Un supraconducteur est un matériau qui, refroidi sous sa température critique $T_c$, conduit le courant continu sans aucune résistance et expulse le champ magnétique de son volume : c'est l'effet Meissner. Au LHC, l'accélérateur du CERN, des bobines en niobium-titane maintenues à 1,9 K créent ainsi un champ de 8,33 T sans chauffer par effet Joule (CERN). Ces deux propriétés ont une seule origine : sous $T_c$, les électrons s'associent en paires de Cooper, qui forment une même onde quantique dans tout l'échantillon.
Résistance nulle et effet Meissner
Au-dessus de $T_c$, le matériau est un métal ordinaire : sa résistance vient des chocs des électrons sur les défauts et sur les phonons, les vibrations du réseau cristallin. Sous $T_c$, la résistance ne devient pas « très faible » : elle s'annule. Un courant lancé dans un anneau supraconducteur y tourne alors sans générateur.
Définition : l'effet Meissner est l'expulsion d'un champ magnétique faible hors d'un supraconducteur : $\vec{B} = \vec{0}$ dans son volume, qu'on l'ait refroidi avant ou après avoir appliqué le champ. Des courants de surface créent un champ qui compense exactement le champ extérieur. Celui-ci ne pénètre que sur une fine couche, en $B(x) = B_0\,e^{-x/\lambda}$, où la longueur de pénétration $\lambda$ va de quelques dizaines à quelques centaines de nanomètres.
Piège classique : la résistance nulle n'explique pas l'effet Meissner. Dans un conducteur parfait, le champ électrique intérieur serait nul, et la loi de Maxwell-Faraday $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ imposerait $\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \vec{0}$ : le champ présent au moment du refroidissement resterait piégé. Le supraconducteur, lui, l'expulse. C'est une propriété à part entière.
Les limites critiques
L'état supraconducteur ne tient que si la température, le champ et le courant restent sous leurs valeurs critiques. Le champ critique $B_c$ baisse quand la température monte vers $T_c$, selon une loi empirique bien vérifiée pour les supraconducteurs de type I :
Formule : $$B_c(T) \approx B_c(0)\left[1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^2\right]$$
Le courant compte aussi, car il crée son propre champ. Pour un fil de rayon $R$ parcouru par un courant $I$, le théorème d'Ampère donne en surface $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}$. Le fil redevient normal quand ce champ atteint $B_c$, d'où le courant critique $I_c = \dfrac{2\pi R\,B_c}{\mu_0}$. C'est la règle de Silsbee, valable pour un type I sans champ extérieur.
Beaucoup de tables notent ce champ $H_c$ tout en le donnant en teslas : il s'agit en fait de $B_c = \mu_0 H_c$.
Les paires de Cooper
La théorie BCS, de Bardeen, Cooper et Schrieffer, explique les supraconducteurs dits conventionnels. Un électron qui traverse le réseau attire les ions positifs, bien plus lents que lui, et laisse derrière lui une zone un peu plus positive, qui attire un second électron. Pour les électrons proches du niveau de Fermi, cette attraction transmise par les phonons l'emporte sur la répulsion électrique, atténuée par l'écrantage. Ils s'associent alors par deux, de spins opposés : ce sont les paires de Cooper.
Les paires occupent toutes le même état quantique et forment une onde collective, le condensat. Un défaut ne peut pas freiner une paire isolée sans la casser, ce qui coûte au moins l'énergie $2\Delta$, où $\Delta$ est le gap supraconducteur ; sinon, il lui faudrait freiner tout le condensat d'un coup. Le courant porté par le condensat circule donc sans perte.
Formule : à température nulle, la théorie BCS prédit $$2\Delta(0) \approx 3{,}53\,k_B T_c$$ où $k_B = 1{,}380\,649 \times 10^{-23}\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}$ est la constante de Boltzmann. Plus les paires sont liées, plus il faut chauffer pour les briser.
Les paires laissent une autre trace. Dans un anneau supraconducteur, le flux magnétique piégé ne prend que des multiples entiers d'un quantum $\Phi_0$ : l'onde des paires doit se raccorder à elle-même après un tour, et la charge qui intervient est celle d'une paire, $2e$.
Formule : $$\Phi = n\,\Phi_0 \quad \text{avec} \quad \Phi_0 = \frac{h}{2e} = 2{,}067\,833\,848\ldots \times 10^{-15}\ \text{Wb}$$ où $n$ est un entier. Cette valeur est exacte, puisque $h$ et $e$ ont des valeurs fixées dans le Système international (NIST, CODATA 2022).
