Oscillations Mécaniques : Pendule et Ressort

Introduction : Le Mouvement Perpétuel (ou Presque !)

Le monde qui nous entoure est en perpétuel mouvement. Des planètes qui orbitent aux molécules qui vibrent, les oscillations mécaniques sont omniprésentes. En physique, l'étude de ces mouvements répétitifs et périodiques est fondamentale. Elle nous permet de comprendre des phénomènes naturels, de concevoir des machines plus performantes et de développer de nouvelles technologies. En terminale, le chapitre sur les oscillations mécaniques, qu'il s'agisse d'un pendule ou d'un système masse-ressort, est un passage obligé pour réussir ton baccalauréat de physique-chimie.

Ces systèmes oscillants ont la particularité de revenir à leur position initiale après un certain temps, dans un mouvement qui se répète. Mais qu'est-ce qui régit leur comportement ? Comment prédire leur mouvement ? C'est là qu'interviennent des notions comme la période, la fréquence, l'amplitude et les forces mises en jeu. Pour t'aider à maîtriser ces concepts et à aborder sereinement les exercices de ton bac, nous t'avons préparé 8 exercices corrigés qui couvrent les aspects essentiels des oscillations mécaniques du pendule et du ressort.

Comprendre les Oscillations : Le Système Masse-Ressort

Le système masse-ressort est l'un des modèles plus simples et les plus importants pour étudier les oscillations mécaniques. Il est constitué d'une masse attachée à un ressort idéal, capable de se déplacer sans frottement sur une surface horizontale ou verticale.

Dans un ressort idéal, la force de rappel exercée par le ressort est proportionnelle à son élongation (déformation par rapport à sa position d'équilibre). C'est la loi de Hooke :

Où :

• $F_{ressort}$ est la force de rappel du ressort (en Newtons, N).
• $k$ est la constante de raideur du ressort (en Newtons par mètre, N/m). Elle caractérise la "force" du ressort.
• $\Delta x$ est l'élongation du ressort par rapport à sa position d'équilibre (en mètres, m). Le signe négatif indique la force s'oppose au déplacement.

Lorsque la masse est déplacée de sa position d'équilibre et lâchée, le ressort la ramène vers cette position. La masse oscille alors autour de la position d'équilibre.

Pour un système masse-ressort idéal (sans frottement), l'énergie mécanique (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique) est conservée.

La période d'oscillation ($T$) d'un système masse-ressort est donnée par :

Où :

• $m$ est la masse (en kilogrammes, kg).
• $k$ est la constante de raideur du ressort (en N/m).

La fréquence ($f$) est l'inverse de la période : $f = \frac{1}{T}$.

Exercice 1 : Mouvement d'une masse attachée à un ressort horizontal

Une masse de $m = 0,5$ kg est attachée à un ressort de constante de raideur $k = 200$ N/m. Le système est disposé horizontalement sur une table sans frottement. La masse est déplacée de $5$ cm par rapport à sa position d'équilibre et lâchée sans vitesse initiale.

Questions :

1. Quelle est la force de rappel maximale exercée par le ressort ?
2. Quelle est la période d'oscillation du système ?
3. Quelle est la fréquence d'oscillation ?
4. Écris l'expression de l'élongation $x(t)$ en fonction du temps.

Correction :

1. La force de rappel maximale est atteinte lors de l'élongation maximale ($ \Delta x_{max} = 5$ cm $= 0,05$ m). Elle vaut $F_{max} = k \Delta x_{max} = 200 \, \text{N/m} \times 0,05 \, \text{m} = 10$ N.

2. La période d'oscillation est $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,5 \, \text{kg}}{200 \, \text{N/m}}} = 2\pi \sqrt{0,0025} = 2\pi \times 0,05 = 0,1\pi$ s $\approx 0,314$ s.

