Niveau : Moyen — Durée estimée : 50 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Développer, c'est transformer un produit en une somme. On utilise pour cela la distributivité : $k(a+b) = ka + kb$ ou la double distributivité $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. Les identités remarquables permettent d'aller encore plus vite pour certaines formes spécifiques.
Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en un produit. Pour cela, on cherche un facteur commun dans chaque terme de l'expression ou on utilise une identité remarquable comme $a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)$.
Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l'inconnue (souvent $x$) qui rend l'égalité vraie. Pour les équations-produits nuls, souviens-toi qu'un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Formule : $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ; $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Développe l'expression suivante : $A = 3(x + 5)$.
Correction :
On applique la simple distributivité en multipliant 3 par chaque terme dans la parenthèse.
$A = 3 \times x + 3 \times 5$.
$A = 3x + 15$.
Exercice 2 : Factorise l'expression suivante : $B = 5x - 10$.
Correction :
On cherche un facteur commun. On remarque $10 = 5 \times 2$.
$B = 5 \times x - 5 \times 2$.
On place 5 devant la parenthèse : $B = 5(x - 2)$.
Exercice 3 : Résous l'équation : $x + 7 = 15$.
Correction :
Pour isoler $x$, on soustrait 7 des deux côtés de l'égalité.
$x = 15 - 7$.
$x = 8$. La solution est 8.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Développe et réduis : $C = (x + 2)(x + 3)$.
Correction :
On utilise la double distributivité :
$C = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3$.
$C = x^{2} + 3x + 2x + 6$.
On réduit les termes en $x$ : $C = x^{2} + 5x + 6$.
Exercice 5 : Utilise une identité remarquable pour développer : $D = (x - 4)^{2}$.
Correction :
On applique $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 4$.
$D = x^{2} - 2 \times x \times 4 + 4^{2}$.
$D = x^{2} - 8x + 16$.
Exercice 6 : Factorise en utilisant une identité remarquable : $E = x^{2} - 49$.
Correction :
On reconnaît la forme $a^{2} - b^{2}$ car $49 = 7^{2}$.
$E = x^{2} - 7^{2}$.
On utilise $(a-b)(a+b)$ : $E = (x - 7)(x + 7)$.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Développe et réduis : $F = (3x - 1)^{2} - (x + 2)(x - 2)$.
Correction :
Partie 1 : $(3x - 1)^{2} = (3x)^{2} - 2 \times 3x \times 1 + 1^{2} = 9x^{2} - 6x + 1$.
Partie 2 : $(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4$.
On soustrait les deux (attention au signe - devant la parenthèse) :
$F = (9x^{2} - 6x + 1) - (x^{2} - 4) = 9x^{2} - 6x + 1 - x^{2} + 4$.
$F = 8x^{2} - 6x + 5$.
Exercice 8 : Factorise : $G = (2x + 3)(x - 1) + (2x + 3)(4x + 5)$.
Correction :
Le facteur commun est $(2x + 3)$.
$G = (2x + 3) [ (x - 1) + (4x + 5) ]$.
$G = (2x + 3) [ x - 1 + 4x + 5 ]$.
$G = (2x + 3)(5x + 4)$.
Exercice 9 : Résous l'équation : $(2x - 4)(3x + 9) = 0$.
Correction :
C'est une équation-produit nul. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
Soit $2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Soit $3x + 9 = 0 \Rightarrow 3x = -9 \Rightarrow x = -3$.
Les solutions sont 2 et -3.
Exercice 10 : Résous l'équation : $x^{2} - 16 = 0$.
Correction :
On factorise d'abord : $(x - 4)(x + 4) = 0$.
D'après la règle de l'équation-produit :
$x - 4 = 0$ ou $x + 4 = 0$.
Les solutions sont 4 et -4.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : En calcul littéral, la rigueur est la clé. Fais particulièrement attention aux signes "moins" devant les parenthèses lors du développement. Pour factoriser, cherche toujours en premier un facteur commun avant de penser aux identités remarquables.
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