Pour placer une étoile dans le diagramme de Hertzsprung-Russell (H-R), il te faut deux nombres : sa température de surface, que tu lis dans son spectre, et sa luminosité, que tu tires de son éclat et de sa distance. La loi de Stefan-Boltzmann, $L = 4\pi R^2 \sigma T^4$, relie ces deux nombres au rayon de l'étoile. Avec les valeurs nominales du Soleil fixées par l'Union astronomique internationale (UAI) en 2015, $T = 5\,772$ K et $R = 6{,}957 \times 10^{8}$ m, elle donne $L \approx 3{,}83 \times 10^{26}$ W.
Luminosité, flux et magnitudes
La luminosité $L$ d'une étoile est la puissance totale qu'elle rayonne, en watts. Elle ne dépend que de l'étoile. Ton télescope, lui, mesure le flux $F$ (on dit aussi l'éclat), c'est-à-dire la puissance reçue par mètre carré. À la distance $d$, la puissance $L$ s'étale sur une sphère de surface $4\pi d^2$ :
$$F = \frac{L}{4\pi d^2}$$
À distance double, le flux est divisé par 4.
Les astronomes parlent en magnitudes, une échelle logarithmique : 5 magnitudes d'écart, c'est un facteur 100 en flux. La magnitude apparente $m$ mesure le flux reçu. La magnitude absolue $M$ est celle qu'aurait l'étoile placée à 10 parsecs (pc, l'unité de distance des astronomes) : elle mesure la luminosité.
Formule : $$m_1 - m_2 = -2{,}5\log_{10}\frac{F_1}{F_2}$$ $$m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\ \text{pc}}$$
La seconde vient de la première. Ramener l'étoile de la distance $d$ à 10 pc multiplie son flux par $\left(\dfrac{d}{10\ \text{pc}}\right)^2$, et $-2{,}5\log_{10}$ de ce facteur donne $M - m = -5\log_{10}\dfrac{d}{10\ \text{pc}}$.
Piège classique : l'échelle est à l'envers. Plus une étoile est brillante, plus sa magnitude est petite, et elle peut même être négative. Et une étoile brillante dans le ciel n'est pas forcément lumineuse : elle est peut-être juste proche. Pour comparer des luminosités, compare des magnitudes absolues.
Ce que dit le spectre
Fais passer la lumière d'une étoile dans un prisme ou un réseau : tu obtiens un fond continu barré de raies sombres, les raies d'absorption.
Le fond continu ressemble à celui d'un corps noir, un objet idéal dont le rayonnement ne dépend que de sa température. Plus il est chaud, plus le maximum de son spectre glisse vers les courtes longueurs d'onde : c'est la loi de Wien. Une étoile n'est pas un corps noir parfait, alors Wien donne une estimation de sa température.
Formule : $$\lambda_{\max}\,T = b \quad \text{avec} \quad b \approx 2{,}898 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$$
$\lambda_{\max}$ en mètres, $T$ en kelvins. Pour le Soleil : $\lambda_{\max} = \dfrac{2{,}898 \times 10^{-3}}{5\,772} \approx 5{,}02 \times 10^{-7}$ m, soit 502 nm.
Les raies naissent dans les couches externes de l'étoile, plus froides que la surface qui émet le fond continu. Un atome n'y absorbe que les photons dont l'énergie égale l'écart entre deux de ses niveaux, $\Delta E = \dfrac{hc}{\lambda}$ : la position des raies signe donc les éléments présents.
On range les spectres en types O, B, A, F, G, K et M, du plus chaud au plus froid, chaque type étant découpé de 0 à 9. Un chiffre romain ajoute la classe de luminosité : V pour la séquence principale, III pour les géantes, I pour les supergéantes. Le Soleil est une étoile G2 V. Le tableau reprend le manuel « Astronomy 2e » d'OpenStax (2022).
| Type | Température approchée (K) | Raies marquantes |
|---|---|---|
| O | plus de 30 000 | hélium neutre et ionisé, hydrogène faible |
| B | 10 000 à 30 000 | hélium neutre, hydrogène fort |
| A | 7 500 à 10 000 | hydrogène au plus fort |
| F | 6 000 à 7 500 | hydrogène fort, calcium ionisé |
| G | 5 200 à 6 000 | hydrogène plus faible, calcium ionisé, métaux |
| K | 3 700 à 5 200 | hydrogène très faible, métaux neutres |
| M | 2 400 à 3 700 | métaux neutres, bandes de l'oxyde de titane |
Piège classique : des raies d'hydrogène faibles ne veulent pas dire peu d'hydrogène, de loin l'élément le plus abondant dans la plupart des étoiles. Les raies visibles de l'hydrogène sont absorbées par des atomes dont l'électron est déjà sur le deuxième niveau. Trop froid, presque tous restent sur le premier ; trop chaud, l'hydrogène est ionisé. D'où un maximum vers 10 000 K : l'intensité des raies dit d'abord la température.
