L'essentiel à connaître
Deux réflexes règlent la plupart des questions : en algèbre linéaire, compter les dimensions ; en probabilités, reconnaître la loi avant de calculer. Dans un espace de dimension $n$, une famille libre (sa seule combinaison linéaire nulle a tous ses coefficients nuls) compte au plus $n$ vecteurs : dans $\mathbf{R}^3$, quatre vecteurs sont donc toujours liés. Et une famille de $n$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre ou génératrice (tout vecteur de l'espace est combinaison linéaire des siens).
Règle : pour $u$ linéaire de $E$, de dimension finie, dans $F$, la formule du rang s'écrit $\dim E = \dim(\operatorname{Ker} u) + \operatorname{rg}(u)$. Le noyau $\operatorname{Ker} u$ est l'ensemble des $x$ tels que $u(x) = 0$, et le rang est $\operatorname{rg}(u) = \dim(\operatorname{Im} u)$. Enfin, $u$ est injective si et seulement si $\operatorname{Ker} u = \{0\}$ ; pour un endomorphisme (de $E$ dans $E$), injectif équivaut alors à bijectif.
Pour les matrices, $AB$ n'existe que si $A$ a autant de colonnes que $B$ a de lignes : si $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbf{R})$ ($n$ lignes, $p$ colonnes) et $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbf{R})$, alors $AB \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbf{R})$. Et l'ordre compte : $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ et ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA$. La matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$, d'inverse $\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Avec un polynôme annulateur (un polynôme $Q$ tel que $Q(A) = 0$), isole le terme en $I$ puis factorise par $A$ : pour une matrice carrée, $AM = I$ suffit à conclure que $M = A^{-1}$.
En probabilités, la loi binomiale compte les succès sur $n$ épreuves indépendantes de même probabilité de succès $p$ ; la loi géométrique donne le rang du premier succès.
| Loi | $P(X = k)$ | $E(X)$ | $V(X)$ |
|---|---|---|---|
| Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ | $P(X = 1) = p$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $0 \leqslant k \leqslant n$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| Géométrique $\mathcal{G}(p)$ | $p(1-p)^{k-1}$, $k \geqslant 1$ | $\frac{1}{p}$ | $\frac{1-p}{p^2}$ |
| Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ | $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$, $k \geqslant 0$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
Pour la loi géométrique, $P(X > k) = (1-p)^k$, car les $k$ premiers essais ont échoué. Dès que $X$ admet une variance, $V(aX + b) = a^2V(X)$. Si $(A_1, \dots, A_n)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles (deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$), la formule des probabilités totales donne $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P_{A_i}(B)$, puis, si $P(B) \neq 0$, la formule de Bayes donne $P_B(A_i) = \frac{P(A_i)P_{A_i}(B)}{P(B)}$.
Piège classique : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ est la probabilité de $B$ sachant $A$, pas celle de $A$ sachant $B$. Et indépendants ($P(A \cap B) = P(A)P(B)$) ne veut pas dire incompatibles ($A \cap B = \emptyset$).
Quiz : teste tes connaissances
Les questions suivent le programme de mathématiques approfondies de première année d'ECG (arrêté du 5 janvier 2021) et montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Soit $A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbf{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{3,4}(\mathbf{R})$. À quel ensemble appartient le produit $AB$ ?
Réponse : B. Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes multipliée par une matrice à $p$ lignes et $q$ colonnes donne une matrice à $n$ lignes et $q$ colonnes : ici 2 lignes et 4 colonnes. Le piège C inverse l'ordre, alors que $BA$ n'est même pas défini ($B$ a 4 colonnes, $A$ n'a que 2 lignes).
Question 2 : $X$ suit la loi de Poisson de paramètre 3, ce qu'on note $X \hookrightarrow \mathcal{P}(3)$. Que valent $E(X)$ et $V(X)$ ?
Réponse : D. Pour une loi de Poisson, l'espérance et la variance valent toutes deux le paramètre $\lambda$, ici 3. Le piège A suppose $V(X) = E(X)^2$, qui n'est pas une formule : la formule de Koenig-Huygens donne $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
Question 3 : Dans un espace vectoriel de dimension 3, une famille de 4 vecteurs est forcément :
Réponse : A. Une famille libre compte au plus autant de vecteurs que la dimension : 4 vecteurs en dimension 3 sont donc liés. Le piège C confond nombre et rôle : la famille formée de quatre fois le même vecteur non nul n'engendre qu'une droite.
Question 4 : On lance 10 fois un dé équilibré à six faces, et $X$ est le nombre de 6 obtenus. Quelle est la loi de $X$ ?
Réponse : C. On répète 10 épreuves indépendantes dont le succès, « obtenir 6 », a pour probabilité $\frac{1}{6}$, et $X$ compte les succès : $X \hookrightarrow \mathcal{B}(10, \frac{1}{6})$, d'où $E(X) = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$. Le piège A échange les rôles : le premier paramètre est le nombre d'épreuves, le second la probabilité d'un succès.
