Niveau : Moyen — Durée estimée : 50 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité. Elle s'écrit sous la forme $f(x) = ax$, où $a$ est le coefficient de proportionnalité, aussi appelé coefficient directeur. Sa représentation graphique est une droite qui passe impérativement par l'origine du repère $(0,0)$.
Une fonction affine s'écrit sous la forme $f(x) = ax + b$. Ici, $a$ est le coefficient directeur (qui détermine l'inclinaison de la droite) et $b$ est l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe vertical). Une fonction linéaire est en réalité un cas particulier de fonction affine où $b = 0$.
Pour calculer le coefficient directeur $a$ à partir de deux points $A(x_A ; y_A)$ and $B(x_B ; y_B)$, on utilise la formule de l'accroissement. L'image d'un nombre $x$ est la valeur $f(x)$, tandis que l'antécédent de $y$ est la valeur $x$ telle que $f(x) = y$.
Formule : Coefficient directeur $a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ ; Forme générale $f(x) = ax + b$.
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Soit la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = 4x$. 1. Calcule l'image de 5 par la fonction $f$. 2. Calcule l'antécédent de 24 par la fonction $f$.
Correction :
1. Pour calculer l'image de 5, on remplace $x$ par 5 dans l'expression de la fonction : $f(5) = 4 \times 5 = 20$. L'image de 5 est 20.
2. Pour trouver l'antécédent de 24, on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x) = 24$. On résout l'équation $4x = 24$. En divisant par 4 des deux côtés, on obtient $x = \frac{24}{4} = 6$. L'antécédent de 24 est 6.
Exercice 2 : Parmi les fonctions suivantes, identifie celles qui sont linéaires, affines ou ni l'une ni l'autre : a) $g(x) = 3x - 5$ b) $h(x) = 2x^2 + 1$ c) $i(x) = -7x$ d) $j(x) = \frac{4}{x}$
Correction :
a) $g(x) = 3x - 5$ est de la forme $ax + b$ avec $a = 3$ et $b = -5$. C'est une fonction affine.
b) $h(x) = 2x^2 + 1$ possèd'un terme au carré ($x^2$). Ce n'est ni linéaire ni affine.
c) $i(x) = -7x$ est de la forme $ax$ avec $a = -7$. C'est une fonction linéaire.
d) $j(x) = \frac{4}{x}$ possède la variable au dénominateur. Ce n'est ni linéaire ni affine.
Exercice 3 : Soit la fonction affine $k(x) = -2x + 3$. Détermine l'ordonnée à l'origine et calcule $k(0)$. Que remarques-tu ?
Correction :
L'expression est $k(x) = ax + b$. Par identification, $b = 3$, donc l'ordonnée à l'origine est 3.
Calcul de $k(0) : k(0) = -2 \times 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.
On remarque $k(0)$ est toujours égal à l'ordonnée à l'origine $b$. C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Une fonction linéaire $p$ est telle que $p(3) = 12$. Détermine l'expression algébrique de cette fonction.
Correction :
Puisque $p$ est une fonction linéaire, son expression est de la forme $p(x) = ax$.
On sait que $p(3) = 12$, ce qui nous donne l'équation $a \times 3 = 12$.
On isole $a$ : $a = \frac{12}{3} = 4$.
L'expression de la fonction est donc $p(x) = 4x$.
Exercice 5 : Détermine la fonction affine $f$ telle que $f(1) = 5$ et $f(3) = 13$.
Correction :
1. On cherche d'abord le coefficient directeur $a$ : $a = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$. L'expression est donc $f(x) = 4x + b$.
2. On cherche $b$ en utilisant $f(1) = 5$ : $4 \times 1 + b = 5 \implies 4 + b = 5 \implies b = 5 - 4 = 1$.
L'expression de la fonction est $f(x) = 4x + 1$.
Exercice 6 : Soit la fonction $g(x) = -3x + 2$. Construis le tableau de valeurs pour $x$ allant de -1 à 2 avec un pas de 1, puis donne les coordonnées des deux points nécessaires pour tracer la droite.
Correction :
Calcul des valeurs :
- Pour $x = -1 : g(-1) = -3 \times (-1) + 2 = 3 + 2 = 5$. Point $A(-1 ; 5)$
- Pour $x = 0 : g(0) = 2$. Point $B(0 ; 2)$
- Pour $x = 1 : g(1) = -3 + 2 = -1$. Point $C(1 ; -1)$
- Pour $x = 2 : g(2) = -6 + 2 = -4$. Point $D(2 ; -4)$
Pour tracer la droite, deux points suffisent, par exemple $B(0 ; 2)$ et $C(1 ; -1)$.
Exercice 7 : Un taxi affiche les tarifs suivants : une prise en charge forfaitaire de 5€, puis 1,50€ par kilomètre parcouru. 1. Exprime le prix $P(x)$ en fonction du nombre de kilomètres $x$. 2. Quelle est la nature de cette fonction ?
Correction :
1. Le prix dépend de la partie fixe (5€) et de la partie variable (1,50€ par km). Donc $P(x) = 1,5x + 5$.
2. La fonction est de la forme $ax + b$, c'est donc une fonction affine.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Deux droites $D_1$ et $D_2$ représentent les fonctions $f(x) = 2x - 4$ et $g(x) = -x + 5$. Détermine par le calcul les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
Correction :
Au point d'intersection, on a $f(x) = g(x)$.
On résout l'équation : $2x - 4 = -x + 5$.
On regroupe les $x$ : $2x + x = 5 + 4 \implies 3x = 9 \implies x = 3$.
Maintenant, on calcule l'ordonnée en remplaçant $x$ par 3 dans $f(x)$ ou $g(x)$ : $f(3) = 2 \times 3 - 4 = 6 - 4 = 2$.
Le point d'intersection a pour coordonnées $(3 ; 2)$.
Exercice 9 : Soit une fonction affine $h$ telle que sa représentation graphique passe par le point $M(4 ; 2)$ et soit parallèle à la droite d'équation $y = 3x - 1$. Détermine l'expression de $h$.
Correction :
Attention : Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur $a$.
1. Puisque la droite est parallèle à $y = 3x - 1$, son coefficient directeur est $a = 3$. L'expression est $h(x) = 3x + b$.
2. La droite passe par $M(4 ; 2)$, donc $h(4) = 2 \implies 3 \times 4 + b = 2$.
3. $12 + b = 2 \implies b = 2 - 12 = -10$.
L'expression est $h(x) = 3x - 10$.
Exercice 10 : On considère un rectangle dont la largeur est fixe à 5 cm et la longueur est notée $x$. 1. Exprime le périmètre $P(x)$ en fonction de $x$. 2. Exprime l'aire $A(x)$ en fonction de $x$. 3. Indique la nature de chacune de ces fonctions.
Correction :
1. Le périmètre est $P(x) = 2 \times (longueur + largeur) = 2(x + 5) = 2x + 10$.
2. L'aire est $A(x) = longueur \times largeur = 5 \times x = 5x$.
3. $P(x) = 2x + 10$ est une fonction affine. $A(x) = 5x$ est une fonction linéaire.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Pour identifier une fonction, regarde sa structure ($ax$ ou $ax+b$). Graphiquement, une droite qui ne passe pas par l'origine est toujours affine. N'oublie jamais que le coefficient directeur $a$ indique la pente : s'il est positif, la fonction monte ; s'il est négatif, elle descend.
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