En SII, chaque problème suit la même démarche : tu modélises le système, tu calcules la performance demandée, puis tu la compares à celle qu'exige le cahier des charges, le document qui fixe ce que le système doit faire. Exemple : un bras doit lever une charge de 20 kg ; tu le réduis à des liaisons, le principe fondamental de la statique donne l'effort que doit fournir son vérin, et tu vérifies que le vérin prévu en est capable.
Voici les outils de première année pour chaque étape, puis trois exercices corrigés.
Liaisons et cinématique
Un mécanisme se ramène à des classes d'équivalence (des groupes de pièces qui bougent ensemble) reliées par des liaisons. Une liaison se définit par ses degrés de liberté, les mouvements qu'elle permet : une pivot en laisse un, une rotation ; une glissière un, une translation ; une sphérique (ou rotule) trois rotations. Le schéma cinématique ne garde que ces liaisons, dessinées avec leurs symboles normalisés.
Le mouvement d'un solide 2 par rapport à un solide 1 se décrit par son torseur cinématique : le vecteur rotation $\vec{\Omega}(2/1)$, le même partout, et la vitesse $\vec{V}(A \in 2/1)$ d'un point, qui change d'un point à l'autre.
Formule : pour deux points $A$ et $B$ du solide 2,
$$\vec{V}(B \in 2/1) = \vec{V}(A \in 2/1) + \overrightarrow{BA} \wedge \vec{\Omega}(2/1)$$
Elle vient de l'indéformabilité : $\overrightarrow{AB}$ garde sa longueur, il ne peut que tourner avec le solide, et sa dérivée dans le repère lié à 1, égale à la différence des deux vitesses, vaut donc $\vec{\Omega}(2/1) \wedge \overrightarrow{AB}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{BA} \wedge \vec{\Omega}(2/1)$.
La composition des mouvements additionne les vitesses au même point : $\vec{V}(P \in 2/0) = \vec{V}(P \in 2/1) + \vec{V}(P \in 1/0)$. Pour une loi entrée-sortie, tu écris une fermeture géométrique sur une boucle du mécanisme, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$, chaque vecteur écrit avec les paramètres du mécanisme, puis tu la projettes sur les axes.
Piège classique : c'est $\overrightarrow{BA} \wedge \vec{\Omega}$, pas $\overrightarrow{AB} \wedge \vec{\Omega}$, car échanger les deux vecteurs d'un produit vectoriel change le signe. Le moyen mnémotechnique BABAR (B, A, BA, R comme résultante) fixe l'ordre. Écris aussi toujours le point et le mouvement, $\vec{V}(B \in 2/1)$, jamais une vitesse sans eux.
Statique : trouver les efforts
Une action mécanique (un poids, la poussée d'un vérin, un contact) se modélise aussi par un torseur : une résultante $\vec{R}$ et un moment $\vec{M}_A$ en un point $A$. Le moment change de point avec la même formule, $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \overrightarrow{BA} \wedge \vec{R}$ : une relation pour deux usages.
Une liaison parfaite, sans frottement, transmet une force ou un moment dans chaque direction où elle bloque un mouvement. Une pivot d'axe $(A, \vec{z})$ bloque trois translations et deux rotations : cinq inconnues d'effort, et aucun moment autour de $\vec{z}$.
Propriété : principe fondamental de la statique. Si un système isolé est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen, la somme des torseurs des actions extérieures qu'il subit est nulle : résultante nulle, et moment nul en un même point. Cela donne six équations dans l'espace, trois dans un problème plan.
La méthode : isoler un système, faire le bilan des actions extérieures, puis écrire les moments au point où passent le plus d'inconnues, qui disparaissent alors de l'équation. Avec frottement, la loi de Coulomb borne l'effort tangentiel par l'effort normal : $T \leqslant f\,N$ ($f$ : coefficient de frottement), avec égalité quand ça glisse.
Piège classique : additionner des moments écrits en des points différents. Ramène-les tous au même point avant de sommer. Autre piège : mettre dans le bilan l'effort que la pièce isolée exerce sur sa voisine. Seules comptent les actions de l'extérieur sur elle.
