Niveau : Moyen — Durée estimée : 80 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
La cinématique étudie le mouvement des corps sans se soucier des forces qui les provoquent. En rotation, la grandeur de base est la vitesse angulaire ω (oméga), exprimée en rad/s. Elle est liée à la fréquence de rotation N (en tr/min) par une formule fondamentale. La vitesse linéaire V d'un point situé à une distance R de l'axe est donnée par V = R.ω.
Lorsqu'on transmet un mouvement entre deux arbres, on définit le rapport de transmission (r). Pour un engrenage, ce rapport dépend du nombre de dents (Z) des roues. Si r < 1, le système est un réducteur (vitesse diminuée, couple augmenté). Si r > 1, c'est un multiplicateur.
Pour un train d'engrenages composé de plusieurs roues, le rapport global est le produit des rapports élémentaires. Une règle simple pour le signe : chaque contact extérieur inverse le sens de rotation. On compte donc le nombre de contacts extérieurs pour déterminer si le sens de sortie est le même que celui d'entrée.
Formules : ω = (2πN) / 60 | r = N_sortie / N_entrée = Z_menante / Z_menée
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Conversion de vitesse. Un moteur tourne à N = 1500 tr/min. Calcule sa vitesse angulaire ω en rad/s.
Correction :
On applique la formule : ω = (2 π N) / 60 ω = (2 3,1415 1500) / 60 = 3141,5 / 20 = 157,07 rad/s. ω ≈ 157,1 rad/s.
Exercice 2 : Vitesse linéaire. Une roue de rayon R = 0,25 m tourne à ω = 20 rad/s. Calcule la vitesse linéaire V d'un point sur la périphérie de la roue.
Correction :
On utilise V = R * ω V = 0,25 * 20 = 5 m/s. V = 5 m/s. (soit 18 km/h).
Exercice 3 : Rapport d'engrenage simple. Un pignon de 12 dents (entrée) entraîne une roue de 48 dents (sortie). Quel est le rapport de transmission r ? S'agit-il d'un réducteur ou d'un multiplicateur ?
Correction :
r = Z_menante / Z_menée = 12 / 48 = 1 / 4 = 0,25. Puisque r < 1, c'est un réducteur. La vitesse de sortie est 4 fois plus petite que celle d'entrée.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Calcul de vitesse de sortie. Si le moteur de l'exercice 1 (1500 tr/min) est branché sur le réducteur de l'exercice 3 (r=0,25), quelle est la vitesse de sortie N_s en tr/min ?
Correction :
r = N_s / N_e => N_s = r * N_e N_s = 0,25 * 1500 = 375 tr/min. N_s = 375 tr/min.
Exercice 5 : Poulies-courroie. Un système de poulies est lié par une courroie. La poulie motrice a un diamètre d1 = 50 mm et tourne à 1000 tr/min. La poulie réceptrice a un diamètre d2 = 200 mm. Calcule N2.
Correction :
Pour les poulies, le rapport est inversement proportionnel aux diamètres : N2/N1 = d1/d2. N2 = N1 (d1 / d2) = 1000 (50 / 200) = 1000 * 0,25 = 250 tr/min. N2 = 250 tr/min.
Exercice 6 : Train d'engrenages. Un train est composé de 3 roues : A (Z=20), B (Z=60), C (Z=40). A entraîne B, et B entraîne C. Calcule le rapport global r_ac.
Correction :
r_ac = (Z_a / Z_b) * (Z_b / Z_c). On remarque Z_b s'annule (roue intermédiaire). r_ac = Z_a / Z_c = 20 / 40 = 0,5. r_ac = 0,5. La roue intermédiaire n'influence pas le rapport final, seulement le sens de rotation.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Rapport de réduction complexe. Un motoréducteur possède deux étages de réduction. Étage 1 : Z1=10, Z2=50. Étage 2 : Z3=12, Z4=60. Calcule le rapport global r_total et la vitesse de sortie si N_moteur = 3000 tr/min.
Correction :
r_total = r1 r2 = (10/50) (12/60) = (1/5) * (1/5) = 1/25 = 0,04. N_sortie = 3000 * 0,04 = 120 tr/min. r_total = 0,04 et N_sortie = 120 tr/min.
Exercice 8 : Système pignon-crémaillère. Un pignon de rayon R = 30 mm entraîne une crémaillère. Si le pignon tourne de 2 tours, de quelle distance L se déplace la crémaillère ?
Correction :
Pour 1 tour, la distance est le périmètre : P = 2 π R. Pour 2 tours : L = 2 (2 π R) = 4 π * 30 ≈ 377 mm. L ≈ 377 mm.
Attention : N'oublie pas de convertir les rayons en mètres si tu veux un résultat final en mètres !
Exercice 9 : Étude du sens de rotation. Dans un train de 4 engrenages à contacts extérieurs, la roue 1 tourne dans le sens horaire. Dans quel sens tourne la roue 4 ?
Correction :
Nombre de contacts = 3 (1-2, 2-3, 3-4). Chaque contact inverse le sens. 1: Horaire -> 2: Anti-horaire -> 3: Horaire -> 4: Anti-horaire. Règle : Nombre de contacts impair = sens inversé par rapport à l'entrée.
Exercice 10 : Dimensionnement. Tu veux réduire la vitesse d'un moteur de 2400 tr/min à 60 tr/min. Quel doit être le rapport de réduction r ? Propose un nombre de dents pour le pignon moteur si la roue réceptrice a 80 dents.
Correction :
1. r = N_s / N_e = 60 / 2400 = 1 / 40 = 0,025. 2. r = Z_e / Z_s => 0,025 = Z_e / 80. 3. Z_e = 0,025 * 80 = 2 dents. Analyse : Un pignon de 2 dents est impossible (minimum ~10-12). Il faut donc utiliser deux étages de réduction (ex: deux fois 1/6,32) pour un système réaliste.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La cinématique repose sur la précision des unités. Travaille toujours en rad/s pour les calculs de puissance ou de vitesse linéaire, mais garde les tr/min pour les rapports de transmission. N'oublie pas que dans un train d'engrenages, les roues intermédiaires ne changent pas la valeur du rapport final, mais seulement le sens de rotation.
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