3. La fréquence est $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,1\pi} = \frac{10}{\pi}$ Hz $\approx 3,18$ Hz.

4. L'élongation $x(t)$ d'un oscillateur harmonique, lorsqu'il est lâché sans vitesse initiale de son amplitude maximale, s'écrit sous la forme $x(t) = A \cos(\omega t)$, où $A$ est l'amplitude et $\omega$ est la pulsation.

L'amplitude $A = 5$ cm $= 0,05$ m. La pulsation est $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,1\pi} = 20$ rad/s.

Donc, $x(t) = 0,05 \cos(20t)$ (en mètres).

Exercice 2 : Système masse-ressort vertical

Une masse de $m = 200$ g est suspendue à un ressort vertical. L'ensemble est à l'équilibre. Lorsqu'on tire la masse de $4$ cm vers le bas et qu'on la lâche, elle effectue des oscillations verticales de période $T = 0,8$ s.

Questions :

1. Quelle est la constante de raideur $k$ du ressort ?
2. Quelle est l'amplitude des oscillations ?
3. Écris l'expression de la position $y(t)$ de la masse en fonction du temps, en choisissant l'origine des altitudes à la position d'équilibre.

Correction :

1. La période est donnée par $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$. On peut en déduire $k$. Il faut d'abord convertir la masse en kg : $m = 200$ g $= 0,2$ kg.

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{m}{k} \implies k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 \times 0,2 \, \text{kg}}{(0,8 \, \text{s})^2} = \frac{0,8\pi^2}{0,64} = \frac{10\pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{4}$ N/m $\approx 12,3$ N/m.

2. L'amplitude des oscillations est l'élongation maximale par rapport à la position d'équilibre. Ici, elle est de $A = 4$ cm $= 0,04$ m.

3. La masse est lâchée sans vitesse initiale depuis une position la plus basse ($y = -A$). La position $y(t)$ peut donc s'écrire sous la forme d'un cosinus : $y(t) = A \cos(\omega t)$.

La pulsation $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,8} = 2,5\pi$ rad/s.

Donc, $y(t) = 0,04 \cos(2,5\pi t)$ (en mètres).

Le Pendule Simple : Un Autre Modèle d'Oscillation

Le pendule simple est un modèle idéalisé constitué d'une masse ponctuelle (appelée lentille) suspendue par un fil inextensible et de masse négligeable à un point fixe.

Pour de petites oscillations (angle de déviation par rapport à la verticale inférieur à environ 15°), le pendule simple se comporte comme un oscillateur harmonique. La force qui ramène la lentille vers sa position d'équilibre est la composante du poids tangentielle.

Où :

• $L$ est la longueur du pendule (en mètres, m).
• $g$ est l'accélération de la pesanteur (environ $9,81$ m/s$^2$ à la surface de la Terre).

Note que la période d'un pendule simple idéal pour de petites oscillations ne dépend ni de la masse de la lentille, ni de l'amplitude initiale (tant que celle-ci reste petite).

Exercice 3 : Calcul de la période d'un pendule

Un étudiant réalise une expérience avec un pendule simple. Il mesure la longueur du fil à $L = 1,0$ m. Il observe que le pendule effectue 10 oscillations complètes en 20,3 s.

Questions :

1. Calcule la période d'oscillation du pendule à partir des observations.
2. Calcule la valeur de $g$ déduite de cette expérience.
3. Calcule la période d'oscillation du pendule si sa longueur était de $0,25$ m.

Correction :

1. La période est le temps pour une oscillation complète. Pour 10 oscillations, le temps total est de 20,3 s. Donc, $T = \frac{20,3 \, \text{s}}{10} = 2,03$ s.

2. On utilise la formule de la période : $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. On isole $g$ :

$T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g} \implies g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} = \frac{4\pi^2 \times 1,0 \, \text{m}}{(2,03 \, \text{s})^2} \approx \frac{39,48}{4,12} \approx 9,58$ m/s$^2$. (La valeur experiméntale est un peu différente de la valeur théorique $9,81$ m/s$^2$, ce qui est normal en pratique).

