Niveau : difficile. Durée estimée : 120 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Dans un espace de Hilbert, presque tout revient à projeter. Le point d'un sous-espace fermé $F$ le plus proche de $x$ est sa projection orthogonale $p_F(x)$ ; si $(e_k)$ est une base orthonormale de $F$ (hilbertienne si $F$ est de dimension infinie), alors $p_F(x) = \sum_k \langle x, e_k \rangle \, e_k$. Exemple : dans $\mathbb{R}^3$, la projection de $x = (3, 1, 2)$ sur le plan engendré par $e_1 = (1, 0, 0)$ et $e_2 = (0, 1, 0)$ est $3e_1 + e_2 = (3, 1, 0)$.
Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, de norme $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$. Il est de Hilbert s'il est complet : toute suite de Cauchy y converge. Exemples : $\mathbb{R}^n$, $L^2$ (fonctions de carré intégrable), $\ell^2(\mathbb{N})$ (suites de carré sommable). Dans le cas complexe, le produit scalaire est ici linéaire à gauche et semi-linéaire à droite : $\langle x, \lambda y \rangle = \overline{\lambda} \, \langle x, y \rangle$. Une base hilbertienne est une famille orthonormale dont les combinaisons linéaires finies sont denses dans l'espace.
Formules à retenir :
- Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \, \|y\|$, avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.
- Parallélogramme : $\|a + b\|^2 + \|a - b\|^2 = 2\|a\|^2 + 2\|b\|^2$.
- Projection sur une droite : $p(v) = \dfrac{\langle v, u \rangle}{\|u\|^2} \, u$, pour $u \neq 0$.
- Gram-Schmidt : $u_k = v_k - \sum_{j < k} \langle v_k, e_j \rangle \, e_j$, puis $e_k = \dfrac{u_k}{\|u_k\|}$.
- Famille seulement orthogonale : $p_F(x) = \sum_k \dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} \, e_k$.
- Bessel, pour une famille orthonormale : $\sum_n |\langle x, e_n \rangle|^2 \le \|x\|^2$. Parseval, pour une base hilbertienne : $\sum_n |\langle x, e_n \rangle|^2 = \|x\|^2$.
Piège classique : une famille orthogonale n'est pas forcément orthonormale. Avant d'écrire $\langle x, e_k \rangle \, e_k$, calcule $\|e_k\|^2$ ; si ce n'est pas $1$, divise par ce nombre.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $u, v \in E$. Démontre que $|\langle u, v \rangle| \le \|u\| \, \|v\|$ en étudiant $P(t) = \|v + t u\|^2$ pour $t$ réel, puis donne le cas d'égalité.
Correction :
Si $u = 0$, les deux membres sont nuls. Sinon, $P(t) = \|u\|^2 t^2 + 2\langle u, v \rangle t + \|v\|^2$ est un trinôme du second degré positif sur $\mathbb{R}$, donc de discriminant négatif ou nul : $4\langle u, v \rangle^2 - 4\|u\|^2 \|v\|^2 \le 0$, d'où $|\langle u, v \rangle| \le \|u\| \, \|v\|$.
Égalité : le discriminant est nul, donc $P$ s'annule en un réel $t_0$, et $\|v + t_0 u\| = 0$ donne $v = -t_0 u$. Réciproquement, si $v = \lambda u$, les deux membres valent $|\lambda| \, \|u\|^2$. L'égalité a lieu si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires.
Exercice 2 : Dans $L^2([0\,;\,1])$ muni de $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x) g(x) \, dx$, on prend $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$. Calcule $\langle f, g \rangle$, $\|f\|$ et $\|g\|$, puis vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Correction :
Ce sont des intégrales de puissances : $\langle f, g \rangle = \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{1}{4}$, $\|f\|^2 = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$ et $\|g\|^2 = \int_0^1 x^4 \, dx = \frac{1}{5}$.
