L'essentiel à connaître
Sur un plan à l'échelle $1:50$ (écrite aussi $\frac{1}{50}$), 1 cm dessiné vaut 50 cm en vrai. Du plan vers la réalité, tu multiplies par 50 : un trait de 3 cm représente $3 \times 50 = 150$ cm, soit 1,5 m. De la réalité vers le plan, tu divises : une porte de 2 m, soit 200 cm, se dessine sur $200 \div 50 = 4$ cm.
Formule : l'échelle est le quotient $E = \dfrac{d}{D}$, avec $d$ la longueur sur le plan et $D$ la longueur réelle, dans la même unité. Donc $D = \dfrac{d}{E}$ et $d = D \times E$. Au $1:50$, $E = \frac{1}{50}$ : c'est une réduction. Au $2:1$, $E = 2$ : c'est un agrandissement, le dessin est deux fois plus grand que l'objet.
Pour trouver l'échelle, mets les deux longueurs dans la même unité, puis divise : un mur de 4 m tracé sur 8 cm donne $E = \dfrac{8}{400} = \dfrac{1}{50}$. Le programme de mathématiques de CAP demande ce calcul : connaissant deux valeurs parmi l'échelle, la longueur réelle et la longueur sur le plan, trouver la troisième. Tu retrouveras souvent les mêmes échelles : la norme NF EN ISO 5455, qui vaut pour tous les dessins techniques, de la mécanique à l'architecture, recommande en réduction $1:2$, $1:5$, $1:10$ et ces valeurs multipliées par 10, 100 ou 1 000 (comme $1:50$ ou $1:100$), et en agrandissement $2:1$, $5:1$, $10:1$, $20:1$ et $50:1$.
Une cote, c'est la dimension réelle écrite sur le dessin, quelle que soit l'échelle : tu la lis, tu ne la recalcules pas. Sa valeur s'écrit au-dessus de la ligne de cote, un trait fin terminé par deux flèches (ou deux petits traits obliques), tendu entre deux lignes d'attache qui partent des bords mesurés. En mécanique, une cote sans unité est en millimètres ; sur un plan de bâtiment, vérifie l'unité indiquée avant de calculer. Le cartouche, le cadre qui identifie le dessin, donne son titre et son échelle. Le symbole Ø annonce un diamètre, dont le rayon vaut la moitié. Une cote entre parenthèses est donnée pour information : elle se déduit des autres cotes et ne sert ni à fabriquer ni à contrôler la pièce.
Des cotes qui se suivent sur une même ligne forment une chaîne : leur somme donne la cote totale, et une cote manquante se trouve par soustraction. Une tolérance est l'écart permis autour d'une cote : avec $50 \pm 0{,}1$ (en mm), toute mesure de l'intervalle $[49{,}9\,;\,50{,}1]$ est acceptée, car l'écart joue de chaque côté.
À retenir : l'échelle sert à passer d'une longueur mesurée à la règle sur le dessin à la longueur réelle, ou l'inverse. Une cote, elle, est déjà la dimension réelle : on ne lui applique jamais l'échelle.
Piège classique : une aire ne suit pas l'échelle comme une longueur. Au $1:50$, chaque longueur réelle vaut 50 fois celle du plan, donc une aire réelle vaut $50^2 = 2\,500$ fois celle du plan. Le plus sûr : calcule d'abord les longueurs réelles, puis l'aire.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions vont du plus simple au plus délicat : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Sur un plan à l'échelle $1:50$, que représente 1 cm dessiné ?
Réponse : C. L'échelle $1:50$ signifie qu'une longueur réelle vaut 50 fois la longueur dessinée, dans la même unité : 1 cm sur le plan vaut 50 cm. Le piège A change d'unité en route : 50 m font 5 000 cm, cent fois trop.
Question 2 : Sur le dessin d'une pièce mécanique, un trou est coté Ø 12. Quel est son rayon ?
Réponse : A. Ø annonce un diamètre, et en mécanique une cote sans unité est en millimètres. Le rayon vaut la moitié du diamètre : $12 \div 2 = 6$ mm. Le piège B prend le diamètre pour le rayon.
Question 3 : Sur un plan au $1:50$, une cloison mesure 4 cm à la règle. Quelle est sa longueur réelle ?
Réponse : D. Du plan vers la réalité, on multiplie : $4 \times 50 = 200$ cm, soit 2 m. Le piège B divise au lieu de multiplier : une cloison de moins d'un millimètre n'a aucun sens.
