En prépa HEC, analyse et probabilités se croisent sans arrêt : dès qu'une variable aléatoire prend une infinité de valeurs, son espérance est la somme d'une série. Lance une pièce équilibrée jusqu'au premier pile et appelle $X$ le rang de ce pile : $P(X=k)=\left(\frac{1}{2}\right)^k$ pour $k \geqslant 1$, et la série géométrique dérivée donne $E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty} k\left(\frac{1}{2}\right)^k = 2$. Cette page reprend les outils qui servent des deux côtés, chacun avec sa méthode et son piège.
Si tu cherches ECS ou ECE : depuis la rentrée 2021 en première année, ces options scientifique et économique ont laissé la place à la voie ECG, où l'on choisit les mathématiques approfondies ou appliquées (arrêté du 5 janvier 2021), chacune avec son programme officiel.
Suites récurrentes : trouver la limite
Commence par la suite arithmético-géométrique, $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 1$. Cherche son point fixe $\ell$, solution de $\ell = a\ell + b$. En soustrayant les deux égalités, $u_{n+1} - \ell = a(u_n - \ell)$ : la suite $(u_n - \ell)$ est géométrique de raison $a$. Donc $u_n = \ell + a^n(u_0 - \ell)$, et si $|a| < 1$, la suite tend vers $\ell$.
Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ plus générale, il n'y a pas de formule explicite. Le raisonnement tient alors en quatre étapes.
Étape 1 : trouver un intervalle $I$ qui contient $u_0$ et vérifie $f(I) \subset I$ (on dit qu'il est stable par $f$). Par récurrence, tous les $u_n$ sont dans $I$.
Étape 2 : étudier la monotonie. Comme $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$, si $f(x) - x$ garde un signe constant sur $I$, la suite est monotone.
Étape 3 : appliquer le théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée converge, une suite décroissante et minorée aussi.
Étape 4 : passer à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $f$ est continue en la limite $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$.
Piège classique : résoudre $f(\ell) = \ell$ ne prouve pas que la suite converge. Avec $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n$, l'équation $\ell = 2\ell$ donne $\ell = 0$, alors que $u_n = 2^n$ tend vers $+\infty$. Cette équation ne sert qu'une fois la convergence prouvée.
Séries : les sommes à savoir retrouver
La série $\sum u_n$ converge quand ses sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ ont une limite finie, appelée sa somme. Pour la série géométrique, $S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$ si $q \neq 1$, qui tend vers $\dfrac{1}{1-q}$ dès que $|q| < 1$. En dérivant cette somme par rapport à $q$, une fois puis deux, tu retrouves les deux autres formules : c'est un moyen de mémoire, pas une démonstration.
Formule : pour $|q| < 1$,
$$\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$$ $$\sum_{n=1}^{+\infty} n q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}$$ $$\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) q^{n-2} = \frac{2}{(1-q)^3}$$
et pour tout réel $x$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$.
Quand la somme ne se calcule pas, tu cherches seulement si la série converge. Pour des termes positifs, on compare : si $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$ et que $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge. Les séries de référence sont les géométriques et les séries de Riemann $\sum \dfrac{1}{n^\alpha}$, qui convergent si et seulement si $\alpha > 1$. Enfin, une série converge absolument quand $\sum |u_n|$ converge, et la convergence absolue entraîne la convergence.
Piège classique : si $\sum u_n$ converge, alors $u_n$ tend vers $0$, mais la réciproque est fausse. Le terme général de $\sum \dfrac{1}{n}$ tend vers $0$, et pourtant cette série diverge : c'est la série de Riemann avec $\alpha = 1$.
Intégrales sur un intervalle non borné
Les variables à densité demandent des intégrales jusqu'à $+\infty$. On intègre sur un segment, puis on passe à la limite : $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ converge si $\displaystyle\int_a^{x} f(t)\,dt$ a une limite finie quand $x$ tend vers $+\infty$. Par exemple, pour $\lambda > 0$, $\displaystyle\int_0^{x} \lambda e^{-\lambda t}\,dt = 1 - e^{-\lambda x}$, qui tend vers $1$.
Les intégrales de référence ressemblent aux séries de Riemann : $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. Pour une fonction positive, les théorèmes de comparaison marchent comme pour les séries.
