L'essentiel à connaître
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$. Dans un repère orthonormé (deux axes perpendiculaires, gradués avec la même unité), si $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$. Par exemple, avec $\vec{u}(1\,;\,5)$ et $\vec{v}(2\,;\,-1)$, on trouve $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times 2 + 5\times(-1) = -3$.
Sans coordonnées, trois autres chemins mènent au même nombre : l'angle entre les vecteurs, un projeté orthogonal (le pied de la perpendiculaire menée d'un point à une droite) ou les normes. La norme $\|\vec{u}\|$ est la longueur du vecteur $\vec{u}$.
Formules : en repère orthonormé, $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Avec l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs, compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\theta)$.
Avec $H$, projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AH$ si $\overrightarrow{AH}$ a le même sens que $\overrightarrow{AB}$, et $-AB\times AH$ sinon.
Avec les normes : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
Pour deux vecteurs non nuls, le signe renseigne sur l'angle : le produit scalaire est positif si l'angle est inférieur à $90^\circ$, nul s'il vaut $90^\circ$, négatif au-delà. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur). Ne confonds pas avec le critère de colinéarité, $xy' - yx' = 0$.
Pour calculer, le produit scalaire se manipule presque comme un produit de nombres : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$ (symétrie), $(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})$ pour tout réel $k$, et $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$. Ces deux dernières règles forment la bilinéarité : on développe comme avec des nombres. Surtout, $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$, le carré de la longueur.
Propriété : dans un triangle $ABC$, $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\times AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$. C'est la formule d'Al-Kashi : avec un angle droit en $A$, on retrouve Pythagore. Et pour deux points distincts $A$ et $B$, les points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$ forment le cercle de diamètre $[AB]$ (ressource eduscol).
Piège classique : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ n'est pas $AB\times AC$, il manque le cosinus. Pour lire l'angle entre deux vecteurs, fais-les partir du même point. Et on ne simplifie pas par un vecteur : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot\vec{w}$ n'entraîne pas $\vec{v} = \vec{w}$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses : ce sont des erreurs classiques de copie.
Question 1 : Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$. Que donne le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ ?
Réponse : B. On multiplie les coordonnées deux à deux, puis on additionne : $xx' + yy'$ est un seul nombre, qui peut être négatif. Le piège C le confond avec une norme, qui, elle, n'est jamais négative.
Question 2 : Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(4\,;\,5)$. Combien vaut $\vec{u}\cdot\vec{v}$ ?
Réponse : D. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 4 + (-2)\times 5 = 12 - 10 = 2$. Le piège B fait le calcul croisé $3\times 5 - (-2)\times 4 = 23$ : c'est le calcul du critère de colinéarité, pas le produit scalaire.
Question 3 : Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur $\vec{u}(3\,;\,-4)$ ?
Réponse : A. $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Le piège B s'arrête à $25$ : c'est $\|\vec{u}\|^2$, c'est-à-dire $\vec{u}\cdot\vec{u}$, pas la norme.
Question 4 : $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $60^\circ$. Combien vaut $\vec{u}\cdot\vec{v}$ ?
Réponse : C. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 4\times\cos(60^\circ) = 12\times 0{,}5 = 6$. Le $-11{,}4$ sort d'une calculatrice réglée en radians : elle a pris le cosinus de $60$ radians au lieu de $60$ degrés.
Question 5 : Dans un repère orthonormé, pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(2\,;\,m)$ et $\vec{v}(3\,;\,-6)$ sont-ils orthogonaux ?
Réponse : C. Il faut $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$, soit $2\times 3 + m\times(-6) = 6 - 6m = 0$, donc $m = 1$. Le piège A applique le critère de colinéarité, $2\times(-6) - 3m = 0$ : $m = -4$ rend les vecteurs colinéaires, pas orthogonaux.
Question 6 : $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $\vec{u}\cdot\vec{v} = -5$. Quelle est la mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
Réponse : B. $\cos(\theta) = -5\div(2\times 5) = -0{,}5$, et l'angle entre $0^\circ$ et $180^\circ$ qui a ce cosinus mesure $120^\circ$. Le piège A oublie le signe : un produit scalaire négatif annonce un angle de plus de $90^\circ$.