Donc $\langle f, g \rangle = \frac{1}{4}$, $\|f\| = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\|g\| = \frac{1}{\sqrt{5}}$, et $\frac{1}{4} \le \frac{1}{\sqrt{15}}$ car $\sqrt{15} \le 4$. L'inégalité est presque une égalité : le cosinus de l'angle entre $f$ et $g$ vaut $\frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0{,}97$.
Exercice 3 : Trois mesures d'une même longueur donnent $4{,}1$ cm, $3{,}9$ cm et $4{,}3$ cm (données fictives). Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire usuel, on pose $y = (4{,}1\,;\,3{,}9\,;\,4{,}3)$ et $u = (1\,;\,1\,;\,1)$. Calcule le projeté orthogonal de $y$ sur la droite engendrée par $u$, puis justifie que son coefficient est le réel $c$ qui minimise $\sum_{i=1}^{3} (y_i - c)^2$.
Correction :
On applique la projection sur une droite : $\langle y, u \rangle = 12{,}3$ et $\|u\|^2 = 3$, donc le projeté est $p = \frac{12{,}3}{3} \, u = 4{,}1 \, u$.
La somme à minimiser est $\|y - c\,u\|^2$, le carré de la distance de $y$ au point $c\,u$ de la droite : elle est minimale au projeté. Le reste $y - p = (0\,;\,-0{,}2\,;\,0{,}2)$ est bien orthogonal à $u$.
La meilleure valeur au sens des moindres carrés est $c = 4{,}1$ cm, la moyenne des mesures.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $E$ un espace préhilbertien, $u \neq 0$ et $v$ dans $E$, $p = \frac{\langle v, u \rangle}{\|u\|^2} \, u$ et $w = v - p$. Montre que $w$ est orthogonal à $u$, puis que $\|v\|^2 = \|p\|^2 + \|w\|^2$. C'est l'étape de base du procédé de Gram-Schmidt.
Correction :
Par linéarité à gauche, $\langle w, u \rangle = \langle v, u \rangle - \frac{\langle v, u \rangle}{\|u\|^2} \langle u, u \rangle = 0$, puisque $\langle u, u \rangle = \|u\|^2$.
Comme $p$ est colinéaire à $u$, $\langle p, w \rangle = 0$ aussi, et le développement de $\|p + w\|^2$ donne $\|v\|^2 = \|p\|^2 + \|w\|^2$ : c'est Pythagore. En particulier, $\|p\| \le \|v\|$.
Exercice 5 : Dans $L^2([0\,;\,1])$ muni de $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x) g(x) \, dx$, applique le procédé de Gram-Schmidt à la famille $(1, x)$. Déduis-en la fonction affine la plus proche de $h(x) = x^2$ pour cette norme.
Correction :
D'abord $\|1\|^2 = 1$, donc $e_1 = 1$. Ensuite $u_2 = x - \langle x, e_1 \rangle e_1 = x - \frac{1}{2}$ et $\|u_2\|^2 = \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx = \frac{1}{12}$, d'où $e_2 = \sqrt{12}\left(x - \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\,(2x - 1)$.
La meilleure approximation est la projection sur $\mathrm{Vect}(e_1, e_2)$ : $\langle h, e_1 \rangle = \frac{1}{3}$ et $\langle h, e_2 \rangle = \sqrt{3}\left(\frac{2}{4} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{6}$, donc $p(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}(2x - 1)$, soit $p(x) = x - \frac{1}{6}$.
Contrôle : $x^2 - x + \frac{1}{6}$ est bien orthogonal à $1$ et à $x$.
Exercice 6 : On munit $L^2([-\pi\,;\,\pi])$ de $\langle f, g \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) \, dx$. La famille $(1, \cos, \sin)$ est orthogonale (admis). Détermine la projection orthogonale de $f(x) = |x|$ sur $F = \mathrm{Vect}(1, \cos, \sin)$.
Correction :
Orthogonale ne veut pas dire orthonormale : $\|\cos\|^2 = \|\sin\|^2 = 1$, mais $\|1\|^2 = \frac{1}{\pi} \times 2\pi = 2$.