Conditionner : probabilités totales et Bayes
Quand une expérience se déroule en deux temps, découpe selon ce qui s'est passé au premier temps. Des événements $A_1, \dots, A_n$ forment un système complet d'événements s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est l'univers $\Omega$ : un et un seul se produit. La probabilité de $B$ sachant $A$ se note $P_A(B)$ en prépa ; tu verras aussi $P(B \mid A)$ dans certains livres.
Propriété : si $(A_1, \dots, A_n)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, pour tout événement $B$,
$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P_{A_i}(B)$$
et si $P(B) \neq 0$, la formule de Bayes retourne le conditionnement :
$$P_B(A_j) = \frac{P(A_j)\,P_{A_j}(B)}{P(B)}$$
Bayes n'est que $P(A_j \cap B)$ écrit de deux façons : $P(B)\,P_B(A_j) = P(A_j)\,P_{A_j}(B)$. Retiens cette égalité, et la formule se retrouve en une ligne. Avec un système complet infini, la formule des probabilités totales reste vraie, la somme devenant une série.
Espérance et variance : l'analyse revient
Pour une variable discrète $X$ qui prend une infinité de valeurs, l'espérance n'existe pas toujours. Elle existe si et seulement si la série $\sum x\,P(X=x)$ converge absolument, et $E(X)$ est alors sa somme. La convergence absolue garantit que le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on range les valeurs.
Formule : théorème de transfert, sous réserve de convergence absolue de la série :
$$E\big(g(X)\big) = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x)\,P(X=x)$$
puis la formule de Kœnig-Huygens : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$.
Pour la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$, rang du premier succès quand des essais indépendants réussissent chacun avec la probabilité $p$, on a $P(X=k) = p(1-p)^{k-1}$ pour $k \geqslant 1$. La série dérivée avec $q = 1-p$ donne $E(X) = \dfrac{1}{p}$. La variance vaut $\dfrac{1-p}{p^2}$ : l'exercice 3 la calcule sur un cas.
Pour une variable à densité, la somme devient une intégrale. Une densité $f$ est positive, continue sauf en un nombre fini de points, d'intégrale $1$ sur $\mathbb{R}$, et $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f(t)\,dt$ si cette intégrale converge absolument. Pour la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ si $t \geqslant 0$ et $f(t) = 0$ sinon, et $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
Piège classique : calculer $E(X)$ sans avoir justifié son existence. Écris d'abord « la série (ou l'intégrale) converge absolument, donc $X$ admet une espérance », puis calcule. Une variable peut d'ailleurs avoir une espérance sans avoir de variance : c'est l'exercice 4.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un devoir. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : On pose $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$. Exprime $u_n$ en fonction de $n$, puis donne la limite et le sens de variation de la suite.
Correction :
Le point fixe vérifie $\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 3$, donc $\ell = 6$. En soustrayant, $u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6)$ : la suite $(u_n - 6)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $u_0 - 6 = -5$.
Donc $u_n = 6 - 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Contrôle : $u_1 = \dfrac{1}{2} + 3 = 3{,}5$, et la formule donne $6 - \dfrac{5}{2} = 3{,}5$.
Comme $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ tend vers $0$, $u_n$ tend vers $6$. Enfin $u_{n+1} - u_n = 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n - 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} > 0$ : la suite est strictement croissante.
Exercice 2 : (données fictives) Dans une usine, $3\,\%$ des pièces sont défectueuses. Un test signale une pièce défectueuse avec la probabilité $0{,}95$, et signale à tort une pièce saine avec la probabilité $0{,}05$. Une pièce prise au hasard est signalée par le test. Quelle est la probabilité qu'elle soit vraiment défectueuse ?
Correction :
Note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse » et $T$ l'événement « le test la signale ». Les événements $D$ et $\overline{D}$ forment un système complet, avec $P(D) = 0{,}03$, $P_D(T) = 0{,}95$ et $P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05$.
Probabilités totales : $P(T) = 0{,}03 \times 0{,}95 + 0{,}97 \times 0{,}05 = 0{,}0285 + 0{,}0485 = 0{,}077$.
Bayes : $P_T(D) = \dfrac{0{,}0285}{0{,}077} = \dfrac{57}{154} \approx 0{,}37$.