3. Si $L = 0,25$ m, la nouvelle période sera $T' = 2\pi \sqrt{\frac{0,25 \, \text{m}}{g}}$. En utilisant la valeur théorique de $g = 9,81$ m/s$^2$ pour plus de précision :

$T' = 2\pi \sqrt{\frac{0,25 \, \text{m}}{9,81 \, \text{m/s}^2}} = 2\pi \sqrt{0,0255} \approx 2\pi \times 0,159 \approx 0,999$ s $\approx 1$ s.

Exercice 4 : Amplitude et énergie d'un pendule

Un pendule simple de longueur $L = 1,5$ m et de masse $m = 100$ g est écarté d'un angle $\alpha_{max} = 10^\circ$ de sa position verticale. On suppose que les frottements sont négligeables.

Questions :

1. Quelle est l'amplitude angulaire des oscillations ?
2. Calcule l'amplitude linéaire du mouvement de la lentille (déplacement horizontal par rapport à la verticale).
3. Calcule l'énergie mécanique totale du pendule.

Correction :

1. L'amplitude angulaire est directement $\alpha_{max} = 10^\circ$. Pour les calculs de période, il faut s'assurer que cet angle reste petit.

2. L'amplitude linéaire $A$ est la distance horizontale parcourue par la lentille entre la position d'équilibre et la position maximale. Si $L$ est la longueur du fil, alors $A = L \sin(\alpha_{max})$.

Il faut convertir $\alpha_{max}$ en radians pour des calculs plus poussés, mais pour le sinus, le degré est souvent suffisant si l'angle est petit. $10^\circ = 10 \times \frac{\pi}{180} \approx 0,1745$ rad.

$A = 1,5 \, \text{m} \times \sin(10^\circ) \approx 1,5 \, \text{m} \times 0,1736 \approx 0,26$ m.

3. L'énergie mécanique est conservée. On peut la calculer au point le plus haut de la trajectoire, où la vitesse est nulle et l'énergie est purement potentielle.

La hauteur $h$ de la lentille par rapport à sa position la plus basse est $h = L(1 - \cos(\alpha_{max}))$.

$h = 1,5 \, \text{m} \times (1 - \cos(10^\circ)) \approx 1,5 \, \text{m} \times (1 - 0,9848) \approx 1,5 \, \text{m} \times 0,0152 \approx 0,0228$ m.

L'énergie mécanique $E_m = E_p + E_c$. Au point le plus haut, $E_c = 0$ et $E_p = mgh$.

$E_m = mgh = 0,1 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 0,0228 \, \text{m} \approx 0,0224$ J.

Exercice 5 : Amortissement et oscillations forcées

Un système masse-ressort, initialement réglé pour osciller librement avec une période $T_0$, est soumis à une force extérieure périodique. On observe que l'amplitude des oscillations diminue progressivement au fil du temps.

Questions :

1. Quel phénomène physique explique la diminution de l'amplitude des oscillations ?
2. Que se passe-t-il si la fréquence de la force extérieure est égale à la fréquence propre du système ($f_0 = 1/T_0$) ?
3. Comment peut-on compenser la perte d'énergie pour maintenir une amplitude d'oscillation constante ?

Correction :

1. La diminution de l'amplitude est due aux forces dissipatives, comme les frottements de l'air ou les résistances internes du ressort. Ces forces s'opposent au mouvement et dissipent de l'énergie sous forme de chaleur.

2. Si la fréquence de la force extérieure est égale à la fréquence propre du système, on observe un phénomène de résonance. L'amplitude des oscillations peut devenir très importante, car le système reçoit de l'énergie de manière synchrone avec son propre mouvement.

3. Pour maintenir une amplitude d'oscillation constante malgré les frottements, il faut apporter de l'énergie au système par une force extérieure dont la fréquence est proche de la fréquence propre du système et dont l'action compense exactement l'énergie dissipée.