Automatique : boucle et fonction de transfert
Un système asservi compare sans cesse sa sortie à la consigne et corrige l'écart. Un capteur mesure la sortie, un comparateur calcule l'écart $\varepsilon$ entre consigne et mesure, un correcteur le traite et commande l'actionneur. Le régulateur de vitesse d'une voiture en est un : dans une côte, la vitesse baisse, l'écart grandit et la commande du moteur augmente.
Pour calculer, on passe par la transformée de Laplace : avec des conditions initiales nulles, dériver revient à multiplier par la variable $p$. L'équation $\tau\,s'(t) + s(t) = K\,e(t)$ devient $(1 + \tau p)\,S(p) = K\,E(p)$, d'où la fonction de transfert, rapport de la sortie sur l'entrée :
$$H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{K}{1 + \tau p}$$
C'est un premier ordre, de gain statique $K$ et de constante de temps $\tau$. Dans un schéma-blocs, des blocs en série se multiplient, et une boucle de chaîne directe $A(p)$ et de chaîne de retour $B(p)$ a pour fonction de transfert en boucle fermée $\dfrac{A(p)}{1 + A(p)\,B(p)}$.
Formule : un premier ordre soumis à un échelon d'amplitude $E_0$ répond par
$$s(t) = K E_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
La sortie atteint 63 % de sa valeur finale $K E_0$ au bout de $\tau$, 95 % au bout de $3\tau$ : le temps de réponse à 5 % vaut $t_{5\%} \approx 3\tau$.
Un asservissement se juge sur sa stabilité (la sortie ne diverge pas), sa précision (l'écart final entre consigne et sortie) et sa rapidité (le temps de réponse à 5 %). Le théorème de la valeur finale donne la précision sans repasser par le temps : $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} s(t) = \lim_{p \to 0} p\,S(p)$. Le second semestre ajoute le diagramme de Bode : gain et phase en fonction de la pulsation.
Le programme de PTSI-PT exclut les critères de Routh et de Nyquist ainsi que les diagrammes de Black-Nichols et de Nyquist ; le réglage des correcteurs vient en deuxième année (programme officiel).
Conception : la pièce et sa fabrication
En CAO (conception assistée par ordinateur), une pièce part d'une esquisse : un profil plan dont tu fixes la forme par des contraintes (parallélisme, tangence, cotes) plutôt qu'à l'œil. Des fonctions d'ajout ou d'enlèvement de matière, comme l'extrusion ou le perçage, en font un volume. Une esquisse entièrement contrainte se modifie sans casser : tu changes une cote, le reste suit.
Une pièce se conçoit aussi pour être fabriquée. Moulée par injection plastique, elle demande des épaisseurs régulières et des dépouilles, de légères inclinaisons des parois qui lui permettent de sortir du moule. La cotation GPS (spécification géométrique des produits) fixe ensuite les défauts de forme et de position tolérés.
Enfin, un modèle de mécanisme est isostatique si la statique suffit à trouver toutes ses inconnues de liaison ; sinon, il est hyperstatique. Un arbre guidé par deux pivots l'est : le montage exige alors des paliers alignés avec précision.
Exercices corrigés
Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Une barre 1 est en liaison pivot d'axe $(O, \vec{z})$ avec un bâti fixe 0, et $\vec{\Omega}(1/0) = 10\,\vec{z}$ en rad/s. À l'instant étudié, $\overrightarrow{OA} = 0{,}2\,\vec{x}$ en mètres, dans la base orthonormée directe $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$. Calcule $\vec{V}(A \in 1/0)$.
Correction :
Le point $O$ est sur l'axe de la pivot, donc $\vec{V}(O \in 1/0) = \vec{0}$. Avec BABAR :
$$\vec{V}(A \in 1/0) = \vec{0} + \overrightarrow{AO} \wedge \vec{\Omega}(1/0) = (-0{,}2\,\vec{x}) \wedge (10\,\vec{z}) = -2\,(\vec{x} \wedge \vec{z})$$
Comme $\vec{x} \wedge \vec{z} = -\vec{y}$, on obtient $\vec{V}(A \in 1/0) = 2\,\vec{y}$ m/s. Contrôle : la norme vaut $0{,}2 \times 10 = 2$ m/s, et la vitesse est bien perpendiculaire à $(OA)$.
