Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, tu fais disparaître l'une des inconnues en cinq étapes : isoler, remplacer, résoudre, calculer l'autre, vérifier. Avec $x + y = 10$ et $x - y = 4$, tu isoles $x = 10 - y$, tu remplaces dans la seconde équation, $10 - y - y = 4$, soit $10 - 2y = 4$, d'où $y = 3$, puis $x = 10 - 3 = 7$. Vérification : $7 + 3 = 10$ et $7 - 3 = 4$.
Tout repose sur un savoir-faire que tu as déjà : résoudre une équation du premier degré à une inconnue, comme $3x + 5 = 11$.
Ce que veut dire « résoudre un système »
L'équation $x + y = 10$ a deux inconnues et une infinité de solutions : $1$ et $9$, ou $12$ et $-2$, par exemple. Une seule équation ne suffit donc pas pour trouver deux nombres. Il en faut une deuxième, qui donne une autre information sur les mêmes nombres.
On écrit alors les deux équations l'une sous l'autre, réunies par une accolade. C'est un système :
$$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$$
Définition : une solution d'un système de deux équations à deux inconnues est un couple $(x\,;y)$ qui vérifie les deux équations en même temps. Un couple, c'est deux nombres dans un ordre fixé : d'abord $x$, ensuite $y$.
Ici, la solution est $(7\,;3)$. Le couple $(8\,;2)$ vérifie la première équation, mais pas la seconde, puisque $8 - 2 = 6$ : ce n'est pas une solution.
Toutes les méthodes reposent sur la même idée : faire disparaître une inconnue, pour retomber sur une équation à une seule inconnue, que tu sais résoudre.
Les 5 étapes de la substitution
Substituer, c'est remplacer. Prenons une situation : au cinéma, 2 places adulte et 3 places enfant coûtent 41 €, et une place adulte plus une place enfant coûtent 17 €. On appelle $x$ le prix d'une place adulte et $y$ celui d'une place enfant, en euros :
$$\begin{cases} 2x + 3y = 41 \\ x + y = 17 \end{cases}$$
Étape 1 : isoler une inconnue. Choisis-en une dont le coefficient, le nombre écrit devant la lettre, vaut $1$ ou $-1$. Dans $x + y = 17$, les deux coefficients valent $1$, même si on ne les écrit pas : $x = 17 - y$.
Étape 2 : remplacer. Dans l'autre équation, écris $17 - y$ à la place de $x$, entre parenthèses : $2(17 - y) + 3y = 41$. Il ne reste plus que $y$.
Étape 3 : résoudre cette équation. On développe : $34 - 2y + 3y = 41$, donc $34 + y = 41$ et $y = 7$.
Étape 4 : calculer l'autre inconnue avec l'expression de l'étape 1 : $x = 17 - 7 = 10$.
Étape 5 : vérifier dans les deux équations de départ, puis conclure. On a $2 \times 10 + 3 \times 7 = 20 + 21 = 41$ et $10 + 7 = 17$. La solution est le couple $(10\,;7)$ : une place adulte coûte 10 €, une place enfant 7 €.
Pourquoi a-t-on le droit de remplacer ? Parce que $x$ et $17 - y$ sont le même nombre. Écrire l'un ou l'autre ne change pas l'égalité, mais $17 - y$ ne contient plus que la lettre $y$.
L'étape 5 compte vraiment. L'équation qui t'a servi à isoler $x$ sera vérifiée même si ton $y$ est faux, puisque $x$ a été calculé à partir d'elle. C'est l'autre équation qui repère l'erreur : ne saute jamais sa vérification.
Piège classique : oublier les parenthèses à l'étape 2. Écrire $2 \times 17 - y$ au lieu de $2(17 - y)$, c'est ne multiplier que le $17$. On obtient $34 - y + 3y = 41$, puis $y = 3{,}5$, et la vérification échoue. Dès que tu remplaces une lettre par une expression de plusieurs termes, mets des parenthèses.
Quand rien ne s'isole : la combinaison
Dans le système suivant, aucune inconnue n'a le coefficient $1$ ou $-1$. Isoler $x$ ou $y$ ferait apparaître des fractions :
$$\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 5x - 4y = 7 \end{cases}$$
La méthode par combinaison remplace alors les étapes 1 et 2. L'idée : rendre opposés les coefficients d'une même inconnue, comme $4$ et $-4$ devant $y$, puis additionner les deux équations pour que cette inconnue s'annule. Elle repose sur deux règles qui portent sur les membres d'une équation, c'est-à-dire ce qui est écrit de chaque côté du signe $=$.
Règles : multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre non nul donne une équation qui a les mêmes solutions. Et si deux égalités sont vraies, la somme de leurs membres de gauche est égale à la somme de leurs membres de droite.
Multiplie la première équation par $2$ : elle devient $6x + 4y = 26$. Les coefficients de $y$ sont maintenant $4$ et $-4$. Additionne membre à membre :
$$(6x + 4y) + (5x - 4y) = 26 + 7$$
Les $y$ s'annulent et tu retrouves l'étape 3 : $11x = 33$, donc $x = 3$. Étape 4 : dans $3x + 2y = 13$, on obtient $9 + 2y = 13$, donc $y = 2$. Étape 5 : $3 \times 3 + 2 \times 2 = 13$ et $5 \times 3 - 4 \times 2 = 15 - 8 = 7$. La solution est $(3\,;2)$.
