Pour diagonaliser une matrice carrée $A$ de taille $n$, tu cherches ses valeurs propres, puis une base de chaque sous-espace propre, et tu comptes les vecteurs obtenus : s'il y en a $n$, tu les ranges en colonnes dans une matrice $P$ et tu obtiens $A = PDP^{-1}$, avec $D$ diagonale. Exemple : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $4$ et $-1$, de vecteurs propres $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, donc $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
Le cours est supposé connu : ici, on travaille la méthode et l'entraînement.
La méthode en quatre étapes
On part d'une seule définition : $\lambda$ est une valeur propre de $A$ s'il existe une colonne $X$ non nulle, appelée vecteur propre, telle que $AX = \lambda X$. Le reste se joue dans cet ordre.
Étape 1 : Calcule le polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$ et factorise-le. Le programme de MP et MPI le veut unitaire, de terme de plus haut degré $\lambda^n$ : d'où $\lambda I_n - A$ plutôt que $A - \lambda I_n$, qui a les mêmes racines. En taille 2, va plus vite : $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\,\lambda + \det(A)$, où la trace $\operatorname{tr}(A)$ est la somme des coefficients diagonaux.
Étape 2 : Lis les valeurs propres, racines de $\chi_A$, avec leur multiplicité, c'est-à-dire le nombre de fois où chacune est racine. Dans $(\lambda - 1)^2(\lambda - 2)$, la valeur propre $1$ est double et $2$ est simple.
Étape 3 : Pour chaque valeur propre $\lambda$, résous $(A - \lambda I_n)X = 0$ et donne une base du sous-espace propre $E_\lambda = \ker(A - \lambda I_n)$. Sa dimension se lit avec le théorème du rang : $\dim E_\lambda = n - \operatorname{rg}(A - \lambda I_n)$.
Étape 4 : Additionne les dimensions des sous-espaces propres. Si la somme vaut $n$, $A$ est diagonalisable et les bases réunies forment une base de vecteurs propres. Sinon, elle ne l'est pas.
Pourquoi ce compte suffit : les sous-espaces propres sont toujours en somme directe. La réunion de leurs bases est donc une famille libre, et il lui faut $n$ vecteurs pour être une base de $\mathbb{K}^n$.
Propriété : pour toute valeur propre $\lambda$ de multiplicité $m$, $1 \leqslant \dim E_\lambda \leqslant m$. Et $A$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_A$ est scindé, c'est-à-dire produit de facteurs de degré 1, et $\dim E_\lambda = m$ pour chaque valeur propre.
Conséquence : une valeur propre simple a toujours un sous-espace propre de dimension 1, sans calcul. Seules les valeurs propres multiples demandent un calcul de rang.
Conseil : en taille 3, développe $\det(\lambda I_3 - A)$ selon la ligne ou la colonne qui a le plus de zéros, ou fais-en apparaître par une opération sur les lignes ou les colonnes. Le but : faire sortir tout de suite un facteur du premier degré, au lieu de chercher les racines d'un polynôme de degré 3. Puis contrôle : quand $\chi_A$ est scindé, la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité vaut $\operatorname{tr}(A)$ et leur produit vaut $\det(A)$.
Les tests qui tranchent en une ligne
Avant tout calcul de noyau, regarde la matrice : ces situations tranchent tout de suite, avec une justification courte à écrire sur ta copie.
| Ce que tu vois | Conclusion | Justification |
|---|---|---|
| $n$ valeurs propres distinctes | diagonalisable | $n$ sous-espaces propres, chacun de dimension au moins 1 : la somme des dimensions atteint $n$ |
| une seule valeur propre $\lambda$ et $A \neq \lambda I_n$ | pas diagonalisable | sinon $A = P(\lambda I_n)P^{-1} = \lambda I_n$ |
| $\chi_A$ a une racine non réelle | pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ | deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, et celui d'une matrice diagonale réelle est scindé sur $\mathbb{R}$ |
| $A$ symétrique réelle | diagonalisable, avec $P$ orthogonale | théorème spectral |
| une valeur propre multiple avec $\dim E_\lambda$ plus petit que sa multiplicité | pas diagonalisable | la propriété vue plus haut |
En MP et MPI, le programme ajoute un critère : $A$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme $Q$ scindé à racines simples tel que $Q(A) = 0$ (on dit que $Q$ annule $A$). Par exemple, si $A^2 = I_n$, le polynôme $(X - 1)(X + 1)$ convient, et $A$ est diagonalisable sans calculer une seule valeur propre.
