fixe ses coefficients.
Le règlement du concours 2026 ne lie que deux écoles à une option : seuls les candidats en maths approfondies peuvent s'inscrire à l'ENSAE Paris, et seuls ceux du parcours maths appliquées et ESH à l'ESM Saint-Cyr. Le règlement est publié pour chaque session : vérifie ces deux règles dans celui de ton année.
Piège classique : compter sur un changement d'option en cours de route. Le règlement 2026 prévoit le cas d'un changement entre la première et la deuxième année : tu passes alors les épreuves de ta nouvelle option, sur ses deux années de programme, et sa première année est à rattraper.
Comment trancher
Étape 1 : Commence par tes écoles. Si l'ENSAE Paris ou l'ESM Saint-Cyr est sur ta liste, la règle ci-dessus décide pour toi.
Étape 2 : Repense à ta terminale : qu'as-tu préféré, une démonstration qui tombe juste ou un programme Python qui tourne ?
Étape 3 : Fais les quatre exercices ci-dessous sans regarder les corrections. Note ceux qui t'ont donné envie de continuer, pas seulement ceux que tu as réussis.
Étape 4 : Vérifie quelles options ouvre chaque prépa qui t'intéresse, et pose ta question à ses professeurs de maths.
Ton goût compte plus que la réputation de l'option : neuf heures de maths par semaine pendant deux ans en approfondies, huit en appliquées, c'est long quand la façon de travailler ne te plaît pas.
Piège classique : prendre les appliquées pour des maths au rabais. Leur programme a des chapitres absents des approfondies : les graphes et l'algorithme de Dijkstra (pour trouver un plus court chemin), les chaînes de Markov, les bases de données.
Conseil : les avis écrits avant 2021 parlent d'ECS et d'ECE, deux voies remplacées par l'ECG à la rentrée 2021 avec des programmes neufs : ne les reprends pas tels quels.
Quatre exercices pour te tester
L'exercice 1 relève des seules appliquées, le 2 des approfondies en première année ; les 3 et 4 sont au programme de première année des deux options. Cherche chacun avant d'ouvrir sa correction.
Exercice 1 : Une compagnie relie quatre villes par des vols directs à sens unique : $A \to B$, $A \to C$, $B \to C$, $B \to D$, $C \to D$ et $D \to A$. Écris la matrice d'adjacence $M$ de ce graphe, villes rangées dans l'ordre alphabétique : le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ vaut 1 s'il existe un vol de $i$ vers $j$, 0 sinon. Calcule $M^2$. Combien de trajets en exactement deux vols mènent de $A$ à $D$ ?
Correction :
$$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Ligne par colonne, le coefficient de la ligne $A$ et de la colonne $D$ de $M^2$ vaut $0 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 0 = 2$. Au total :
$$M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ de $M^2$ compte les chemins de longueur 2 de $i$ vers $j$ (un résultat du programme d'appliquées) : il y a donc 2 trajets de $A$ à $D$, $A \to B \to D$ et $A \to C \to D$.
Si ce va-et-vient entre réseau et calcul t'a plu, c'est un signe pour les appliquées.
Exercice 2 : On note $\mathbb{R}_2[x]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2, et $F$ l'ensemble des polynômes $P$ de $\mathbb{R}_2[x]$ tels que $P(1) = 0$. Montre que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_2[x]$, puis donne une base de $F$ et sa dimension.
Correction :
Le polynôme nul s'annule en 1, donc il appartient à $F$. Si $P$ et $Q$ sont dans $F$ et $\lambda$ est un réel, alors $(\lambda P + Q)(1) = \lambda P(1) + Q(1) = 0$, donc $\lambda P + Q$ est dans $F$. Donc $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_2[x]$.
Écris $P = a + bx + cx^2$. La condition $P(1) = 0$ s'écrit $a + b + c = 0$, soit $a = -b - c$, d'où $P = b(x - 1) + c(x^2 - 1)$. La famille $(x - 1,\, x^2 - 1)$ engendre donc $F$. Ses deux polynômes n'ont pas le même degré, donc aucun n'est multiple de l'autre : la famille est libre. C'est une base de $F$, et $\dim F = 2$.
Si ce genre de preuve, où chaque phrase justifie la suivante, te plaît, c'est un signe pour les approfondies.
Exercice 3 : Un commercial appelle des clients potentiels les uns après les autres. Chaque appel aboutit à une vente avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des autres. On note $X$ le rang du premier appel qui aboutit. Donne la loi de $X$ et son espérance, puis la probabilité qu'il faille plus de trois appels. Écris enfin un court programme Python qui vérifie l'espérance par simulation.
Correction :
Ici, $X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes de même probabilité de succès $0{,}2$ : $X$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}(0{,}2)$. Pour tout entier $k \geqslant 1$, $P(X = k) = 0{,}2 \times 0{,}8^{k-1}$.
Son espérance vaut $E(X) = \dfrac{1}{0{,}2} = 5$ : il faut en moyenne 5 appels pour décrocher une vente.
Il faut plus de trois appels exactement quand les trois premiers échouent : $P(X > 3) = 0{,}8^3 = 0{,}512$.
import numpy as np
import numpy.random as rd
print(np.mean(rd.geometric(0.2, 10000)))Ce programme simule 10 000 séries d'appels et affiche la moyenne des rangs : un nombre proche de 5, qui varie d'une exécution à l'autre.
Exercice 4 : Un camarade affirme : « $\dfrac{1}{n}$ tend vers 0, donc la série $\sum \dfrac{1}{n}$ converge. » Montre qu'il se trompe, à l'aide de l'inégalité $\ln(1 + x) \leqslant x$, vraie pour tout réel $x > -1$.
Correction :
Pour tout entier $k \geqslant 1$, on prend $x = \dfrac{1}{k}$ : $\ln(k+1) - \ln k = \ln\left(1 + \dfrac{1}{k}\right) \leqslant \dfrac{1}{k}$.
On additionne ces inégalités pour $k$ allant de 1 à $n$. À gauche, les termes s'annulent deux à deux et il reste $\ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1)$. Donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \geqslant \ln(n+1)$.
Comme $\ln(n+1)$ tend vers $+\infty$, les sommes partielles aussi : la série diverge. Un terme général qui tend vers 0 est nécessaire à la convergence, jamais suffisant.
À retenir
À retenir :
- Les deux options partent du niveau de l'option mathématiques complémentaires de terminale.
- Approfondies : abstraction et démonstrations, 9 h par semaine. Appliquées : outils, graphes, données et Python, 8 h par semaine.
- Chaque option a ses propres épreuves de maths. Au concours BCE 2026, l'ENSAE Paris n'était ouverte qu'aux approfondies, l'ESM Saint-Cyr qu'au parcours appliquées et ESH.
- Changer d'option en deuxième année oblige à rattraper le programme de première année.
- Choisis selon ta façon préférée de faire des maths, pas selon une réputation.
Sources
- Programmes de mathématiques appliquées (annexe I) et approfondies (annexe II) de la classe ECG, ministère de l'Enseignement supérieur, 2021 :texte sur education.gouv.fr.
- Horaires de l'ECG, arrêté du 5 janvier 2021 modifiant l'arrêté du 23 mars 1995 : texte sur Légifrance.
- Règlement des concours BCE 2026, « Déroulement des concours » et partie I.2.2 sur les quatre parcours ECG : texte sur concours-bce.com.