L'essentiel à connaître
Un programme de calcul est une suite d'instructions mathématiques à appliquer à un nombre de départ. Ces exercices sont très fréquents au Brevet car ils testent à la fois tes capacités de calcul mental et tes compétences en algèbre. La première étape consiste souvent à tester le programme avec des nombres entiers ou des fractions pour comprendre son fonctionnement. C'est une phase d'exploration indispensable.
La véritable maîtrise arrive quand on remplace le nombre de départ par une variable, généralement $x$. L'objectif est alors d'écrire une expression littérale qui résume tout le programme. Il faut être très attentif à l'ordre des opérations : si on dit "ajouter 3 puis multiplier par 2", cela s'écrit $2(x+3)$ et non $2x+3$. Les parenthèses jouent un rôle de chef d'orchestre dans la traduction de l'énoncé.
Définition : Un programme de calcul est un algorithme simple qui transforme un nombre d'entrée en un nombre de sortie via une série d'étapes.
À retenir : Pour prouver que deux programmes sont identiques, il faut impérativement développer et réduire leurs expressions littérales respectives.
Les points clés
Traduire un énoncé demande de connaître le vocabulaire spécifique : "le carré" signifie élever à la puissance 2, "le double" signifie multiplier par 2, "la différence" indiqu'une soustraction. Souvent, la dernière question d'un exercice demande de trouver le nombre de départ pour obtenir un résultat précis. Cela revient à résoudre une équation ou à effectuer le programme "à l'envers" en inversant chaque opération.
Fais attention aux priorités opératoires lors de la rédaction de ton expression. Si une étape dit "multiplier le résultat par.", tout ce qui a été fait avant doit être mis entre parenthèses. N'oublie pas non plus de simplifier ton expression finale : un programme qui semble complexe au départ peut parfois se résumer à une fonction très simple comme "multiplier par 5".
Formule : "Choisir $x$, ajouter $a$, multiplier par $b$" se traduit par $b(x+a)$.
Piège classique : Confondre "le carré du produit" et "le produit des carrés". L'ordre des mots dans l'énoncé dicte la place des parenthèses.
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Programme : Choisir un nombre, multiplier par 3, ajouter 5. Quel est le résultat pour 2 ?
Réponse : B. On suit les étapes : $2 \times 3 = 6$, puis $6 + 5 = 11$. L'expression serait $3x + 5$.
Question 2 : Quelle expression correspond à : "Choisir $x$, ajouter 4, multiplier le tout par 2" ?
Réponse : C. "Le tout" indique l'addition doit être effectuée avant la multiplication, on utilise donc des parenthèses. $2(x+4)$ est la forme correcte.
Question 3 : Programme : Choisir un nombre, soustraire 10, multiplier par 5. Pour quel nombre de départ obtient-on 0 ?
Réponse : A. On remonte le programme : $0 \div 5 = 0$, puis $0 + 10 = 10$. Si on part de 10, on fait $10-10=0$ et $0 \times 5 = 0$.
Question 4 : Traduis : "Choisir un nombre, élever au carré, ajouter le triple du nombre de départ".
Réponse : D. "Élever au carré" donne $x^2$. "Le triple du nombre" donne $3x$. On additionne les deux : $x^2 + 3x$.
Question 5 : Si le programme est $P(x) = (x+2)^2 - 4$, quel est le résultat pour $x = 3$ ?
Réponse : B. On remplace $x$ par 3 : $(3+2)^2 - 4 = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$.
Question 6 : Développe l'expression $2(x-3) + 6$.
Réponse : A. $2(x-3) + 6 = 2x - 6 + 6 = 2x$. Le programme revient donc simplement à doubler le nombre de départ.
Question 7 : Programme A : $5x+10$. Programme B : $5(x+2)$. Ces programmes sont-ils identiques ?
Réponse : C. En développant le programme B : $5 \times x + 5 \times 2 = 5x + 10$. Les deux expressions sont égales pour n'importe quelle valeur de $x$.
Question 8 : Quel est le résultat de $x^2 - 5$ si le nombre choisi est $-3$ ?
Réponse : B. $(-3)^2 = 9$ (un carré est toujours positif). Puis $9 - 5 = 4$. Attention au signe lors du calcul du carré d'un nombre négatif.
Question 9 : "Multiplier un nombre par lui-même puis soustraire 9" correspond à :
Réponse : D. Multiplier un nombre par lui-même revient à l'élever au carré ($x \times x = x^2$). On retire ensuite 9.
Question 10 : On veut obtenir 20 avec le programme "Multiplier par 4, ajouter 8". Quel nombre faut-il choisir ?
Réponse : A. On inverse les étapes : $(20 - 8) \div 4 = 12 \div 4 = 3$. Vérification : $3 \times 4 = 12$, $12 + 8 = 20$.
Question 11 : Traduis : "Prendre le carré de la somme de $x$ et de 3".
Réponse : C. "La somme de $x$ et de 3" est $(x+3)$. On prend ensuite le carré de ce bloc, donc $(x+3)^2$.
Question 12 : Programme : Choisir $x$, multiplier par 0,5, ajouter 10. Si le résultat est 15, $x$ vaut :
Réponse : B. Inversement : $15 - 10 = 5$. Puis $5 \div 0,5 = 10$. Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2.
Question 13 : Quel programme donne toujours un résultat positif (pour n'importe quel $x$) ?
Réponse : A. Un carré est toujours positif ou nul ($x^2 \ge 0$). Si on ajoute 1, le résultat sera toujours au moins égal à 1, donc positif.
Question 14 : Traduis "la moitié du carré d'un nombre".
Réponse : D. On prend d'abord le carré ($x^2$), puis on en prend la moitié (division par 2). L'option A serait "le carré de la moitié".
Question 15 : Si $P(x) = x^2 - x$, quel est le résultat pour $x = 1$ ?
Réponse : C. $1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Le nombre 1 est appelé une "racine" de cette expression car il l'annule.
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