Question 5 : $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. Quelle égalité est juste ?
Réponse : B. On vérifie que $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I_n$. Le piège A garde l'ordre, or le produit matriciel n'est pas commutatif ; pour la même raison, ${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA$, ce qui écarte C.
Question 6 : $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$, avec $p \in \, ]0\,;\,1[$. Que vaut $P(X = 3)$ ?
Réponse : A. L'événement $[X = 3]$, c'est deux échecs puis un succès, d'où $P(X = 3) = (1-p)^2p$, cas particulier de $P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$. Le piège B met l'exposant $k$ au lieu de $k - 1$ : il compte un échec de trop.
Question 7 : Quel est l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ ?
Réponse : D. Ici $ad - bc = 2 \times 3 - 1 \times 4 = 2 \neq 0$ : on échange les coefficients de la diagonale, on change le signe des deux autres et on divise par 2. Le piège B calcule $ad + bc = 10$ au lieu de la différence ; dans le doute, vérifie que $AA^{-1} = I_2$.
Question 8 : $u : \mathbf{R}^4 \to \mathbf{R}^3$ est linéaire et de rang 2. Que vaut $\dim(\operatorname{Ker} u)$ ?
Réponse : C. La formule du rang porte sur l'espace de départ : $4 = \dim(\operatorname{Ker} u) + 2$, donc $\dim(\operatorname{Ker} u) = 2$. Le piège A part de l'espace d'arrivée et calcule $3 - 2 = 1$.
Question 9 : On sait que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Que vaut $P_A(B)$, et que conclure ?
Réponse : A. $P_A(B) = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4 = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$, ce qui caractérise l'indépendance quand $P(A) \neq 0$. Le piège B divise par $P(B)$ et calcule en fait $P_B(A)$.
Question 10 : $u$ est un endomorphisme d'un espace $E$ de dimension finie, et $\operatorname{Ker} u = \{0\}$. Que peut-on affirmer ?
Réponse : D. $\operatorname{Ker} u = \{0\}$ donne l'injectivité, puis la formule du rang donne $\operatorname{rg}(u) = \dim E$, donc $\operatorname{Im} u = E$ : $u$ est aussi surjectif. Le piège B oublie qu'en dimension finie, un endomorphisme injectif est forcément bijectif.
Question 11 : $X \hookrightarrow \mathcal{G}(\frac{1}{4})$. Que vaut $P(X > 2)$ ?
Réponse : B. L'événement $[X > 2]$ signifie que les deux premiers essais sont des échecs : $P(X > 2) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$, ce que confirme $1 - \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{9}{16}$. Le piège A compte trois échecs : $\frac{27}{64}$ est $P(X > 3)$.
Question 12 : $X$ admet une variance, et $V(X) = 5$. Que vaut $V(-2X + 3)$ ?
Réponse : A. Avec $V(aX + b) = a^2V(X)$, on obtient $V(-2X + 3) = (-2)^2 \times 5 = 20$ : la constante décale les valeurs sans changer leur dispersion. Le piège B oublie le carré, et une variance négative doit toujours t'alerter, puisqu'une variance est positive.
Question 13 : Dans $\mathbf{R}^3$, on pose $u = (1,0,0)$, $v = (0,1,0)$ et $w = (1,1,0)$ : aucun n'est colinéaire à un autre. La famille $(u, v, w)$ est :
Réponse : D. L'égalité $u + v - w = 0$ est une combinaison linéaire nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls : la famille est liée, donc ni libre ni une base. Le piège A ne vaut que pour deux vecteurs : dès trois, ne pas être colinéaires deux à deux ne suffit pas.
Question 14 : Une matrice carrée $A$ vérifie $A^2 - 3A + 2I = 0$, où $I$ est la matrice identité. Alors $A$ est inversible et :
Réponse : B. On isole le terme en $I$ : $3A - A^2 = 2I$, soit $A \times \frac{1}{2}(3I - A) = I$, ce qui suffit pour une matrice carrée. Le piège A perd un signe : de $A(A - 3I) = -2I$, on tire $A^{-1} = -\frac{1}{2}(A - 3I)$.
Question 15 : On lance une pièce équilibrée. Sur pile, on tire une boule dans une urne contenant 2 boules blanches sur 5 ; sur face, dans une urne contenant 4 boules blanches sur 5. La boule tirée est blanche. Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur pile ?
Réponse : C. Avec $A$ « pile » et $B$ « boule blanche », la formule des probabilités totales donne $P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$, puis la formule de Bayes donne $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}$. Le piège A répond $P_A(B) = \frac{2}{5}$, la probabilité de tirer une boule blanche sachant pile : c'est la question à l'envers.
Sources
Programme de mathématiques approfondies de première année d'ECG (arrêté du 5 janvier 2021), reproduit par la Banque commune d'épreuves dans sa brochure des programmes du concours 2026, pages 62 à 91.