Piège classique : « $\chi_A$ est scindé, donc $A$ est diagonalisable » est faux. Être scindé est nécessaire, pas suffisant : il faut encore $\dim E_\lambda = m$ pour chaque valeur propre multiple. L'erreur inverse existe aussi : des valeurs propres distinctes suffisent mais ne sont pas nécessaires, puisque $I_n$, déjà diagonale, n'a qu'une valeur propre.
Construire la matrice de passage
Range les vecteurs propres en colonnes dans $P$, dans l'ordre que tu veux, et place les valeurs propres sur la diagonale de $D$ dans le même ordre. La raison tient en une ligne : si $X_j$ est la colonne $j$ de $P$, la colonne $j$ de $AP$ est $AX_j = \lambda_j X_j$, c'est-à-dire la colonne $j$ de $PD$. Donc $AP = PD$, et comme les colonnes de $P$ forment une base, $P$ est inversible et $A = PDP^{-1}$.
Cette égalité $AP = PD$ est aussi ton meilleur contrôle : deux produits de matrices, sans calculer $P^{-1}$. Et $P$ n'est pas unique : change l'ordre des colonnes ou multiplie un vecteur propre par un nombre non nul, tu obtiens une autre réponse juste, tant que $D$ suit le même ordre.
Piège classique : ranger les vecteurs propres en lignes, ou écrire $D = PAP^{-1}$. Ne retiens que $AP = PD$ : multiplie à droite par $P^{-1}$ pour obtenir $A = PDP^{-1}$, ou à gauche pour obtenir $D = P^{-1}AP$.
Le gain vient ensuite : pour tout entier $k \geqslant 0$, $A^k = PD^kP^{-1}$, car les produits $P^{-1}P$ du milieu se simplifient, et $D^k$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $k$. C'est ce qui permet d'étudier une suite définie par $X_{k+1} = AX_k$, comme dans l'exercice 4.
Exercices corrigés
Le même programme le précise : dans les exercices pratiques de diagonalisation, on se limite aux tailles $n = 2$ et $n = 3$. Les quatre exercices vont du plus direct au niveau d'un devoir.
Exercice 1 : Diagonalise $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$ : donne $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$.
Correction :
En taille 2 : $\operatorname{tr}(A) = 3$ et $\det(A) = -10 + 12 = 2$, donc $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)$. Deux valeurs propres distinctes en taille 2 : $A$ est diagonalisable.
Pour $\lambda = 1$ : $A - I_2 = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$ donne $2x - y = 0$, d'où le vecteur propre $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Pour $\lambda = 2$ : $A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$ donne $3x - 2y = 0$, d'où $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
Donc $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Contrôle : $AP = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = PD$.
Exercice 2 : Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Montre que $A$ est diagonalisable, puis donne $P$ et $D$.
Correction :
La troisième colonne de $\lambda I_3 - A$ n'a qu'un coefficient non nul, $\lambda - 1$. En développant selon cette colonne :
$$\chi_A(\lambda) = (\lambda - 1)\begin{vmatrix} \lambda - 3 & 1 \\ -2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) = (\lambda - 1)^2(\lambda - 2).$$
Contrôle : $1 + 1 + 2 = 4 = \operatorname{tr}(A)$. La valeur propre $2$ est simple, donc $\dim E_2 = 1$ sans calcul. Pour la valeur propre double $1$, les trois lignes de $A - I_3 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ sont égales : son rang vaut 1, donc $\dim E_1 = 3 - 1 = 2$, sa multiplicité. $A$ est diagonalisable.
$E_1$ est le plan d'équation $2x - y = 0$, de base $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Pour $E_2$, le système $(A - 2I_3)X = 0$ donne $x - y = 0$ et $2x - y - z = 0$, donc $y = z = x$ et le vecteur propre $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
D'où $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Exercice 3 : Soit $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Un camarade affirme : « $\chi_B$ est scindé sur $\mathbb{R}$, donc $B$ est diagonalisable. » Calcule $\chi_B$ et dis s'il a raison.