Exercice 6 : Influence de l'amplitude sur la période

On étudie le mouvement d'un pendule simple de longueur $L = 1$ m. On mesure la période pour différentes amplitudes initiales :

Questions :

1. Que peut-on conclure sur la dépendance de la période du pendule par rapport à son amplitude ?
2. Pourquoi le modèle du pendule simple pour de petites oscillations est-il une approximation ?

Correction :

1. On observe que la période $T$ augmente légèrement lorsque l'amplitude $\alpha_{max}$ augmente. La période n'est donc pas strictement constante pour des amplitudes plus importantes. Le modèle de la période $T = 2\pi \sqrt{L/g}$ est une approximation valable pour de petites amplitudes.

2. Le modèle du pendule simple pour de petites oscillations suppose que la force de rappel est proportionnelle au déplacement (en fait, à l'arc de cercle parcouru). Cette approximation repose sur le fait que pour de petits angles, $\sin(\alpha) \approx \alpha$ (en radians). Lorsque l'angle augmente, cette approximation devient moins précise, et la force de rappel n'est plus exactement proportionnelle à l'angle, ce qui modifie la période.

Exercice 7 : Énergie dans un système masse-ressort

Un système masse-ressort a une masse $m = 2$ kg, une constante de raideur $k = 50$ N/m et une amplitude d'oscillation $A = 10$ cm.

Questions :

1. Calcule l'énergie mécanique totale du système.
2. Quelle est la valeur de l'énergie potentielle élastique lorsque la masse est à son élongation maximale ?
3. Quelle est la valeur de l'énergie cinétique lorsque la masse passe par sa position d'équilibre ?

Correction :

1. L'énergie mécanique $E_m$ est constante et est égale à l'énergie potentielle maximale ou à l'énergie cinétique maximale.

$E_m = E_{p,max} = \frac{1}{2} k A^2$. Il faut convertir l'amplitude en mètres : $A = 10$ cm $= 0,1$ m.

$E_m = \frac{1}{2} \times 50 \, \text{N/m} \times (0,1 \, \text{m})^2 = 25 \times 0,01 = 0,25$ J.

2. L'énergie potentielle élastique est maximale lorsque l'élongation est maximale, c'est-à-dire à l'amplitude $A$. Donc, $E_{p,max} = E_m = 0,25$ J.

3. Lorsque la masse passe par sa position d'équilibre ($x=0$), l'énergie potentielle élastique est nulle ($E_p = 0$). Par conservation de l'énergie mécanique, toute l'énergie est cinétique : $E_c = E_m = 0,25$ J.

Exercice 8 : Pendule de torsion

Un pendule de torsion est constitué d'un disque suspendu par un fil, qui tourne autour de l'axe du fil. La force de rappel n'est plus une force linéaire mais un couple de rappel proportionnel à l'angle de torsion $\theta$. La période d'un pendule de torsion est donnée par $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{C}}$, où $I$ est le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe de rotation et $C$ est la constante de torsion du fil.

Un disque de moment d'inertie $I = 0,05$ kg.m$^2$ est suspendu à un fil de constante de torsion $C = 0,2$ N.m/rad.

Questions :

1. Calcule la période des oscillations du pendule de torsion.
2. Comment varierait la période si le moment d'inertie du disque était doublé ?
3. Comment varierait la période si la constante de torsion du fil était divisée par deux ?

Correction :

1. La période est $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{C}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,05 \, \text{kg.m}^2}{0,2 \, \text{N.m/rad}}} = 2\pi \sqrt{0,25} = 2\pi \times 0,5 = \pi$ s $\approx 3,14$ s.

2. Si $I$ est doublé ($I' = 2I$), la nouvelle période $T' = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{C}} = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{I}{C}}) = \sqrt{2} T$. La période serait multipliée par $\sqrt{2}$.

3. Si $C$ est divisé par deux ($C' = C/2$), la nouvelle période $T'' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{C/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{C}} = \sqrt{2} T$. La période serait également multipliée par $\sqrt{2}$.

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