Niveau : moyen. Durée estimée : 90 min. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour calculer avec le produit tensoriel, tu développes comme un produit de polynômes : $u \otimes v$ est linéaire en $u$ et linéaire en $v$, mais l'ordre des facteurs ne change jamais. Par exemple :
$$(e_1 + 2e_2) \otimes (f_1 - f_2) = e_1 \otimes f_1 - e_1 \otimes f_2 + 2\, e_2 \otimes f_1 - 2\, e_2 \otimes f_2.$$
Ici $U$ et $V$ sont deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps $K$, de bases $(e_1, \dots, e_m)$ et $(f_1, \dots, f_n)$. Les $e_i \otimes f_j$ forment une base de $U \otimes V$ : un tenseur $w = \sum_{i,j} w_{ij}\, e_i \otimes f_j$ se range dans une matrice $(w_{ij})$ à $m$ lignes et $n$ colonnes. Un tenseur de la forme $u \otimes v$ s'appelle un tenseur pur, ou décomposable.
Pour définir une application linéaire sur $U \otimes V$, tu passes par la propriété universelle (cours de Patrick Polo, chapitre 7) : toute application bilinéaire $b : U \times V \to W$ donne une unique application linéaire $\tilde{b} : U \otimes V \to W$ telle que $\tilde{b}(u \otimes v) = b(u, v)$.
Formules à retenir :
- $(\lambda u + u') \otimes v = \lambda\,(u \otimes v) + u' \otimes v$, et de même à droite.
- $\dim(U \otimes V) = \dim U \times \dim V$.
- Si $u = \sum_i a_i e_i$ et $v = \sum_j b_j f_j$, alors $u \otimes v = \sum_{i,j} a_i b_j\, e_i \otimes f_j$ : sa matrice $(a_i b_j)$ est de rang au plus $1$.
- $U^* \otimes V \simeq \mathcal{L}(U, V)$ par $\ell \otimes v \mapsto \big(x \mapsto \ell(x)\, v\big)$.
Piège classique : un élément de $U \otimes V$ n'est pas toujours un tenseur pur. Dès que $U$ et $V$ sont de dimension au moins $2$, $e_1 \otimes f_1 + e_2 \otimes f_2$ ne s'écrit pas $u \otimes v$, car sa matrice est de rang $2$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soient $u, u' \in U$ et $v, v' \in V$.
a) Développe $(2u + u') \otimes (v - 3v')$ en fonction de $u \otimes v$, $u \otimes v'$, $u' \otimes v$ et $u' \otimes v'$.
b) Un camarade écrit $(2u) \otimes (2v) = 2\,(u \otimes v)$. Corrige-le.
Correction :
On développe par linéarité à gauche, puis à droite, sans échanger les facteurs.
a) On obtient $2u \otimes (v - 3v') + u' \otimes (v - 3v')$, d'où $(2u + u') \otimes (v - 3v') = 2\, u \otimes v - 6\, u \otimes v' + u' \otimes v - 3\, u' \otimes v'$.
b) Le scalaire $2$ sort une fois de chaque facteur : $(2u) \otimes (2v) = 4\,(u \otimes v)$. L'application $(u, v) \mapsto u \otimes v$ est bilinéaire, pas linéaire par rapport au couple.
Exercice 2 : On note $(e_1, e_2)$ et $(f_1, f_2, f_3)$ les bases canoniques de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$.
a) Donne une base et la dimension de $\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^3$.
b) Compare avec la dimension de $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^3$.
c) Quelle est la dimension de $(\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{R}^4$ ?
Correction :
Un produit tensoriel multiplie les dimensions, un produit cartésien les additionne.
a) Les $2 \times 3$ tenseurs $e_i \otimes f_j$ forment une base, d'où $\dim(\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^3) = 6$.
b) Un élément de $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^3$ est un couple de vecteurs, repéré par $2 + 3$ coordonnées : $\dim(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^3) = 5$.
c) $\dim\big((\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{R}^4\big) = 6 \times 4 = 24$. Erreur à éviter : additionner les dimensions, ce qui donnerait $9$.
Exercice 3 : Dans $\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^3$, avec les bases canoniques, on pose $u = (1, 2)$ et $v = (3, 1, 4)$.
a) Donne les coordonnées de $u \otimes v$ dans la base des $e_i \otimes f_j$.
b) Range-les dans une matrice $2 \times 3$ et donne son rang.
