L'essentiel à connaître
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur l'intervalle ouvert ]0 ; +∞[. Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout réel x strictement positif, exp(ln(x)) = x, et pour tout réel x, ln(exp(x)) = x. Graphiquement, sa courbe représentative est le symétrique de celle de l'exponentielle par rapport à la droite d'équation y = x. C'est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition, ce qui est crucial pour résoudre des inéquations.
L'une des forces majeures de la fonction ln réside dans ses propriétés algébriques qui transforment les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits. Par exemple, ln(a*b) = ln(a) + ln(b). Ces propriétés facilitent grandement la simplification d'expressions complexes et le calcul de dérivées. Concernant les limites, retiens que ln(x) tend vers -∞ quand x tend vers 0, et vers +∞ quand x tend vers +∞. La croissance comparée nous indique aussi que ln(x) est "dépassée" par x en l'infini.
Définition : La fonction logarithme népérien est l'unique primitive de la fonction x ↦ 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1 (ln(1) = 0).
À retenir : Le logarithme népérien n'est défini que pour des valeurs strictement positives. Avant de résoudre une équation de type ln(u(x)) = v, vérifie toujours que u(x) > 0.
Les points clés
Pour dériver une fonction composée du type f(x) = ln(u(x)), la formule est f'(x) = u'(x) / u(x). Ce résultat est fondamental pour l'étude des variations de fonctions logarithmiques. Un piège fréquent consiste à oublier d'appliquer la chaîne de dérivation et de simplement écrire 1/u(x), ce qui est faux. De plus, la dérivée de ln(x) est 1/x, ce qui confirme que la fonction ln est strictement croissante puisque 1/x est positif sur ]0 ; +∞[.
Les équations et inéquations impliquant ln demandent une rigueur particulière. Puisque la fonction est strictement croissante, ln(a) = ln(b) équivaut à a = b, et ln(a) < ln(b) équivaut à a < b, sous réserve que a et b soient strictement positifs. Pense aussi au nombre e, la base du logarithme, tel que ln(e) = 1. Ce nombre intervient souvent dans la simplification des résultats finaux.
Formule : ln(a^n) = n * ln(a) pour tout a > 0 et tout entier n.
Piège classique : Ne confonds pas ln(a+b) avec ln(a)+ln(b). Il n'existe aucune formule de simplification directe pour le logarithme d'une somme !
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Question 1 : Quel est l'ensemble de définition de la fonction f(x) = ln(x) ?
Réponse : C. La fonction ln n'est définie que pour des nombres strictement positifs. Elle n'existe pas pour 0 (limite vers -∞) ni pour les nombres négatifs. L'option B est fausse car elle inclut zéro.
Question 2 : Que vaut ln(1) ?
Réponse : A. Par définition, ln(1) = 0 car exp(0) = 1. C'est un point de passage obligatoire de la courbe représentative sur l'axe des abscisses. L'option B correspond à ln(e).
Question 3 : Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x) sur ]0 ; +∞[ ?
Réponse : B. La dérivée de ln(x) est 1/x. Puisque x > 0, cette dérivée est toujours positive, ce qui explique pourquoi la fonction ln est strictement croissante. L'option C est la dérivée de 1/x.
Question 4 : Simplifie l'expression ln(a²) + ln(1/a) pour a > 0.
Réponse : D. En utilisant les propriétés : ln(a²) = 2ln(a) et ln(1/a) = -ln(a). Ainsi, 2ln(a) - ln(a) = ln(a). L'option A est fausse car on additionne les log, on ne multiplie pas les arguments.
Question 5 : Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 par valeurs supérieures ?
Réponse : B. Quand x s'approche de 0, la courbe du logarithme descend indéfiniment le long de l'axe des ordonnées. On dit que l'axe des ordonnées est une asymptote verticale.
Question 6 : Résous l'équation ln(x) = 2.
Réponse : C. Pour "annuler" le ln, on applique la fonction exponentielle des deux côtés : exp(ln(x)) = exp(2), donc x = e². L'option B est une erreur fréquente de confusion entre les fonctions.
Question 7 : Quelle est la dérivée de f(x) = ln(3x² + 1) ?
Réponse : A. On utilise la formule u'/u avec u(x) = 3x² + 1. La dérivée u'(x) est 6x. On obtient donc f'(x) = 6x / (3x² + 1). L'option B oublie la dérivée de la fonction intérieure.
Question 8 : Que peut-on dire de ln(a) + ln(b) ?
Réponse : D. C'est la propriété fondamentale du logarithme : il transforme le produit en somme. L'option A est le piège le plus classique à éviter absolument.
Question 9 : Quelle est la limite de ln(x)/x quand x tend vers +∞ ?
Réponse : B. Il s'agit d'une croissance comparée. En l'infini, la fonction x croît beaucoup plus vite que la fonction ln(x), donc le quotient tend vers 0.
Question 10 : Soit f(x) = ln(x). Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 ?
Réponse : C. La formule est y = f'(1)(x - 1) + f(1). Ici f'(1) = 1/1 = 1 et f(1) = 0. Donc y = 1(x - 1) + 0, soit y = x - 1.
Question 11 : Si ln(x) < 0, alors x appartient à quel intervalle ?
Réponse : A. Le logarithme est négatif pour les valeurs comprises entre 0 et 1 (exclu). En 1 il vaut 0, et au-delà de 1 il est positif. L'option B est impossible car ln n'est pas défini.
Question 12 : Quelle est la primitive de la fonction f(x) = 1/(x+2) sur ]-2 ; +∞[ ?
Réponse : D. La forme u'/u a pour primitive ln(u). Ici u(x) = x+2 et u'(x) = 1, ce qui correspond exactement à la fonction donnée. L'option A est une dérivée.
Question 13 : Combien l'équation (ln(x))² - 3ln(x) + 2 = 0 possède-t-elle de solutions ?
Réponse : B. On pose X = ln(x). L'équation devient X² - 3X + 2 = 0. Les racines sont X=1 et X=2. En revenant à x, on a ln(x)=1 (x=e) et ln(x)=2 (x=e²). Il y a donc deux solutions.
Question 14 : Quelle est la valeur exacte de ln(√e) ?
Réponse : C. On sait que √e = e^(1/2). Selon la propriété ln(a^n) = n*ln(a), on a ln(e^(1/2)) = (1/2)ln(e) = 1/2 1 = 0,5.
Question 15 : Quel est le signe de f(x) = x - ln(x) sur ]0 ; +∞[ ?
Réponse : A. En étudiant la fonction g(x) = x - ln(x), sa dérivée est 1 - 1/x = (x-1)/x. Elle atteint un minimum en x=1 valant g(1) = 1 - 0 = 1. Le minimum étant positif, la fonction est toujours positive.
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