Un objet quantique, photon ou électron, se propage comme une onde et se détecte comme une particule : il arrive toujours entier, en un point, et son onde fixe seulement la probabilité de le trouver à chaque endroit. Envoie des électrons un par un vers deux fentes : chacun laisse un seul impact sur l'écran, et ce n'est qu'après des milliers d'impacts que des franges d'interférence se dessinent.
Le reste en découle, et aucune équation n'est à résoudre ici : trois relations d'une ligne (Planck-Einstein, de Broglie, Heisenberg) suffisent pour estimer quand le quantique compte.
Se propager comme une onde, arriver comme une particule
Des billes classiques passeraient chacune par une fente, et l'écran montrerait deux taches. On observe autre chose : des bandes chargées d'impacts, séparées de bandes presque vides. C'est la figure d'interférence d'une onde qui traverse les deux fentes à la fois.
Chaque impact, pris seul, est imprévisible ; la théorie prédit leur répartition. On décrit la particule par une fonction d'onde, et le carré de son module donne la probabilité de la détecter en chaque point. C'est l'interprétation probabiliste.
Ferme une fente, ou installe un détecteur qui révèle par quelle fente passe chaque particule : les franges d'interférence disparaissent. Avec deux fentes ouvertes, la figure n'est donc pas la somme des figures de chaque fente seule, ce qu'une bille qui ne « voit » que sa fente ne peut pas produire.
Piège classique : croire que les franges viennent de particules qui se gênent entre elles. Elles se forment aussi quand les particules passent une à une, très espacées : chaque particule interfère avec elle-même.
Le photon : la lumière cède son énergie par paquets
Éclaire une plaque de métal : elle libère des électrons seulement si la fréquence de la lumière dépasse un seuil. C'est l'effet photoélectrique. Sous le seuil, rien ne sort, même avec une lampe très puissante ; au-dessus, des électrons sortent tout de suite, même sous un éclairage faible.
Une onde classique, même de basse fréquence, finirait par apporter assez d'énergie en éclairant assez longtemps. L'explication : la lumière cède son énergie par grains, les photons, dont l'énergie est fixée par la fréquence $\nu$. Sous un éclairage ordinaire, un électron ne cumule pas l'énergie de plusieurs photons.
Formule : relation de Planck-Einstein, $E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$, où la constante de Planck vaut exactement $h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}$ J·s depuis la révision du Système international adoptée en 2018 (BIPM).
Un photon de lumière visible apporte quelques électronvolts (eV), l'unité d'énergie de l'échelle atomique : $1\,\text{eV} \approx 1{,}602 \times 10^{-19}$ J.
Piège classique : plus de puissance, c'est plus de photons, pas des photons plus énergétiques. Pour franchir un seuil, change la longueur d'onde (exercice 1).
La matière aussi a une longueur d'onde
La matière a elle aussi un côté onde. À une particule de quantité de mouvement $p = mv$ (tant que sa vitesse reste petite devant celle de la lumière), on associe une longueur d'onde, dite de de Broglie.
Formule : $\lambda = \dfrac{h}{p}$. Plus la particule est lourde ou rapide, plus sa longueur d'onde est courte.
La preuve vient de la diffraction, l'étalement d'une onde qui rencontre des obstacles de la taille de sa longueur d'onde. Un faisceau d'électrons envoyé sur un cristal donne une figure de diffraction : les rangées d'atomes, espacées de quelques dixièmes de nanomètre, jouent le rôle des fentes.
D'où le critère : l'aspect ondulatoire se voit quand $\lambda$ est du même ordre de grandeur que la taille de ce que la particule rencontre (une fente, un atome), ou plus grande. Comme $h$ est minuscule, seuls des objets à l'échelle des atomes ou des molécules le montrent : un électron dans un atome, oui ; une balle de tennis, jamais (exercice 2).