Question 4 : Sur un dessin technique, où lis-tu le titre du dessin, son échelle et son auteur ?
Réponse : B. Le cartouche est le cadre qui identifie le dessin : titre, échelle, auteur, date. La nomenclature, l'autre tableau d'un dessin d'ensemble, liste les pièces qui le composent ; elle ne donne pas l'échelle.
Question 5 : Un mur de 6 m doit être dessiné au $1:50$. Quelle longueur traces-tu sur le plan ?
Réponse : A. De la réalité vers le plan, on divise : 6 m font 600 cm, et $600 \div 50 = 12$ cm. Le piège D calcule $6 \div 50 = 0{,}12$ sans voir que ce résultat est en mètres : 0,12 m, ce sont bien 12 cm.
Question 6 : Un mur de 3,6 m est dessiné sur 18 cm. Quelle est l'échelle du plan ?
Réponse : D. Même unité d'abord : 3,6 m font 360 cm. Puis $E = \dfrac{18}{360} = \dfrac{1}{20}$, soit $1:20$. Le piège C inverse le rapport : au $20:1$, le dessin serait vingt fois plus grand que le mur.
Question 7 : Sur une même ligne de cotes, la cote totale d'une plaque vaut 120 (en mm). Deux cotes partielles valent 35 et 50, la troisième n'est pas écrite. Combien vaut-elle ?
Réponse : B. Les cotes partielles d'une même ligne s'additionnent pour donner la cote totale, donc $120 - 35 - 50 = 35$ mm. Les pièges A et C n'enlèvent qu'une seule des deux cotes connues.
Question 8 : Une pièce est cotée $50 \pm 0{,}1$ (en mm). Quelle mesure est acceptée au contrôle ?
Réponse : D. L'écart de 0,1 mm joue de chaque côté : la mesure doit tomber dans $[49{,}9\,;\,50{,}1]$, et 50,05 y est. Le piège A, 49,85 mm, paraît proche, mais il est sous 49,9 : la pièce est refusée.
Question 9 : Sur un plan, une cote est écrite entre parenthèses : (80). Que t'indique-t-elle ?
Réponse : C. Une cote entre parenthèses aide à lire le plan : elle se déduit des autres cotes, et on ne s'en sert ni pour fabriquer ni pour contrôler la pièce. Le piège B croit qu'elle suit l'échelle, mais comme toute cote, elle donne une dimension réelle.
Question 10 : Sur un plan au $1:50$, une chambre rectangulaire mesure 10 cm sur 8 cm. Quelle est son aire réelle ?
Réponse : B. Calcule d'abord les longueurs réelles : $10 \times 50 = 500$ cm, soit 5 m, et $8 \times 50 = 400$ cm, soit 4 m. L'aire vaut $5 \times 4 = 20\ \text{m}^2$. Le piège A multiplie l'aire du plan, $80\ \text{cm}^2$, par 50 seulement, alors qu'une aire se multiplie par $50^2 = 2\,500$.
Question 11 : Le dessin d'une pièce mécanique est à l'échelle $2:1$. Une cote, écrite sans unité, indique 30. Quelle est la dimension réelle ?
Réponse : A. Une cote donne toujours la dimension réelle, ici en millimètres puisqu'il s'agit de mécanique : 30 mm. Le piège B divise par 2 à cause de l'échelle, alors que l'échelle ne sert que pour une longueur mesurée à la règle sur le dessin.
Question 12 : Une plaque de 100 mm de long porte deux trous Ø 20, alignés dans le sens de la longueur. Le centre de chaque trou est à 15 mm du bord le plus proche. Quelle distance sépare les bords des deux trous ?
Réponse : C. Entre les deux centres : $100 - 15 - 15 = 70$ mm. Chaque trou empiète d'un rayon, $20 \div 2 = 10$ mm, sur cet écart : $70 - 10 - 10 = 50$ mm. Le piège B retire deux diamètres entiers, alors que seule une moitié de chaque trou se trouve entre les centres.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparant au CAP, annexe publiée au Bulletin officiel de l'Éducation nationale, module « Résolution d'un problème relevant de la proportionnalité » : texte du programme sur éduscol.
Norme NF EN ISO 5455 (octobre 1994), « Dessins techniques : échelles », AFNOR : fiche de la norme.