L'essentiel à connaître
Une planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer (première loi de Kepler). Elle va plus vite près du Soleil (deuxième loi), et le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ a la même valeur pour toutes les planètes du Soleil (troisième loi). Exemple : un demi-grand axe 9 fois plus grand donne une période $\sqrt{9^3} = 27$ fois plus longue.
Un foyer est l'un des deux points placés de part et d'autre du centre de l'ellipse. $T$ est la période de révolution (la durée d'un tour), $a$ le demi-grand axe (la moitié de la plus grande longueur de l'ellipse). Le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales : la planète va donc plus vite au périhélie, son point le plus proche du Soleil. Ces lois valent aussi pour les satellites de la Terre.
En Terminale (programme de spécialité, Bulletin officiel spécial du 25 juillet 2019), l'orbite est un cercle de rayon $r$ centré sur l'astre central, de masse $M$. Tu l'étudies dans le référentiel héliocentrique (centré sur le Soleil) pour une planète, géocentrique (centré sur la Terre) pour un satellite de la Terre. La deuxième loi de Newton donne une accélération dirigée vers le centre, de valeur $\dfrac{GM}{r^2}$ : le mouvement est circulaire uniforme, et cette accélération vaut aussi $\dfrac{v^2}{r}$.
Formule : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$, $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ et $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$, avec $G$ la constante de gravitation universelle, $r$ en mètres et $T$ en secondes.
La masse du satellite se simplifie : vitesse et période ne dépendent que de $M$ et de $r$, et plus l'orbite est haute, plus le satellite est lent. La constante $\dfrac{4\pi^2}{GM}$ dépend de l'astre central : elle change entre les satellites de la Terre et les planètes du Soleil.
Piège classique : $r$ est la distance au centre de l'astre, pas l'altitude $h$. Autour de la Terre, tu calcules d'abord $r = R_T + h$, avec $R_T \approx 6\,400$ km (6 371 km en moyenne selon la NASA).
À retenir : un satellite géostationnaire reste au-dessus du même point de l'équateur. Il tourne dans le plan de l'équateur, dans le sens de rotation de la Terre, à 35 786 km d'altitude, en 23 h 56 min 4 s (ESA) : la durée d'un tour de la Terre sur elle-même par rapport aux étoiles, un peu moins que les 24 h entre deux midis (NASA). Immobile dans le référentiel terrestre, lié au sol, il tourne dans le géocentrique.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions vont de la plus simple à la plus difficile : garde ta concentration pour les trois dernières, les plus piégeuses.
Question 1 : Selon la première loi de Kepler, quelle est l'orbite d'une planète ?
Réponse : C. C'est l'énoncé de la première loi : le Soleil occupe un foyer de l'ellipse, pas son centre (piège B). Le cercle (proposition A) n'est qu'un modèle simplifié, valable parce que la plupart des orbites en sont proches.
Question 2 : Où une planète va-t-elle le plus vite sur son orbite ?
Réponse : A. Près du Soleil, le segment Soleil-planète est court : pour balayer la même aire dans le même temps, la planète parcourt un arc plus long, donc va plus vite. La proposition C ne vaut que pour une orbite circulaire.
Question 3 : Mercure et Neptune tournent autour du Soleil. Que dire du rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ calculé pour chacune ?
Réponse : D. C'est la troisième loi : autour d'un même astre, ici le Soleil, $\dfrac{T^2}{a^3}$ ne change pas. Neptune a une période bien plus longue, d'où le piège A, mais son demi-grand axe est aussi bien plus grand.
Question 4 : Dans quel référentiel étudie-t-on le mouvement de Mars autour du Soleil ?
Réponse : B. Le référentiel héliocentrique, centré sur le Soleil avec des axes pointés vers des étoiles lointaines, est celui des planètes. Le géocentrique (proposition A) sert pour la Lune et les satellites de la Terre.
Question 5 : Un satellite tourne en orbite circulaire, avec une vitesse de valeur constante. Son accélération est :
Réponse : C. La vitesse garde sa valeur mais change sans cesse de direction : le vecteur vitesse varie, donc l'accélération n'est pas nulle, et elle pointe vers le centre. Le piège A confond la valeur de la vitesse et le vecteur vitesse.
Question 6 : Un satellite de masse $m$ décrit une orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre de masse $M$. Quelle est l'expression de sa vitesse ?
Réponse : D. La deuxième loi de Newton donne $m\,\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{GMm}{r^2}$, d'où $v^2 = \dfrac{GM}{r}$. La proposition C oublie de multiplier par $r$ et garde $r^2$ ; la A garde la masse $m$, qui se simplifie pourtant.
Question 7 : Deux satellites, de 500 kg et de 1 000 kg, suivent la même orbite circulaire autour de la Terre. Leurs vitesses :
Réponse : A. La masse du satellite se simplifie : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ne dépend que de la masse $M$ de la Terre et de $r$. Le plus lourd est attiré deux fois plus fort, mais il est aussi deux fois plus dur à dévier.
Question 8 : Peut-on placer un satellite géostationnaire à la verticale de Paris ?
Réponse : C. L'orbite est centrée sur le centre de la Terre ; pour tourner avec la Terre autour de l'axe des pôles, seul le cercle de l'équateur convient. La bonne altitude (proposition A) ne suffit donc pas.
Question 9 : Un satellite passe d'une orbite circulaire basse à une orbite circulaire plus haute. Sur la nouvelle orbite, il va :
Réponse : B. Avec $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$, la vitesse baisse quand $r$ augmente, et $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ augmente. Le piège A suppose qu'une orbite plus grande demande plus de vitesse, alors que la gravitation y est plus faible.
Question 10 : Le rayon de l'orbite circulaire d'un satellite est multiplié par 4. Sa période est multipliée par :
Réponse : D. La troisième loi donne $\dfrac{T_2^2}{T_1^2} = \dfrac{r_2^3}{r_1^3} = 4^3 = 64$, donc $\dfrac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$. Le piège A croit $T$ proportionnelle à $r$ ; la B oublie la racine carrée.
Question 11 : Dans le référentiel géocentrique, un satellite géostationnaire :
Réponse : A. Il n'est immobile que dans le référentiel terrestre, qui tourne avec la Terre (piège B). Dans le géocentrique, il tourne au rythme de la Terre sur elle-même, un tour en 23 h 56 min 4 s, et non en 24 h (proposition C).
Question 12 : Un satellite passe d'une orbite circulaire à 400 km d'altitude à une autre à 800 km d'altitude. On prend $R_T = 6\,400$ km pour le rayon de la Terre. Sa période est multipliée par :
Réponse : B. Tu doubles l'altitude, pas le rayon : $r$ passe de $6\,800$ km à $7\,200$ km, donc $\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{7\,200}{6\,800}\right)^{3/2} \approx 1{,}09$. Le piège A calcule $2^{3/2} \approx 2{,}8$ avec les altitudes ; la D oublie la puissance $\dfrac{3}{2}$.
Sources
- Ministère de l'Éducation nationale, programme de physique-chimie de terminale générale, Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019.
- Agence spatiale européenne (ESA), « Types of orbits », en anglais.
- NASA, « Earth Fact Sheet », mise à jour du 15 novembre 2024, en anglais.