Question 7 : $ABC$ est un triangle et $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. $H$ appartient au segment $[AB]$, avec $AB = 5$ et $AH = 2$. Combien vaut $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ ?
Réponse : A. $\overrightarrow{AH}$ a le même sens que $\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AH = 5\times 2 = 10$. Le piège C utilise $HB = 3$ : la projection se mesure toujours depuis $A$, l'origine commune des deux vecteurs.
Question 8 : On sait que $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3$ et $\|\vec{u}\| = 2$. Combien vaut $\vec{u}\cdot(\vec{u} + 2\vec{v})$ ?
Réponse : D. On développe : $\vec{u}\cdot\vec{u} + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|^2 + 2\times 3 = 4 + 6 = 10$. Le piège A remplace $\vec{u}\cdot\vec{u}$ par $\|\vec{u}\| = 2$ : il faut le carré de la norme, $4$.
Question 9 : $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 2$ et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1$. Combien vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?
Réponse : C. $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 9 + 2 + 4 = 15$. Le piège B calcule $(3 + 2)^2$, comme si $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ valait $\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$ : c'est faux dès que les vecteurs ne sont pas colinéaires de même sens.
Question 10 : Dans un triangle $ABC$, $AB = 5$ cm, $AC = 8$ cm et l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $60^\circ$. Combien mesure $BC$ ?
Réponse : A. Par la formule d'Al-Kashi, $BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2\times 5\times 8\times\cos(60^\circ) = 89 - 40 = 49$, donc $BC = 7$ cm. Le piège B applique Pythagore, qui ne vaut que dans un triangle rectangle en $A$.
Question 11 : $A$ et $B$ sont deux points distincts. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$ ?
Réponse : D. $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$ signifie que $M$ est en $A$, en $B$, ou que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ : c'est le cercle de diamètre $[AB]$. Le piège A confond avec $MA = MB$, l'égalité de longueurs qui définit la médiatrice.
Question 12 : Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(1\,;\,1)$ et $\vec{v}(0\,;\,2)$. Quelle est la mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
Réponse : B. $\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times 0 + 1\times 2 = 2$, $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$ et $\|\vec{v}\| = 2$, donc $\cos(\theta) = 2\div(2\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : l'angle mesure $45^\circ$. Le piège A prend $\|\vec{u}\| = 2$ en oubliant la racine carrée, d'où un cosinus de $0{,}5$.
Question 13 : $ABCD$ est un carré de côté $4$. Combien vaut $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ ?
Réponse : D. Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AB = 16$. Le piège B multiplie les longueurs, $4\times 4\sqrt{2}$, sans le cosinus : avec $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, on retrouve bien $16$.
Question 14 : $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $2$. Combien vaut $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$ ?
Réponse : A. Les deux vecteurs ne partent pas du même point : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = -(2\times 2\times\cos(60^\circ)) = -2$. Le piège B prend l'angle du triangle, $60^\circ$, alors que l'angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ mesure $120^\circ$.
Question 15 : $\vec{u}$ est un vecteur non nul et $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot\vec{w}$. Que peux-tu en conclure ?
Réponse : C. Par bilinéarité, $\vec{u}\cdot\vec{v} - \vec{u}\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot(\vec{v} - \vec{w}) = 0$, donc $\vec{v} - \vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$. Le piège D « simplifie par $\vec{u}$ » comme avec des nombres : dans un repère orthonormé, avec $\vec{u}(1\,;\,0)$, $\vec{v}(1\,;\,1)$ et $\vec{w}(1\,;\,-5)$, les deux produits valent $1$, et pourtant $\vec{v}\neq\vec{w}$.
Sources
Eduscol, ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse, « Géométrie pour tous et partout : le produit scalaire », ressource pour l'enseignement de spécialité de mathématiques de première, octobre 2020 : document PDF.