Exercice 2 : Un bras de levage 1, horizontal selon $\vec{x}$, est en liaison pivot d'axe $(O, \vec{z})$ avec le bâti 0, et $\vec{y}$ est vertical vers le haut. Un vérin le pousse verticalement vers le haut en $B$, avec $\overrightarrow{OB} = 0{,}15\,\vec{x}$ en mètres. Une charge de 20 kg pend en $C$, avec $\overrightarrow{OC} = 0{,}6\,\vec{x}$. Problème plan, liaison parfaite, poids du bras négligé, $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$. Calcule l'effort du vérin et l'action de la pivot sur le bras.
Correction :
Tu isoles le bras 1. Il subit l'action de la pivot en $O$, de résultante $X_O\,\vec{x} + Y_O\,\vec{y}$ sans moment autour de $\vec{z}$ ; celle du vérin, $F\,\vec{y}$ en $B$ ; le poids de la charge, $-P\,\vec{y}$ en $C$, avec $P = 20 \times 9{,}81 = 196{,}2$ N.
Moments en $O$, où passent les deux inconnues de la pivot : $0{,}15\,F - 0{,}6\,P = 0$, donc $F = 4P = 784{,}8$ N.
Résultante : $X_O = 0$ et $Y_O + F - P = 0$, donc $Y_O = -588{,}6$ N. Le signe moins est juste : la pivot retient le bras vers le bas. Le vérin agit quatre fois plus près de l'axe que la charge : il doit pousser quatre fois plus fort.
Exercice 3 : On boucle un système avec un retour unitaire : chaîne directe $A(p) = \dfrac{9}{1 + 0{,}5\,p}$ (temps en secondes), chaîne de retour $B(p) = 1$, consigne en échelon d'amplitude 1. La sortie finit-elle égale à la consigne ? Calcule l'écart statique, puis le temps de réponse à 5 % en boucle fermée et celui de $A(p)$ seule.
Correction :
En boucle fermée :
$$\frac{A(p)}{1 + A(p)} = \frac{9}{1 + 0{,}5\,p + 9} = \frac{0{,}9}{1 + 0{,}05\,p}$$
C'est un premier ordre de gain 0,9 et de constante de temps 0,05 s. La sortie tend vers 0,9 : l'écart statique vaut $1 - 0{,}9 = 0{,}1$, soit 10 % de la consigne.
Le piège, c'est de croire qu'une boucle fermée annule toujours l'écart. Ici la boucle ouverte ne contient aucun intégrateur (aucun facteur $\dfrac{1}{p}$) : elle est de classe 0, et il reste un écart $\dfrac{1}{1 + K}$ pour un gain de boucle $K$, ici $\dfrac{1}{10}$.
Temps de réponse : $3 \times 0{,}05 = 0{,}15$ s en boucle fermée, contre $3 \times 0{,}5 = 1{,}5$ s pour $A(p)$ seule. La boucle a rendu le système dix fois plus rapide.
À retenir
À retenir :
- Démarche : modéliser, calculer la performance, la comparer au cahier des charges.
- BABAR, pour les vitesses comme pour les moments : $\vec{V}(B \in 2/1) = \vec{V}(A \in 2/1) + \overrightarrow{BA} \wedge \vec{\Omega}(2/1)$ et $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \overrightarrow{BA} \wedge \vec{R}$.
- Statique : isoler, ne garder que les actions extérieures, écrire tous les moments au même point.
- Laplace : dériver revient à multiplier par $p$ ; boucle fermée $\dfrac{A}{1 + AB}$.
- Premier ordre : 63 % au bout de $\tau$, $t_{5\%} \approx 3\tau$, valeur finale $K E_0$.
- Une boucle de classe 0 laisse un écart statique.
- CAO : une esquisse entièrement contrainte, puis des fonctions d'ajout et d'enlèvement de matière.
Sources
- Programme de sciences industrielles de l'ingénieur, filière PTSI-PT (2021), ministère de l'Enseignement supérieur : texte sur éduscol STI.