Modéliser un système multiphysique, c'est le découper en blocs et suivre la puissance de l'un à l'autre : à chaque liaison, elle vaut une grandeur d'effort multipliée par une grandeur de flux. Un moteur alimenté sous 12 V qui absorbe 2 A reçoit $12 \times 2 = 24$ W ; s'il fournit un couple de 0,06 N·m en tournant à 300 rad/s, il rend $0{,}06 \times 300 = 18$ W, soit un rendement de $\dfrac{18}{24} = 0{,}75$. La partie information, elle, ne transporte presque pas de puissance : elle mesure, compare et décide combien d'énergie laisser passer.
Effort et flux : une seule formule pour la puissance
Électrique ou mécanique, une puissance s'écrit toujours de la même façon dans le programme de sciences de l'ingénieur : une grandeur d'effort multipliée par une grandeur de flux.
Définition : la grandeur d'effort est ce qui pousse (une tension, une force, un couple) ; la grandeur de flux est ce qui circule ou bouge sous cet effort (une intensité, une vitesse, une vitesse angulaire). Leur produit est la puissance instantanée, en watts (W).
| Domaine | Effort | Flux | Puissance |
|---|---|---|---|
| Électrique | tension $U$ (V) | intensité $I$ (A) | $P = U \times I$ |
| Mécanique, translation | force $F$ (N) | vitesse $v$ (m/s) | $P = F \times v$ |
| Mécanique, rotation | couple $C$ (N·m) | vitesse angulaire $\omega$ (rad/s) | $P = C \times \omega$ |
D'où vient ce produit ? Une force $F$ qui déplace son point d'application d'une distance $d$ fournit l'énergie $F \times d$. La puissance est l'énergie fournie par seconde : à vitesse constante, le point avance de $v$ mètres chaque seconde, d'où $P = F \times v$.
Pousser sans que rien ne bouge ne transmet donc rien. Un moteur bloqué exerce un couple, mais avec $\omega = 0$ il ne fournit aucune puissance mécanique : tout ce qu'il absorbe part en chaleur.
Piège classique : dans $P = C \times \omega$, la vitesse angulaire est en radians par seconde. Les fiches techniques donnent souvent des tours par minute. Un tour vaut $2\pi$ rad et une minute 60 s, donc $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$ avec $N$ en tr/min. Oublier la conversion multiplie la puissance par environ 9,5.
La chaîne de puissance, bloc par bloc
Prends un treuil électrique qui soulève une charge. La puissance part de la batterie et traverse quatre blocs. Le hacheur, un interrupteur électronique, dose l'énergie envoyée au moteur. Le moteur la convertit en rotation. Le réducteur, souvent un train d'engrenages, ralentit la rotation et augmente le couple. Le tambour enroule le câble.
Tu croiseras aussi le nom de chaîne d'énergie, découpée en alimenter, distribuer, convertir, transmettre : c'est la même idée. Modéliser un bloc, c'est écrire comment sa sortie dépend de son entrée, et où partent les pertes. Elles finissent surtout en chaleur, par effet Joule dans les conducteurs (le courant les chauffe) et par frottement dans les pièces mécaniques.
Formule : le rendement d'un bloc, noté $\eta$ (êta), vaut
$$\eta = \frac{P_{\text{sortie}}}{P_{\text{entrée}}}$$
Il est inférieur à 1 dans un vrai système. Pour des blocs en série, la sortie de chacun est l'entrée du suivant, et les fractions se simplifient en chaîne :
$$\eta_{\text{global}} = \frac{P_3}{P_0} = \frac{P_1}{P_0} \times \frac{P_2}{P_1} \times \frac{P_3}{P_2} = \eta_1 \times \eta_2 \times \eta_3$$
Piège classique : les pertes ne s'additionnent pas en pourcentage. Trois blocs de rendements 0,95, 0,80 et 0,90 ne perdent pas $5 + 20 + 10 = 35$ % : le rendement global vaut $0{,}95 \times 0{,}80 \times 0{,}90 \approx 0{,}68$, soit environ 32 % de pertes. Chaque bloc perd une part de ce qu'il reçoit, pas de ce que la batterie a fourni.
Le moteur, pont entre l'électrique et la mécanique
C'est dans le moteur que les deux mondes se rencontrent. Pour un moteur à courant continu, trois relations suffisent.
Formule :
$$C = k \times I \qquad E = k \times \omega \qquad U = E + R \times I$$
$C$ est le couple électromagnétique (N·m), $I$ l'intensité (A), $\omega$ la vitesse angulaire (rad/s), $U$ la tension aux bornes (V) et $R$ la résistance du bobinage (Ω). $E$ est la force électromotrice (V) : la tension que le moteur produit lui-même en tournant, comme une dynamo. En unités du Système international, $k$ a la même valeur dans les deux premières relations.