Heisenberg : position nette, quantité de mouvement floue
Fais passer des particules par une fente de largeur $a$ : leur position latérale est alors connue à $a$ près. Mais l'onde diffracte et les particules repartent dans des directions variées. Plus la fente est étroite, plus la position est nette, et plus les directions s'étalent.
La diffraction étale les directions d'un angle $\theta \approx \dfrac{\lambda}{a}$, donc la quantité de mouvement latérale de $\Delta p_x \approx p\,\theta = \dfrac{p\lambda}{a}$.
Avec $\lambda = \dfrac{h}{p}$, il reste $\Delta p_x \approx \dfrac{h}{a}$.
Comme $\Delta x \approx a$, on obtient $\Delta x\,\Delta p_x \approx h$, quelle que soit la largeur de la fente.
Propriété : inégalité de Heisenberg spatiale, en ordre de grandeur, $\Delta x\,\Delta p_x \gtrsim \hbar$, avec $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$. Tu la verras aussi écrite avec $\dfrac{\hbar}{2}$ : pour une estimation, ça ne change rien.
Piège classique : ce n'est pas un défaut des appareils. Une onde très localisée mélange forcément plusieurs longueurs d'onde, donc plusieurs quantités de mouvement. C'est une propriété des ondes, qu'aucun instrument plus précis ne contourne.
Confiner, c'est quantifier
Enferme une particule entre deux murs infranchissables. Son onde doit s'annuler sur les murs, comme une corde de guitare fixée à ses deux bouts : seules tiennent les ondes qui logent un nombre entier de demi-longueurs d'onde entre les murs.
Chaque longueur d'onde permise donne, par $p = h/\lambda$, une quantité de mouvement, donc une énergie. L'énergie ne prend que des valeurs séparées, les niveaux : elle est quantifiée. Sans confinement, une particule libre peut avoir n'importe quelle énergie.
Le niveau le plus bas n'est pas nul : même l'onde la plus longue, une seule demi-longueur d'onde entre les murs, correspond à une énergie cinétique non nulle. Une particule confinée n'est jamais au repos, ce que l'inégalité de Heisenberg annonçait déjà.
Dans un atome, c'est l'attraction du noyau qui confine l'électron. Ses énergies sont donc quantifiées, et quand il descend à un niveau plus bas, il émet un photon dont l'énergie est l'écart entre les deux niveaux. D'où les raies séparées du spectre d'une lampe à vapeur atomique, au lieu d'un arc-en-ciel continu.
Exercices corrigés
Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Une plaque de métal ne libère un électron que si chaque photon reçu apporte au moins 4,3 eV (valeur fictive). On l'éclaire avec une lampe rouge très puissante, de longueur d'onde 650 nm, puis avec une petite lampe ultraviolette de 250 nm. Laquelle libère des électrons ? Données : $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J·s, $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s, $1\,\text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}$ J.
Correction :
Un photon apporte $E = \dfrac{hc}{\lambda}$, avec $hc = 1{,}989 \times 10^{-25}$ J·m.
Lampe rouge : $E = \dfrac{1{,}989 \times 10^{-25}}{650 \times 10^{-9}} \approx 3{,}06 \times 10^{-19}$ J, soit environ 1,91 eV.
Lampe UV : $E = \dfrac{1{,}989 \times 10^{-25}}{250 \times 10^{-9}} \approx 7{,}96 \times 10^{-19}$ J, soit environ 4,97 eV.
Seule la lampe UV libère des électrons. La lampe rouge n'en libère aucun, quelle que soit sa puissance : chacun de ses photons n'apporte que 1,91 eV, sous le seuil de 4,3 eV.
Exercice 2 : Des électrons lancés à $5{,}0 \times 10^{6}$ m/s frappent un cristal dont les atomes sont espacés d'environ $2 \times 10^{-10}$ m. Une balle de 58 g lancée à 30 m/s passe par une porte de 0,90 m de large. Dans chaque cas, calcule la longueur d'onde de de Broglie et dis si l'on peut observer de la diffraction. Données : $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J·s, masse de l'électron $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg (valeur CODATA 2022 arrondie).