La loi de Stefan-Boltzmann
Un corps noir de température $T$ émet par mètre carré la puissance $\sigma T^4$, où $\sigma \approx 5{,}670 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$ est la constante de Stefan-Boltzmann (valeur CODATA 2022). Une étoile de rayon $R$ a une surface $4\pi R^2$ : le produit des deux donne sa luminosité.
Formule : $$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$$ $$\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4$$
La seconde forme, c'est la première divisée par la même loi écrite pour le Soleil : $4\pi$ et $\sigma$ disparaissent. Travaille en rapports dès que tu peux, tu éviteras les erreurs de puissances de 10. Une étoile de même rayon que le Soleil mais deux fois plus chaude est ainsi $2^4 = 16$ fois plus lumineuse.
Le $T$ de cette loi est la température effective : celle du corps noir de même rayon qui rayonnerait la même luminosité. C'est elle qu'on porte dans le diagramme H-R.
Lire le diagramme H-R
En abscisse, la température effective, ou le type spectral qui la traduit. Elle croît vers la gauche : les étoiles chaudes sont à gauche. En ordonnée, la luminosité $L/L_\odot$ en échelle logarithmique, ou la magnitude absolue, qui diminue vers le haut.
Les étoiles ne s'y placent pas au hasard. La plupart tombent sur une bande diagonale, la séquence principale, celle des étoiles qui fusionnent l'hydrogène de leur cœur en hélium. Une étoile typique y passe environ 90 % de sa vie, d'où la foule. Sur cette bande, c'est la masse qui fixe la place : en haut à gauche les étoiles massives, chaudes et lumineuses, en bas à droite les petites, froides et pâles.
Stefan-Boltzmann explique le reste. En haut à droite, des étoiles froides et pourtant très lumineuses : pour rayonner autant en étant si peu chaudes, elles doivent être immenses. Ce sont les géantes et les supergéantes, qui ont épuisé l'hydrogène de leur cœur. En bas à gauche, des étoiles chaudes mais pâles, donc minuscules : les naines blanches, des restes d'étoiles à peu près de la taille de la Terre.
Règle : en passant au logarithme, $\log L = 2\log R + 4\log T + \text{constante}$. Dans un diagramme en $\log T$ et $\log L$, les étoiles de même rayon s'alignent donc sur des droites qui montent vers la gauche, et plus une étoile est haut et à droite, plus son rayon est grand.
Le diagramme date aussi les amas. Leurs étoiles sont nées ensemble, et les plus massives quittent la séquence principale les premières. Plus le point où les étoiles de l'amas quittent la séquence est bas, plus l'amas est vieux.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche sur ta feuille avant d'ouvrir chaque correction.
Exercice 1 : Le fond continu du spectre d'une étoile culmine à $\lambda_{\max} = 350$ nm. Estime sa température, puis son type spectral avec le tableau. Est-elle à gauche ou à droite du Soleil dans le diagramme H-R ? Données : $b = 2{,}898 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$ et $T_\odot = 5\,772$ K.
Correction :
Loi de Wien : $T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2{,}898 \times 10^{-3}}{350 \times 10^{-9}} \approx 8{,}28 \times 10^{3}$ K, soit environ $8\,300$ K.
Cette température tombe entre 7 500 et 10 000 K : type A, celui des raies d'hydrogène les plus fortes. Plus chaude que le Soleil, l'étoile se place à sa gauche.
Exercice 2 : Au-dessus de l'atmosphère, la Terre reçoit du Soleil un flux $F = 1\,361\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$, et le Soleil rayonne $L_\odot = 3{,}828 \times 10^{26}$ W (valeurs nominales de l'UAI, 2015). Retrouve la distance Terre-Soleil. Quel flux recevrait une sonde placée cinq fois plus loin ?
Correction :
De $F = \dfrac{L_\odot}{4\pi d^2}$, on tire $d = \sqrt{\dfrac{L_\odot}{4\pi F}} = \sqrt{\dfrac{3{,}828 \times 10^{26}}{4\pi \times 1\,361}} \approx 1{,}496 \times 10^{11}$ m, soit environ 150 millions de kilomètres.
