L'essentiel à connaître
Pour traduire un programme de calcul, appelle $x$ le nombre de départ et applique chaque instruction au résultat de la précédente, dans l'ordre. « Choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par 2 » donne d'abord $x + 3$, puis $2(x + 3)$. Sans parenthèses, $2x + 3$ ne multiplierait que $x$.
Un programme de calcul est une suite d'instructions qui transforme un nombre de départ en un résultat. Son expression littérale, c'est-à-dire le calcul écrit avec la lettre $x$, permet de le tester sur n'importe quel nombre : tu remplaces $x$ par ce nombre. Un nombre négatif s'écrit alors entre parenthèses : avec $x = -3$, $x^2$ devient $(-3)^2 = 9$, alors que $-3^2 = -9$.
À retenir : Le double de $x$ s'écrit $2x$, son triple $3x$, son carré $x^2 = x \times x$ et sa moitié $\frac{x}{2}$.
Développer, c'est supprimer les parenthèses en distribuant la multiplication ; réduire, c'est regrouper ce qui va ensemble, les $x$ avec les $x$ et les nombres avec les nombres, comme dans $3x + 3x = 6x$. Deux programmes donnent toujours le même résultat quand leurs expressions développées et réduites sont identiques. Quelques essais ne suffisent pas à le prouver. En revanche, un seul nombre qui donne deux résultats différents, appelé contre-exemple, prouve que les programmes ne font pas la même chose.
Formule : $k(a + b) = ka + kb$ et, par double distributivité, $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de tout ce qu'elle contient : $-(a - b) = -a + b$.
Piège classique : Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés. $(a + b)^2$ s'écrit $(a + b)(a + b)$, puis se développe par double distributivité.
Pour retrouver le nombre de départ, remonte le programme depuis la fin avec les opérations inverses : soustraire au lieu d'ajouter, diviser au lieu de multiplier. Tu peux aussi résoudre l'équation, c'est-à-dire l'égalité où $x$ est l'inconnue. Avec un carré, pense qu'un nombre et son opposé ont le même carré : $3^2$ et $(-3)^2$ valent tous les deux $9$. Ces outils, double distributivité et équations du type $x^2 = a$ comprises, figurent dans le programme de mathématiques du cycle 4 publié au BO du 30 juillet 2020.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Programme : « choisir un nombre, le multiplier par 3, puis ajouter 5 ». Quel résultat obtiens-tu en partant de 2 ?
Réponse : C. On suit l'ordre : $2 \times 3 = 6$, puis $6 + 5 = 11$. Le piège $21$ vient des étapes inversées : ajouter 5 avant de multiplier donne $(2 + 5) \times 3 = 21$.
Question 2 : Quelle expression traduit « choisir un nombre $x$, ajouter 4, puis multiplier le résultat par 2 » ?
Réponse : B. « Le résultat », c'est $x + 4$ en entier : il faut des parenthèses, d'où $2(x + 4)$. Le piège $2x + 4$ ne multiplie que $x$ par 2, alors que le 4 doit l'être aussi.
Question 3 : Quelle expression traduit « choisir un nombre $x$, l'élever au carré, puis ajouter le triple du nombre de départ » ?
Réponse : D. Le carré de $x$ s'écrit $x^2$ et son triple $3x$ : on les additionne. Le piège $x^2 + 3$ ajoute le nombre 3 au lieu du triple de $x$.
Question 4 : Programme : « choisir un nombre, le multiplier par 4, puis ajouter 8 ». On obtient 20. Quel était le nombre de départ ?
Réponse : A. On remonte depuis la fin avec les opérations inverses : $20 - 8 = 12$, puis $12 \div 4 = 3$. Vérification : $3 \times 4 + 8 = 20$. Le piège $-3$ vient du mauvais ordre : diviser par 4 avant de retirer 8 donne $5 - 8 = -3$.
Question 5 : Un programme de calcul a pour expression $(x + 2)^2 - 4$. Quel résultat donne-t-il pour $x = 3$ ?
Réponse : D. On calcule la parenthèse, puis son carré : $(3 + 2)^2 - 4 = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$. Le piège $9$ vient de $3^2 + 2^2 - 4$ : on ne peut pas élever au carré chaque nombre de la parenthèse séparément.
Question 6 : Programme : « choisir un nombre, l'élever au carré, puis soustraire 5 ». Quel résultat obtiens-tu en partant de $-3$ ?