$f$ est paire, donc $\langle f, \sin \rangle = 0$. Puis $\langle f, 1 \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \, dx = \pi$ et, par parité puis par parties, $\langle f, \cos \rangle = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \cos x \, dx = \frac{2}{\pi} \times (-2) = -\frac{4}{\pi}$.
D'où $p_F(f)(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \cos x$. Le terme constant $\frac{\pi}{2}$ est la moyenne de $|x|$ ; trouver $\pi$, c'est avoir oublié de diviser par $\|1\|^2 = 2$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Soit $H$ un espace de Hilbert, $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une base hilbertienne, $x \in H$, $S_N = \sum_{n=0}^{N} \langle x, e_n \rangle \, e_n$ et $V_N = \mathrm{Vect}(e_0, \dots, e_N)$.
a) Montre que $\|x\|^2 = \sum_{n=0}^{N} |\langle x, e_n \rangle|^2 + \|x - S_N\|^2$ et déduis-en l'inégalité de Bessel.
b) Montre que $S_N$ tend vers $x$, puis démontre l'égalité de Parseval.
Correction :
a) Pour $k \le N$, $\langle x - S_N, e_k \rangle = \langle x, e_k \rangle - \langle x, e_k \rangle = 0$ par orthonormalité : $x - S_N$ est orthogonal à $V_N$, donc à $S_N$. Pythagore donne $\|x\|^2 = \|S_N\|^2 + \|x - S_N\|^2$, avec $\|S_N\|^2 = \sum_{n=0}^{N} |\langle x, e_n \rangle|^2$. Comme $\|x - S_N\|^2 \ge 0$, on obtient $\sum_{n=0}^{N} |\langle x, e_n \rangle|^2 \le \|x\|^2$ pour tout $N$ : c'est Bessel.
b) $S_N$ est donc la projection de $x$ sur $V_N$, le point de $V_N$ le plus proche de $x$. Soit $\varepsilon > 0$. Par densité, il existe $M$ et $y \in V_M$ avec $\|x - y\| \le \varepsilon$. Pour $N \ge M$, $y \in V_N$, donc $\|x - S_N\| \le \|x - y\| \le \varepsilon$.
Ainsi $\|x - S_N\| \to 0$ et, à la limite dans a), $\|x\|^2 = \sum_{n=0}^{\infty} |\langle x, e_n \rangle|^2$.
Exercice 8 : Sur $L^2([0\,;\,2\pi])$ à valeurs complexes, on pose $\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \overline{g(x)} \, dx$ ; les fonctions $e_k(x) = e^{ikx}$, $k \in \mathbb{Z}$, forment une base hilbertienne (admis). Pour $f(x) = x$, calcule $c_k = \langle f, e_k \rangle$, puis déduis de l'égalité de Parseval la valeur de $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$.
Correction :
D'abord $c_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x \, dx = \pi$. Pour $k \neq 0$, par parties, $\int_0^{2\pi} x e^{-ikx} \, dx = \left[\frac{x e^{-ikx}}{-ik}\right]_0^{2\pi} + \frac{1}{ik} \int_0^{2\pi} e^{-ikx} \, dx = \frac{2\pi i}{k}$, la dernière intégrale étant nulle. Donc $c_k = \frac{i}{k}$ et $|c_k|^2 = \frac{1}{k^2}$.
Ensuite $\|f\|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x^2 \, dx = \frac{4\pi^2}{3}$, et Parseval s'écrit $\frac{4\pi^2}{3} = \pi^2 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$, car $k$ et $-k$ donnent le même terme.
On obtient $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Oublier $c_0$ ou les indices négatifs fausse le résultat.
Exercice 9 : Soit $H$ un espace de Hilbert réel, $F$ un sous-espace vectoriel fermé, $x \in H$, $d = \inf_{y \in F} \|x - y\|$ et $(y_n)$ une suite de $F$ telle que $\|x - y_n\| \to d$.
a) Montre avec l'identité du parallélogramme que $(y_n)$ est de Cauchy, et déduis-en $y \in F$ tel que $\|x - y\| = d$.
b) Montre que $z = x - y$ est orthogonal à $F$, puis que l'écriture $x = y + z$, avec $y \in F$ et $z \in F^{\perp}$, est unique.