Cinq fois plus loin, la même puissance s'étale sur une sphère $5^2 = 25$ fois plus grande : $F' = \dfrac{1\,361}{25} \approx 54\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$.
Exercice 3 : (données fictives) L'étoile A a une température effective de $3\,600$ K et une luminosité de $1{,}0 \times 10^{5}\,L_\odot$. L'étoile B a une température effective de $10\,000$ K et une luminosité de $1{,}0 \times 10^{-3}\,L_\odot$. Calcule leurs rayons en rayons solaires, puis situe-les dans le diagramme H-R. Données : $T_\odot = 5\,772$ K et $R_\odot = 6{,}957 \times 10^{5}$ km.
Correction :
On isole le rayon dans la forme en rapports : $\dfrac{R}{R_\odot} = \sqrt{\dfrac{L}{L_\odot}} \times \left(\dfrac{T_\odot}{T}\right)^2$.
Étoile A : $\sqrt{1{,}0 \times 10^{5}} \times \left(\dfrac{5\,772}{3\,600}\right)^2 \approx 316 \times 2{,}57 \approx 8{,}1 \times 10^{2}$. Son rayon vaut environ 810 rayons solaires. Froide et très lumineuse, elle est en haut à droite : c'est une supergéante rouge.
Étoile B : $\sqrt{1{,}0 \times 10^{-3}} \times \left(\dfrac{5\,772}{10\,000}\right)^2 \approx 0{,}0316 \times 0{,}333 \approx 1{,}05 \times 10^{-2}$, soit $1{,}05 \times 10^{-2} \times 6{,}957 \times 10^{5} \approx 7{,}3 \times 10^{3}$ km. Chaude et très peu lumineuse, elle est en bas à gauche : c'est une naine blanche, à peu près de la taille de la Terre.
Exercice 4 : (données fictives) L'étoile A a une magnitude apparente $m_A = 1{,}0$ et se trouve à $5{,}0$ pc. L'étoile B a une magnitude apparente $m_B = 6{,}0$ et se trouve à $500$ pc. Laquelle paraît la plus brillante dans le ciel, et combien de fois plus ? Laquelle est la plus lumineuse, et combien de fois plus ?
Correction :
Dans le ciel, c'est A, qui a la plus petite magnitude. Avec 5 magnitudes d'écart, A paraît 100 fois plus brillante que B.
Pour la luminosité, on passe aux magnitudes absolues avec $M = m - 5\log_{10}\dfrac{d}{10\ \text{pc}}$ : $M_A = 1{,}0 - 5\log_{10}(0{,}5) \approx 1{,}0 + 1{,}5 = 2{,}5$ et $M_B = 6{,}0 - 5\log_{10}(50) \approx 6{,}0 - 8{,}5 = -2{,}5$.
Cette fois, c'est B qui a la plus petite magnitude : B est 100 fois plus lumineuse que A. Elle paraît pâle parce qu'elle est 100 fois plus loin.
Contrôle avec les flux, puisque $L = 4\pi d^2 F$ : $\dfrac{L_B}{L_A} = \dfrac{F_B}{F_A} \times \left(\dfrac{d_B}{d_A}\right)^2 = \dfrac{1}{100} \times 100^2 = 100$.
À retenir
À retenir :
- La luminosité $L$ appartient à l'étoile ; le flux reçu $F = \dfrac{L}{4\pi d^2}$ dépend de la distance.
- Magnitudes : plus petit veut dire plus brillant, 5 d'écart font un facteur 100, et $m - M = 5\log_{10}\dfrac{d}{10\ \text{pc}}$.
- Le spectre donne la température : par la loi de Wien $\lambda_{\max}\,T = b$, et par les raies, rangées en types O, B, A, F, G, K, M du plus chaud au plus froid.
- $L = 4\pi R^2 \sigma T^4$ : froide et lumineuse veut dire énorme, chaude et pâle veut dire minuscule.
- Diagramme H-R : chaudes à gauche, lumineuses en haut, séquence principale en diagonale, géantes en haut à droite, naines blanches en bas à gauche.
Sources
- Union astronomique internationale, résolution B3 de 2015 sur les valeurs nominales du Soleil (luminosité, rayon, température effective, flux reçu à la distance de la Terre) : texte de la résolution sur arXiv.
- NIST, valeurs CODATA 2022 des constantes de Stefan-Boltzmann et de Wien.
- OpenStax, « Astronomy 2e » (2022), chapitres 17, 18 et 22 : classes spectrales, diagramme H-R, amas d'étoiles. Manuel en ligne.