Réponse : B. $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$, car le produit de deux nombres négatifs est positif. Ensuite, $9 - 5 = 4$. Le piège $-14$ vient de l'écriture $-3^2$ sans parenthèses, qui vaut $-9$.
Question 7 : Programme : « choisir un nombre $x$, soustraire 3, multiplier le résultat par 2, puis ajouter 6 ». Quelle est son expression réduite ?
Réponse : A. L'expression est $2(x - 3) + 6 = 2x - 6 + 6 = 2x$ : ce programme double simplement le nombre de départ. Le piège $2x + 3$ oublie que le 2 multiplie aussi le $-3$.
Question 8 : Quelle expression traduit « choisir un nombre $x$, l'élever au carré, puis prendre la moitié du résultat » ?
Réponse : C. On calcule d'abord $x^2$, puis on divise ce résultat par 2. Le piège $\left(\frac{x}{2}\right)^2$ fait les étapes dans l'autre ordre : avec $x = 4$, il donne $4$ au lieu de $8$.
Question 9 : Programme : « choisir un nombre, le multiplier par 0,5, puis ajouter 10 ». On obtient 15. Quel était le nombre de départ ?
Réponse : B. On remonte : $15 - 10 = 5$, puis $5 \div 0{,}5 = 10$, car diviser par $0{,}5$ revient à multiplier par 2. Le piège $2{,}5$ vient de $5 \times 0{,}5$ : l'opération inverse de « multiplier par 0,5 » est « diviser par 0,5 ».
Question 10 : Programme A : « multiplier par 3, puis ajouter 5 ». Programme B : « ajouter 11 ». Pour quel nombre de départ donnent-ils le même résultat ?
Réponse : D. On résout $3x + 5 = x + 11$ : en retirant $x$ des deux côtés, $2x + 5 = 11$, puis $2x = 6$ et $x = 3$. Vérification : $3 \times 3 + 5 = 14$ et $3 + 11 = 14$. Le piège $8$ vient de $2x = 11 + 5$ : le 5 doit être retiré des deux côtés, pas ajouté.
Question 11 : Quel programme donne toujours le même résultat que « choisir un nombre, ajouter 2, puis multiplier par 5 » ?
Réponse : C. Le programme s'écrit $5(x + 2)$, et la distributivité donne $5x + 10$ pour tout nombre $x$. Le piège A, $5x + 2$, oublie que le 5 multiplie aussi le 2.
Question 12 : Programme : « choisir un nombre $x$, calculer son double, puis soustraire $x - 4$ à ce double ». Quelle est son expression réduite ?
Réponse : A. L'expression est $2x - (x - 4)$. Le signe $-$ devant la parenthèse change le signe de tout ce qu'elle contient : $2x - x + 4 = x + 4$. Le piège $x - 4$ change le signe de $x$ mais oublie celui du $-4$.
Question 13 : Programme : « choisir un nombre $x$, ajouter 3, puis élever le résultat au carré ». Quelle expression lui est égale pour tout nombre $x$ ?
Réponse : D. Par double distributivité, $(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$. Le piège $x^2 + 9$ oublie les deux produits du milieu : avec $x = 1$, le programme donne $16$, pas $10$.
Question 14 : Programme A : « choisir un nombre, le multiplier par lui-même ». Programme B : « choisir un nombre, le multiplier par 2 ». Avec 0 puis avec 2, ils donnent le même résultat. Que peux-tu conclure ?
Réponse : B. Deux essais qui tombent juste ne prouvent rien. Avec 3, A donne $3 \times 3 = 9$ et B donne $3 \times 2 = 6$ : ce seul contre-exemple suffit. Le piège A tire une règle générale de seulement deux exemples.
Question 15 : Programme : « choisir un nombre, l'élever au carré, puis ajouter 1 ». On obtient 10. Quel était le nombre de départ ?
Réponse : A. On remonte : $10 - 1 = 9$, et il faut un nombre dont le carré vaut $9$. Le nombre $3$ convient, mais $-3$ aussi, car $(-3)^2 = 9$. Le piège « $3$ seulement » oublie ce nombre négatif, qui donne lui aussi $10$ à la fin.
Sources
Programme de mathématiques du cycle 4, d'après le BO n° 31 du 30 juillet 2020, partie « Utiliser le calcul littéral » : texte sur eduscol.
Arrêté du 18 février 2026 fixant de nouveaux programmes de mathématiques du cycle 4, appliqués à la rentrée 2026 en 5e, 2027 en 4e et 2028 en 3e : texte sur Légifrance.