Pourquoi la même constante ? Dans le moteur, la puissance électrique convertie, $E \times I$, devient la puissance mécanique $C \times \omega$. Avec $C = kI$, l'égalité $E \times I = kI \times \omega$ impose $E = k\omega$. Retiens ce raisonnement : il te redonne la formule le jour où tu l'oublies.
La troisième relation partage la tension d'alimentation entre $E$ et la chute de tension dans le bobinage. Multiplie-la par $I$ : $U \times I = E \times I + R \times I^2$. La puissance absorbée égale la puissance convertie plus les pertes par effet Joule.
Exemple : reprends le moteur de l'introduction, avec $k = 0{,}035$ (unités SI) et $R = 0{,}75$ Ω. À 300 rad/s, $E = 0{,}035 \times 300 = 10{,}5$ V. Sous 12 V, la chute dans le bobinage vaut $12 - 10{,}5 = 1{,}5$ V, donc $I = \dfrac{1{,}5}{0{,}75} = 2$ A. Bilan : 24 W absorbés, $0{,}75 \times 2^2 = 3$ W perdus par effet Joule, $10{,}5 \times 2 = 21$ W convertis. Le couple électromagnétique vaut $0{,}035 \times 2 = 0{,}07$ N·m, mais l'arbre ne rend que 0,06 N·m : les frottements prennent la différence, soit $0{,}01 \times 300 = 3$ W. Restent les 18 W utiles.
La partie information : mesurer, décider, commander
La chaîne de puissance ne sait pas ce qu'elle doit faire : la partie information le lui dit. Un capteur mesure une grandeur physique (une vitesse, une position) et la traduit en signal électrique. Un microcontrôleur, petit ordinateur tenu sur une seule puce, lit ce signal, exécute un programme et envoie un ordre au hacheur. On résume souvent ces étapes par trois verbes : acquérir, traiter, communiquer.
Cet ordre ne porte presque pas de puissance, mais il décide de toute celle qui passe. Le hacheur ouvre et ferme l'alimentation très vite, et le programme choisit la fraction du temps où il reste fermé : c'est le rapport cyclique $\alpha$, entre 0 et 1. Le moteur reçoit alors en moyenne $U_{\text{moy}} = \alpha \times U_{\text{alim}}$. Avec une batterie de 24 V et $\alpha = 0{,}5$, il reçoit 12 V en moyenne.
Dans un modèle multiphysique, tu distingues donc deux sortes de liens. Un lien de puissance porte deux grandeurs, un effort et un flux, et l'énergie peut y circuler dans les deux sens. Un lien d'information porte une seule valeur, dans un seul sens, comme une flèche : la mesure va du capteur au programme, l'ordre va du programme au hacheur. Le comportement de la commande (marche, arrêt, défaut) se décrit par un diagramme d'états-transitions, qui montre les états possibles et les événements qui font passer de l'un à l'autre.
En terminale, la boucle se ferme : le système est asservi. Le programme compare la consigne, la vitesse voulue, à la vitesse mesurée, et calcule l'erreur $\varepsilon = \text{consigne} - \text{mesure}$. Un correcteur proportionnel fixe la commande à $K \times \varepsilon$, où $K$ est un gain choisi par le concepteur : plus l'erreur est grande, plus la commande est forte. Si une charge plus lourde freine le treuil, la vitesse mesurée baisse, l'erreur grandit et la commande augmente d'elle-même.
Attendu, simulé, mesuré : les trois écarts
Un modèle ne vaut que s'il prédit le réel. Pour une performance donnée (une vitesse, une autonomie, une durée), tu as trois valeurs. L'attendue est fixée par le cahier des charges, le document qui dit ce que le produit doit faire et avec quelles performances. La simulée sort du modèle. La mesurée est relevée sur le système réel. Tu chiffres les écarts entre elles en absolu (la différence, avec son unité) ou en relatif :
$$\text{écart relatif} = \frac{|\text{valeur comparée} - \text{valeur de référence}|}{\text{valeur de référence}}$$
Chaque écart répond à sa propre question. Entre l'attendu et le mesuré : le produit réel respecte-t-il le cahier des charges ? Entre le simulé et le mesuré : le modèle est-il fidèle ? Entre l'attendu et le simulé : la solution pouvait-elle convenir avant même d'être construite ?
Quand le modèle s'écarte des mesures, cherche la cause avant de retoucher un réglage : une hypothèse simplificatrice (des frottements négligés), un paramètre mal connu (une masse, une résistance) ou une erreur de mesure. Un modèle qui prévoit plus vite que le réel a souvent oublié une perte. Et même validé, il ne reste fiable que dans la plage où tu l'as comparé aux mesures : ce sont ses limites de validité.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle, avec des données fictives. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Une perceuse fournit un couple de 0,5 N·m sur son arbre, qui tourne à 1 500 tr/min. Calcule sa puissance mécanique.