Conseil : regarde les coefficients avant de choisir. Une inconnue a le coefficient $1$ ou $-1$ : substitution. Sinon, combinaison, avec le plus petit multiplicateur qui rend deux coefficients opposés. Bien menées, les deux méthodes donnent la même solution.
Ce que montre le graphique
Dans $x + y = 10$, isole $y$ : $y = 10 - x$. Tu reconnais une fonction affine, et sa représentation graphique est une droite. Chaque point de cette droite a des coordonnées qui vérifient l'équation. De même, $x - y = 4$ s'écrit $y = x - 4$ : une autre droite.
Une solution du système vérifie les deux équations à la fois : c'est un point situé sur les deux droites, donc leur point d'intersection. Ici, elles se coupent au point de coordonnées $(7\,;3)$. Sur un graphique, on ne lit souvent qu'une valeur approchée de ses coordonnées ; le calcul donne la valeur exacte, indispensable quand une inconnue vaut par exemple $\dfrac{13}{11}$.
Ce point de vue explique deux cas plus rares. Deux droites parallèles et distinctes ne se coupent jamais : le système n'a pas de solution. Si les deux équations décrivent la même droite, comme $x + y = 10$ et $2x + 2y = 20$, tous ses points conviennent : il y a une infinité de solutions. Dans le calcul, tu le repères quand les deux inconnues disparaissent ensemble : il reste une égalité fausse, comme $10 = 7$, ou toujours vraie, comme $20 = 20$.
Tu retrouveras cette lecture en Seconde générale et technologique : le programme de mathématiques demande de « déterminer le point d'intersection de deux droites sécantes données par leur équation réduite ». Sécantes veut dire qui se coupent, et une équation réduite comme $y = 2x + 1$ a déjà $y$ isolé : l'étape 1 est faite d'avance.
Exercices corrigés
Du plus direct au plus proche d'un contrôle. Cherche chaque exercice sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Résous le système suivant.
$$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 14 \end{cases}$$
Correction :
Ici $y$ est déjà isolé : l'étape 1 est faite. On remplace dans la seconde équation : $3x + (2x - 1) = 14$, donc $5x - 1 = 14$, puis $5x = 15$ et $x = 3$.
Ensuite $y = 2 \times 3 - 1 = 5$. Vérification : $3 \times 3 + 5 = 14$ et $2 \times 3 - 1 = 5$. La solution est le couple $(3\,;5)$.
Exercice 2 : Résous le système suivant.
$$\begin{cases} 3x + 4y = 2 \\ 5x - 2y = 12 \end{cases}$$
Correction :
Aucun coefficient ne vaut $1$ ou $-1$ : on combine. On multiplie la seconde équation par $2$ : $10x - 4y = 24$. Les coefficients de $y$ sont opposés, on additionne : $13x = 26$, donc $x = 2$.
Dans la première équation : $3 \times 2 + 4y = 2$, donc $4y = -4$ et $y = -1$. Vérification : $3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2$ et $5 \times 2 - 2 \times (-1) = 10 + 2 = 12$. La solution est $(2\,;-1)$.
Exercice 3 : Une tirelire contient 30 pièces, uniquement des pièces de 2 € et de 50 centimes, pour un total de 33 €. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?
Correction :
Soit $x$ le nombre de pièces de 2 € et $y$ celui de pièces de 50 centimes, qui valent 0,50 € chacune. Le nombre de pièces et la somme donnent :
$$\begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 0{,}5y = 33 \end{cases}$$
Étape 1 : $y = 30 - x$. Étape 2 : $2x + 0{,}5(30 - x) = 33$. Étape 3 : $2x + 15 - 0{,}5x = 33$, donc $1{,}5x = 18$ et $x = 12$. Étape 4 : $y = 30 - 12 = 18$.
Étape 5 : $12 + 18 = 30$ et $2 \times 12 + 0{,}5 \times 18 = 24 + 9 = 33$. La tirelire contient 12 pièces de 2 € et 18 pièces de 50 centimes.
Exercice 4 : Résous le système suivant.
$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 7 \end{cases}$$
Correction :
Étape 1 : $y = 5 - 2x$. Étape 2 : $4x + 2(5 - 2x) = 7$, soit $4x + 10 - 4x = 7$, donc $10 = 7$.
Les $x$ ont disparu et il reste une égalité fausse. Ce n'est pas une erreur de calcul : le système n'a aucune solution. La première équation multipliée par $2$ donne $4x + 2y = 10$, et le même nombre $4x + 2y$ ne peut pas valoir à la fois $10$ et $7$.
Sur un graphique, $y = 5 - 2x$ et $y = 3{,}5 - 2x$ sont deux droites parallèles, avec le même coefficient $-2$ devant $x$. Le piège, c'est de chercher une faute qui n'existe pas, ou d'inventer une valeur de $x$ pour conclure.
À retenir
À retenir :
- La solution d'un système est un couple $(x\,;y)$ qui vérifie les deux équations à la fois.
- Les 5 étapes : isoler une inconnue, la remplacer entre parenthèses, résoudre, calculer l'autre, vérifier dans les deux équations.
- Sans coefficient $1$ ou $-1$, la combinaison : multiplier pour rendre deux coefficients opposés, puis additionner.
- La solution correspond au point d'intersection des deux droites.
- Si les deux inconnues disparaissent ensemble : égalité fausse, aucune solution ; égalité toujours vraie, une infinité.
Sources
- Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, Bulletin officiel du 2 avril 2026, applicable à la rentrée 2026, partie « Droites du plan » : texte sur education.gouv.fr.