Type I et type II
Deux longueurs décident du comportement dans un champ : la longueur de pénétration $\lambda$, et la longueur de cohérence $\xi$, distance minimale sur laquelle l'état supraconducteur peut s'établir, de l'ordre de la taille d'une paire. Leur rapport est le paramètre de Ginzburg-Landau, $\kappa = \dfrac{\lambda}{\xi}$.
Règle : si $\kappa < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, le supraconducteur est de type I ; si $\kappa > \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, il est de type II.
Un type I, comme le plomb ou l'aluminium, garde l'effet Meissner complet jusqu'à $B_c$, puis repasse d'un bloc à l'état normal. Un type II a deux champs critiques. Sous $B_{c1}$, il expulse tout le champ. Entre $B_{c1}$ et $B_{c2}$, le champ entre sous forme de vortex : des tubes au cœur normal, de rayon voisin de $\xi$, qui portent chacun exactement un quantum $\Phi_0$ et autour desquels tournent des courants. Au-delà de $B_{c2}$, le matériau redevient normal.
Le champ critique supérieur vaut $B_{c2} = \dfrac{\Phi_0}{2\pi\xi^2}$ : c'est, en ordre de grandeur, le champ où les cœurs des vortex se touchent. Avec $\xi = 5$ nm, il atteint déjà 13 T (exercice 3). Les aimants du LHC, eux, sont bobinés en niobium-titane, un type II. Sous courant, les vortex dissipent de l'énergie s'ils bougent : on les accroche sur des défauts du matériau.
Cuprates et matériaux quantiques
Les cuprates sont des oxydes de cuivre construits en plans $\text{CuO}_2$. En 1987, une équipe a mesuré dans un oxyde d'yttrium, de baryum et de cuivre une transition supraconductrice entre 80 et 93 K (Wu et al., Physical Review Letters). C'est au-dessus des 77 K où bout l'azote liquide : plus besoin d'hélium liquide, qui bout à 4,2 K. Leur mécanisme d'appariement reste débattu : les phonons ne suffisent pas à l'expliquer, et les fortes répulsions entre électrons y jouent un rôle central.
On appelle matériaux quantiques ceux dont une propriété visible à notre échelle ne s'explique que par la mécanique quantique de très nombreux électrons à la fois. Les supraconducteurs en sont l'exemple type. Les isolants topologiques en sont un autre : isolants dans leur volume, ils conduisent par leur surface, grâce à des états que la topologie de leurs bandes d'énergie (une propriété globale, insensible aux petites déformations) protège des défauts non magnétiques.
Enfin, deux supraconducteurs séparés par une barrière isolante très mince forment une jonction Josephson, que les paires traversent par effet tunnel. C'est la brique des SQUID, capteurs de champs magnétiques très faibles, et des qubits supraconducteurs de certains ordinateurs quantiques.
Exercices corrigés
Du plus direct au plus proche d'un examen. Cherche chacun avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Un fil cylindrique de rayon $R = 0{,}50$ mm est fait d'un supraconducteur de type I : $T_c = 6{,}0$ K et $B_c(0) = 50$ mT (données fictives), avec $B_c(T) = B_c(0)\left[1 - (T/T_c)^2\right]$. Il fonctionne à 3,0 K, sans champ extérieur. On donne $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$. a) Calcule $B_c$ à 3,0 K. b) Calcule le courant critique du fil. c) Que devient ce courant pour un fil de rayon double ?
Correction :
a) $\dfrac{T}{T_c} = 0{,}50$, donc $B_c = 50 \times (1 - 0{,}25) = 37{,}5$ mT.
b) Le fil redevient normal quand le champ en surface, $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}$, atteint $B_c$. Donc $I_c = \dfrac{2\pi R\,B_c}{\mu_0} = \dfrac{2\pi \times 0{,}50 \times 10^{-3} \times 37{,}5 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7}} \approx 94$ A.
c) $I_c$ est proportionnel à $R$ : il double et passe à environ 188 A. Le piège est de multiplier par 4 en raisonnant sur la section. Dans un type I, le courant ne circule que dans la couche de surface d'épaisseur $\lambda$, et la limite porte sur le champ en surface, proportionnel à $\dfrac{I}{R}$.