Environ $37\,\%$ seulement des pièces signalées sont défectueuses. Il n'y a pas de contradiction : les pièces saines sont si nombreuses que leurs fausses alertes ($0{,}0485$) dépassent les vraies ($0{,}0285$). Confondre $P_D(T) = 0{,}95$ avec $P_T(D)$, c'est exactement l'erreur que cet exercice vise.
Exercice 3 : On lance un dé équilibré à six faces jusqu'à obtenir un $6$, et $X$ est le nombre de lancers effectués. Donne la loi de $X$, puis justifie l'existence de $E(X)$ et de $V(X)$ et calcule-les.
Correction :
Les lancers sont indépendants et chacun donne $6$ avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$. L'événement $[X = k]$, c'est $k-1$ échecs puis un succès, donc $P(X=k) = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}$ pour $k \geqslant 1$ : $X$ suit la loi $\mathcal{G}\left(\dfrac{1}{6}\right)$.
Les termes sont positifs, et avec $q = \dfrac{5}{6}$, la série $\sum k q^{k-1}$ converge vers $\dfrac{1}{(1-q)^2} = 36$. Donc $X$ admet une espérance, et $E(X) = \dfrac{1}{6} \times 36 = 6$ : il faut en moyenne $6$ lancers.
Pour la variance, passe par $X(X-1)$, qui fait apparaître la série dérivée seconde, à termes positifs et convergente. Par transfert, $E\big(X(X-1)\big) = \sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1)\dfrac{1}{6}q^{k-1} = \dfrac{q}{6}\sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1)q^{k-2} = \dfrac{5}{36} \times \dfrac{2}{(1/6)^3} = 60$.
Donc $E(X^2) = E\big(X(X-1)\big) + E(X) = 66$ et, par Kœnig-Huygens, $V(X) = 66 - 6^2 = 30$. On retrouve bien $\dfrac{1-p}{p^2} = \dfrac{5/6}{1/36} = 30$.
Exercice 4 : Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \dfrac{2}{t^3}$ si $t \geqslant 1$ et $f(t) = 0$ sinon. Montre que $f$ est une densité. Si $X$ a pour densité $f$, $X$ admet-elle une espérance ? une variance ?
Correction :
$f$ est positive, continue sauf en $1$, nulle avant $1$. Pour $x \geqslant 1$, $\displaystyle\int_1^{x} \frac{2}{t^3}\,dt = \left[-\frac{1}{t^2}\right]_1^{x} = 1 - \frac{1}{x^2}$, qui tend vers $1$ : $f$ est une densité.
Espérance : $t\,f(t) = \dfrac{2}{t^2}$ est positive sur $[1\,;+\infty[$, donc convergence et convergence absolue reviennent au même. $\displaystyle\int_1^{x} \frac{2}{t^2}\,dt = 2 - \frac{2}{x}$ tend vers $2$, donc $E(X) = 2$.
Variance : par transfert, il faudrait que $\displaystyle\int_1^{+\infty} t^2 f(t)\,dt = \int_1^{+\infty} \frac{2}{t}\,dt$ converge. Or $\displaystyle\int_1^{x} \frac{2}{t}\,dt = 2\ln x$ tend vers $+\infty$ : $X^2$ n'a pas d'espérance, donc $X$ n'a pas de variance.
À retenir
À retenir :
- Suite arithmético-géométrique : soustrais le point fixe, il reste une suite géométrique.
- Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : intervalle stable, monotonie, limite monotone, puis $f(\ell) = \ell$ si $f$ est continue.
- Les sommes géométriques dérivées se retrouvent en dérivant $\dfrac{1}{1-q}$ ; $\sum \dfrac{1}{n^\alpha}$ et $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}$ convergent si et seulement si $\alpha > 1$.
- Expérience en deux temps : système complet, probabilités totales, puis Bayes pour retourner le conditionnement.
- Une espérance se justifie avant de se calculer : convergence absolue de la série ou de l'intégrale.
Sources
- Arrêté du 5 janvier 2021 sur l'organisation des études et les horaires des classes préparatoires économiques et commerciales, Journal officiel du 7 février 2021 : texte sur Légifrance.
- Arrêté du 5 janvier 2021 définissant les programmes de la classe préparatoire économique et commerciale générale (ECG), Journal officiel du 7 février 2021 : texte sur Légifrance.