Correction :
La vitesse est en tours par minute : on la convertit d'abord. $\omega = \dfrac{2\pi \times 1500}{60} = 50\pi \approx 157$ rad/s.
Puis $P = C \times \omega = 0{,}5 \times 50\pi = 25\pi \approx 78{,}5$ W. Le calcul direct $0{,}5 \times 1500 = 750$ W donne presque dix fois trop : c'est le piège visé.
Exercice 2 : Un treuil soulève une charge de 50 kg à la vitesse constante de 0,20 m/s. Sa chaîne de puissance comprend un hacheur (rendement 0,95), un moteur (0,80) et un réducteur (0,90) ; les pertes du tambour sont négligées. La batterie délivre 24 V et $g = 9{,}81$ N/kg. Calcule la puissance utile, le rendement global, la puissance fournie par la batterie et l'intensité qu'elle débite.
Correction :
À vitesse constante, le câble tire avec une force égale au poids : $F = m \times g = 50 \times 9{,}81 = 490{,}5$ N. Puissance utile : $P_u = F \times v = 490{,}5 \times 0{,}20 = 98{,}1$ W.
Rendement global : $\eta = 0{,}95 \times 0{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}684$. Puissance fournie par la batterie : $P = \dfrac{P_u}{\eta} = \dfrac{98{,}1}{0{,}684} \approx 143{,}4$ W.
Intensité : $I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{143{,}4}{24} \approx 6{,}0$ A.
Exercice 3 : Un moteur à courant continu a pour constante $k = 0{,}1$ (unités SI) et pour résistance de bobinage $R = 1$ Ω. Alimenté sous $U = 24$ V, il absorbe $I = 3$ A. Calcule sa force électromotrice, sa vitesse angulaire en rad/s puis en tr/min, et son couple électromagnétique. Fais le bilan des puissances. Ce moteur est alimenté par un hacheur branché sur une batterie de 36 V : quel rapport cyclique le programme doit-il imposer pour lui donner ces 24 V ?
Correction :
$E = U - R \times I = 24 - 1 \times 3 = 21$ V, donc $\omega = \dfrac{E}{k} = \dfrac{21}{0{,}1} = 210$ rad/s, soit $\dfrac{210 \times 60}{2\pi} \approx 2\,005$ tr/min. Couple : $C = k \times I = 0{,}1 \times 3 = 0{,}3$ N·m.
Puissance absorbée : $U \times I = 24 \times 3 = 72$ W. Pertes Joule : $R \times I^2 = 1 \times 3^2 = 9$ W. Puissance convertie : $E \times I = 21 \times 3 = 63$ W, et on vérifie que $C \times \omega = 0{,}3 \times 210 = 63$ W, avec $72 = 63 + 9$.
Rapport cyclique : $\alpha = \dfrac{U_{\text{moy}}}{U_{\text{alim}}} = \dfrac{24}{36} \approx 0{,}67$.
Exercice 4 : Le cahier des charges d'un treuil impose une vitesse de montée de 0,20 m/s, à 5 % près. La simulation donne 0,205 m/s ; la mesure sur le prototype donne 0,18 m/s. Le prototype respecte-t-il le cahier des charges ? Le modèle est-il fidèle ? Sachant que le modèle supposait le réducteur sans frottement, propose une explication et une amélioration.
Correction :
Écart entre mesuré et attendu, rapporté à l'attendu : $\dfrac{|0{,}18 - 0{,}20|}{0{,}20} = 0{,}10$, soit 10 %. C'est plus que les 5 % tolérés : le prototype ne respecte pas le cahier des charges.
Écart entre simulé et mesuré, rapporté à la mesure : $\dfrac{|0{,}205 - 0{,}18|}{0{,}18} \approx 0{,}14$, soit environ 14 %. Le modèle n'est pas fidèle, alors que la simulation semblait valider la solution (écart de 2,5 % avec l'attendu).
Le modèle prévoit plus vite que le réel : il a oublié une perte, ici les frottements du réducteur. On les ajoute au modèle (un rendement du réducteur inférieur à 1), on relance la simulation et on compare de nouveau à la mesure.
À retenir
À retenir :
- $P = \text{effort} \times \text{flux}$ : $U \times I$, $F \times v$, $C \times \omega$, avec $\omega$ en rad/s.
- Rendement d'un bloc : $\eta = \dfrac{P_{\text{sortie}}}{P_{\text{entrée}}}$ ; en série, les rendements se multiplient.
- Moteur à courant continu : $C = kI$, $E = k\omega$, $U = E + RI$ ; la même $k$ vient de $E \times I = C \times \omega$.
- La partie information porte très peu de puissance mais décide de celle qui passe, par exemple avec $U_{\text{moy}} = \alpha \times U_{\text{alim}}$.
- Attendu, simulé, mesuré : chaque écart répond à sa propre question.
Sources
- Programme de sciences de l'ingénieur de première et terminale générales : texte sur eduscol.