Exercice 2 : Un supraconducteur conventionnel a une température critique $T_c = 9{,}2$ K, et une mesure par effet tunnel donne $2\Delta(0) = 3{,}0$ meV (données fictives). On donne $k_B = 8{,}617 \times 10^{-5}\ \text{eV}\cdot\text{K}^{-1}$, $h = 6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ et $1\ \text{eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}$ J. a) Quelle valeur de $2\Delta(0)$ prédit la théorie BCS ? b) Compare à la mesure. c) À partir de quelle fréquence un rayonnement peut-il casser des paires ?
Correction :
a) $k_B T_c = 8{,}617 \times 10^{-5} \times 9{,}2 \approx 7{,}93 \times 10^{-4}$ eV, soit 0,793 meV. BCS prédit $2\Delta(0) \approx 3{,}53 \times 0{,}793 \approx 2{,}8$ meV.
b) Ici $\dfrac{2\Delta(0)}{k_B T_c} = \dfrac{3{,}0}{0{,}793} \approx 3{,}8$, un peu au-dessus de 3,53 : le couplage électron-phonon est plus fort que ne le suppose la théorie BCS, qui sous-estime alors le gap.
c) Un photon casse une paire si son énergie $h\nu$ atteint $2\Delta$. Donc $\nu \geqslant \dfrac{2\Delta}{h} = \dfrac{3{,}0 \times 10^{-3} \times 1{,}602 \times 10^{-19}}{6{,}626 \times 10^{-34}} \approx 7{,}3 \times 10^{11}$ Hz, soit environ 0,73 THz.
Exercice 3 : Un supraconducteur a une longueur de pénétration $\lambda = 100$ nm et une longueur de cohérence $\xi = 5{,}0$ nm (données fictives). On donne $\Phi_0 = \dfrac{h}{2e} = 2{,}07 \times 10^{-15}$ Wb. a) Est-il de type I ou de type II ? b) Calcule $B_{c2} = \dfrac{\Phi_0}{2\pi\xi^2}$. c) On l'expose à un champ de 1,0 T, très supérieur à $B_{c1}$ et inférieur à $B_{c2}$. Combien de vortex traversent une surface de $1{,}0\ \mu\text{m}^2$ perpendiculaire au champ ?
Correction :
a) $\kappa = \dfrac{\lambda}{\xi} = \dfrac{100}{5{,}0} = 20$, bien au-dessus de $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$ : type II.
b) $B_{c2} = \dfrac{2{,}07 \times 10^{-15}}{2\pi \times (5{,}0 \times 10^{-9})^2} = \dfrac{2{,}07 \times 10^{-15}}{1{,}57 \times 10^{-16}} \approx 13$ T.
c) Loin de $B_{c1}$, le champ moyen dans le matériau est proche du champ appliqué. Le flux à travers la surface vaut $\Phi = BS = 1{,}0 \times 1{,}0 \times 10^{-12} = 1{,}0 \times 10^{-12}$ Wb, et chaque vortex porte un quantum : $N = \dfrac{\Phi}{\Phi_0} = \dfrac{1{,}0 \times 10^{-12}}{2{,}07 \times 10^{-15}} \approx 483$ vortex.
Le piège : prendre $\dfrac{h}{e}$, avec la charge d'un seul électron. Le quantum serait deux fois trop grand, et tu trouverais environ 242 vortex au lieu de 483.
À retenir
À retenir :
- Sous $T_c$ : résistance nulle et effet Meissner, deux propriétés distinctes.
- L'état supraconducteur ne survit que sous $T_c$, sous $B_c(T)$ et sous un courant critique.
- Dans un supraconducteur conventionnel, les phonons lient les électrons en paires de Cooper ; en casser une coûte $2\Delta \approx 3{,}53\,k_B T_c$.
- Le flux est quantifié en $\Phi_0 = \dfrac{h}{2e}$, car les porteurs ont la charge $2e$.
- Type I si $\kappa = \lambda/\xi < 1/\sqrt{2}$, type II sinon, avec des vortex entre $B_{c1}$ et $B_{c2}$.
- Les cuprates dépassent 77 K, mais les phonons seuls n'expliquent pas leur appariement.
Sources
- NIST, valeurs CODATA 2022 des constantes fondamentales : quantum de flux magnétique.
- CERN, les systèmes cryogéniques du LHC : page sur home.cern.
- M. K. Wu et al., Physical Review Letters, vol. 58, p. 908, 1987 : résumé sur journals.aps.org.