Correction :
En développant selon la troisième ligne : $\chi_B(\lambda) = (\lambda - 2)\big[(\lambda - 3)(\lambda - 1) + 1\big] = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = (\lambda - 2)^3$.
Le polynôme est bien scindé, mais le raisonnement est faux : scindé ne suffit pas. Ici $2$ est la seule valeur propre. Si $B$ était diagonalisable, on aurait $B = P(2I_3)P^{-1} = 2I_3$, ce qui est faux. $B$ n'est donc pas diagonalisable.
Le calcul le confirme : $B - 2I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ est de rang 1, donc $\dim E_2 = 2$, moins que la multiplicité 3.
Exercice 4 : (données fictives) Deux villes $V$ et $W$ échangent des habitants. Chaque année, 10 % des habitants de $V$ partent s'installer à $W$, 20 % de ceux de $W$ partent à $V$, et personne d'autre n'arrive ni ne part. L'année 0, $V$ compte 30 000 habitants et $W$ 60 000. On note $v_k$ et $w_k$ les populations de $V$ et $W$ l'année $k$, et $X_k = \begin{pmatrix} v_k \\ w_k \end{pmatrix}$.
Écris la matrice $M$ telle que $X_{k+1} = MX_k$, diagonalise-la, puis exprime $v_k$ en fonction de $k$ et donne sa limite.
Correction :
Restent à $V$ 90 % de ses habitants, plus 20 % de ceux de $W$ : $v_{k+1} = 0{,}9\,v_k + 0{,}2\,w_k$. De même $w_{k+1} = 0{,}1\,v_k + 0{,}8\,w_k$, donc $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$.
$\operatorname{tr}(M) = 1{,}7$ et $\det(M) = 0{,}72 - 0{,}02 = 0{,}7$, donc $\chi_M(\lambda) = \lambda^2 - 1{,}7\lambda + 0{,}7 = (\lambda - 1)(\lambda - 0{,}7)$ : deux valeurs propres distinctes, $M$ est diagonalisable. $E_1$ est dirigé par $U = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (équation $-x + 2y = 0$) et $E_{0{,}7}$ par $U' = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (équation $x + y = 0$), d'où $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0{,}7 \end{pmatrix}$.
Pas besoin de $P^{-1}$ : décompose $X_0$ sur ces vecteurs propres. $X_0 = \alpha U + \beta U'$ donne $2\alpha + \beta = 30\,000$ et $\alpha - \beta = 60\,000$, soit $\alpha = 30\,000$ et $\beta = -30\,000$. Comme $X_k = M^kX_0$, $M^kU = U$ et $M^kU' = 0{,}7^k\,U'$, on obtient $X_k = 30\,000\,U - 30\,000 \times 0{,}7^k\,U'$, et en lisant la première coordonnée :
$$v_k = 60\,000 - 30\,000 \times 0{,}7^k.$$
Comme $0 \lt 0{,}7 \lt 1$, $0{,}7^k$ tend vers 0 : la population de $V$ tend vers 60 000 habitants, celle de $W$ vers 30 000. Contrôle pour $k = 1$ : $0{,}9 \times 30\,000 + 0{,}2 \times 60\,000 = 39\,000 = 60\,000 - 21\,000$.
À retenir
À retenir :
- L'ordre : $\chi_A$ factorisé, valeurs propres et multiplicités, bases des $E_\lambda$, somme des dimensions comparée à $n$.
- Une valeur propre simple donne toujours $\dim E_\lambda = 1$ : seules les multiples se vérifient.
- $n$ valeurs propres distinctes, ou $A$ symétrique réelle : diagonalisable sans calcul.
- Une seule valeur propre $\lambda$ et $A \neq \lambda I_n$ : pas diagonalisable.
- Vecteurs propres en colonnes de $P$, valeurs propres dans le même ordre sur $D$, contrôle par $AP = PD$.
- $A^k = PD^kP^{-1}$, ou plus vite, la décomposition de $X_0$ sur les vecteurs propres.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MP et MPI, annexe 1 de l'arrêté du 13 juillet 2021 (Bulletin officiel n° 31 du 26 août 2021), applicable depuis la rentrée 2022, partie « Réduction des endomorphismes et des matrices carrées » : texte sur education.gouv.fr.