Correction :
a) Avec $a = x - y_n$ et $b = x - y_m$ : $\|y_m - y_n\|^2 = 2\|x - y_n\|^2 + 2\|x - y_m\|^2 - 4\left\|x - \frac{y_n + y_m}{2}\right\|^2$. Le milieu est dans $F$, donc le dernier carré vaut au moins $d^2$, et $\|y_m - y_n\|^2 \le 2\|x - y_n\|^2 + 2\|x - y_m\|^2 - 4d^2 \to 0$.
La suite est de Cauchy dans $F$, fermé dans l'espace complet $H$, donc complet : $y_n \to y \in F$, et $\|x - y\| = d$ par continuité de la norme.
b) Pour $v \in F$ et $t$ réel, $y + tv \in F$, donc $\|z - tv\|^2 \ge \|z\|^2$, soit $t^2 \|v\|^2 - 2t \langle z, v \rangle \ge 0$. On divise par $t > 0$ et on fait tendre $t$ vers $0$ : $\langle z, v \rangle \le 0$ ; avec $t < 0$, $\langle z, v \rangle \ge 0$. Donc $z \in F^{\perp}$.
Unicité : si $y + z = y' + z'$, alors $y - y' = z' - z$ est dans $F \cap F^{\perp}$, orthogonal à lui-même, donc nul. C'est la complétude qui travaille ici, pas une compacité : en dimension infinie, la boule unité fermée n'est jamais compacte.
Exercice 10 : Dans $\ell^2(\mathbb{N})$ réel, muni de $\langle x, y \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} x_n y_n$, on note $e_n$ la suite dont seul le terme de rang $n$ vaut $1$, $F_N$ le sous-espace des suites nulles à partir du rang $N$ et $c_{00}$ celui des suites n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls.
a) Détermine $F_N^{\perp}$ et la projection orthogonale de $x$ sur $F_N$.
b) Montre que $c_{00}^{\perp} = \{0\}$, puis que $c_{00}$ n'est pas fermé.
Correction :
a) $F_N = \mathrm{Vect}(e_0, \dots, e_{N-1})$ est de dimension finie, donc fermé, de base orthonormale $(e_0, \dots, e_{N-1})$. Comme $\langle y, e_n \rangle = y_n$ : $F_N^{\perp} = \{y : y_n = 0 \text{ pour } n < N\}$ et $p_{F_N}(x) = (x_0, \dots, x_{N-1}, 0, 0, \dots)$, la suite tronquée.
b) Un $y$ orthogonal à $c_{00}$ l'est à chaque $e_n$, donc $y_n = 0$ pour tout $n$ : $c_{00}^{\perp} = \{0\}$. Si $c_{00}$ était fermé, l'exercice 9 donnerait $\ell^2 = c_{00} \oplus c_{00}^{\perp} = c_{00}$. Or $\left(\frac{1}{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est dans $\ell^2$, puisque $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (exercice 8), mais pas dans $c_{00}$.
Donc $c_{00}$ n'est pas fermé : sans l'hypothèse « fermé », le théorème de projection tombe.
Bilan et conseils
Presque tous ces exercices reposent sur un seul geste : projeter. Pour approcher un vecteur par un sous-espace, trouve une base orthonormale de ce sous-espace (au besoin par Gram-Schmidt), puis calcule les produits scalaires.
On retrouve ces notions dans la partie 8.3 « Espaces de Hilbert » du programme de l'agrégation externe de mathématiques, session 2027.
Ce qu'il faut retenir : la projection orthogonale donne le point le plus proche, et ses coefficients ne valent $\langle x, e_k \rangle$ que si la famille est orthonormale. En dimension infinie, c'est la complétude qui garantit son existence, pas la compacité.
Sources
Ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche, programme du concours externe de l'agrégation, section mathématiques, session 2027, parties 8.3 « Espaces de Hilbert » et 10.3 « Analyse de Fourier », sur devenirenseignant.gouv.fr.