Correction :
Électron : $p = m_e v = 9{,}11 \times 10^{-31} \times 5{,}0 \times 10^{6} \approx 4{,}56 \times 10^{-24}$ kg·m/s, donc $\lambda = \dfrac{h}{p} \approx 1{,}5 \times 10^{-10}$ m. C'est l'ordre de grandeur de l'espacement des atomes : la diffraction se voit.
Balle : $p = 0{,}058 \times 30 = 1{,}74$ kg·m/s, donc $\lambda = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34}}{1{,}74} \approx 3{,}8 \times 10^{-34}$ m, plus de $10^{33}$ fois plus petite que la porte : aucune diffraction, la mécanique classique suffit.
Exercice 3 : Un électron est confiné dans un atome, sur $\Delta x \approx 1 \times 10^{-10}$ m. Estime l'ordre de grandeur de sa vitesse minimale. Compare avec une bille de 1,0 g enfermée dans une boîte de 1,0 cm. Données : $\hbar = 1{,}05 \times 10^{-34}$ J·s, $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg.
Correction :
D'après l'inégalité de Heisenberg, $\Delta p_x \gtrsim \dfrac{\hbar}{\Delta x} = \dfrac{1{,}05 \times 10^{-34}}{1 \times 10^{-10}} \approx 1 \times 10^{-24}$ kg·m/s. La quantité de mouvement ne peut pas rester nulle, et la vitesse atteint au moins l'ordre de $\dfrac{\Delta p_x}{m_e} = \dfrac{1{,}05 \times 10^{-24}}{9{,}11 \times 10^{-31}} \approx 1 \times 10^{6}$ m/s.
Un électron confiné dans un atome s'agite donc à environ mille kilomètres par seconde.
Bille : $\Delta p_x \gtrsim \dfrac{1{,}05 \times 10^{-34}}{1{,}0 \times 10^{-2}} \approx 1 \times 10^{-32}$ kg·m/s, et $v \sim \dfrac{1 \times 10^{-32}}{1{,}0 \times 10^{-3}} = 1 \times 10^{-29}$ m/s. Rien de mesurable : à notre échelle, l'effet disparaît.
Exercice 4 : Une particule est enfermée entre deux murs infranchissables. On divise par 2 la distance entre les murs. Un camarade affirme que l'énergie minimale de la particule est divisée par 2. A-t-il raison ?
Correction :
Au niveau le plus bas, une seule demi-longueur d'onde tient entre les murs : diviser la distance par 2 divise $\lambda$ par 2. Avec $p = \dfrac{h}{\lambda}$, la quantité de mouvement double.
Entre les murs, l'énergie est seulement cinétique, $E = \dfrac{p^2}{2m}$ : elle est multipliée par $2^2 = 4$.
Il a tort deux fois : resserrer le confinement augmente l'énergie, et elle varie comme l'inverse du carré de la distance.
À retenir
À retenir :
- Un objet quantique se propage comme une onde et se détecte comme une particule ; son onde donne la probabilité de le trouver en chaque point.
- Photon : $E = h\nu$. L'intensité règle le nombre de photons, pas leur énergie.
- Matière : $\lambda = \dfrac{h}{p}$. Le quantique compte quand $\lambda$ est comparable à la taille du système.
- Heisenberg : $\Delta x\,\Delta p_x \gtrsim \hbar$, une propriété des ondes, pas un défaut de mesure.
- Confinement : énergie quantifiée, jamais nulle ; entre deux murs, une distance divisée par 2 multiplie les énergies par 4.
Sources
- BIPM, les constantes qui définissent le Système international, dont $h$ et la charge élémentaire : bipm.org.
- NIST, valeur recommandée CODATA 2022 de la masse de l'électron : physics.nist.gov.