Correction :
Le coefficient de $e_i \otimes f_j$ est le produit $a_i b_j$ des coordonnées de $u$ et de $v$.
a) $u = e_1 + 2e_2$ et $v = 3f_1 + f_2 + 4f_3$. Dans l'ordre $e_1 \otimes f_1, e_1 \otimes f_2, e_1 \otimes f_3, e_2 \otimes f_1, e_2 \otimes f_2, e_2 \otimes f_3$, les coordonnées sont $3, 1, 4, 6, 2, 8$.
b) $$M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 6 & 2 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.$$
La seconde ligne vaut deux fois la première : $M$ est de rang $1$, comme la matrice de tout tenseur pur non nul.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : On suppose $\dim U = \dim V = 2$ et on pose $w = \alpha\, e_1 \otimes f_1 + \beta\, e_1 \otimes f_2 + \gamma\, e_2 \otimes f_1 + \delta\, e_2 \otimes f_2$.
a) Démontre que $w$ est un tenseur pur si et seulement si $\alpha\delta - \beta\gamma = 0$.
b) Les tenseurs $w_1 = e_1 \otimes f_1 + 2\, e_1 \otimes f_2 + 3\, e_2 \otimes f_1 + 6\, e_2 \otimes f_2$ et $w_2 = e_1 \otimes f_1 + e_2 \otimes f_2$ sont-ils purs ? Si oui, écris-les sous la forme $u \otimes v$.
Correction :
On passe par la matrice $M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ de $w$, dont le déterminant est $\alpha\delta - \beta\gamma$.
a) Si $w = (a e_1 + b e_2) \otimes (c f_1 + d f_2)$, alors $M = \begin{pmatrix} ac & ad \\ bc & bd \end{pmatrix}$ et $\det M = abcd - adbc = 0$.
Réciproquement, si $\det M = 0$, les colonnes de $M$ sont liées : il existe une colonne $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et des scalaires $c$, $d$ tels que la première colonne vaille $c$ fois celle-ci et la seconde $d$ fois. On a alors $(\alpha, \beta, \gamma, \delta) = (ac, ad, bc, bd)$, donc $w = (a e_1 + b e_2) \otimes (c f_1 + d f_2)$.
b) Pour $w_1$, $1 \times 6 - 2 \times 3 = 0$ : sa seconde colonne $\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ vaut deux fois la première, d'où $w_1 = (e_1 + 3e_2) \otimes (f_1 + 2f_2)$. Pour $w_2$, $1 \times 1 - 0 \times 0 = 1 \neq 0$ : $w_2$ n'est pas pur.
Erreur à éviter : croire que $w_2$, qui a l'air si simple, se factorise. Une somme de deux tenseurs purs n'en est pas un en général.
Exercice 5 : En information quantique, un qubit est un système à deux niveaux, et l'état de deux qubits est un vecteur de $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ (cours de Serge Haroche au Collège de France). On note $(\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle)$ la base de $\mathbb{C}^2$ et $\lvert ij \rangle = \lvert i \rangle \otimes \lvert j \rangle$. Un état est intriqué, ou non séparable, s'il n'est pas un tenseur pur.
a) Pour $\theta \in [0\,;\,\pi/2]$, on pose $\psi_\theta = \cos\theta\, \lvert 00 \rangle + \sin\theta\, \lvert 11 \rangle$. Pour quelles valeurs de $\theta$ cet état est-il intriqué ?
b) L'état $\varphi = \frac{1}{2}\left(\lvert 00 \rangle - \lvert 01 \rangle + \lvert 10 \rangle - \lvert 11 \rangle\right)$ est-il intriqué ? Sinon, écris-le comme produit de deux états d'un qubit.
Correction :
On applique le critère de l'exercice 4, valable sur tout corps, donc sur $\mathbb{C}$, aux coefficients $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ de $\lvert 00 \rangle, \lvert 01 \rangle, \lvert 10 \rangle, \lvert 11 \rangle$.
a) Ici $\alpha = \cos\theta$, $\beta = \gamma = 0$, $\delta = \sin\theta$, donc $\alpha\delta - \beta\gamma = \cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$. Sur $[0\,;\,\pi/2]$, ce nombre ne s'annule qu'en $0$ et en $\pi/2$, où l'état vaut $\lvert 0 \rangle \otimes \lvert 0 \rangle$ ou $\lvert 1 \rangle \otimes \lvert 1 \rangle$. Donc $\psi_\theta$ est intriqué pour $\theta \in \,]0\,;\,\pi/2[$.
b) $\alpha\delta - \beta\gamma = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = 0$ : $\varphi$ n'est pas intriqué. La seconde colonne de sa matrice est l'opposée de la première, d'où $\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\lvert 0 \rangle + \lvert 1 \rangle\right) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\lvert 0 \rangle - \lvert 1 \rangle\right)$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 6 : Soit $U$ de dimension $n$, de base $(e_1, \dots, e_n)$, et $(e_1^*, \dots, e_n^*)$ sa base duale : $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$, qui vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon. On note $\Phi : U^* \otimes U \to \mathrm{End}(U)$ l'application linéaire telle que $\Phi(\ell \otimes v)(x) = \ell(x)\, v$.
a) Justifie l'existence de $\Phi$, calcule $\Phi(e_j^* \otimes e_i)$ et déduis-en que $\Phi$ est un isomorphisme.
b) Ici $U = \mathbb{R}^2$. Écris $\Phi^{-1}(f)$, où $f$ a pour matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ dans la base canonique.
c) L'identité de $\mathbb{R}^2$ correspond-elle à un tenseur pur ?
Correction :
On obtient $\Phi$ par la propriété universelle, puis on suit l'image d'une base.
a) L'application $(\ell, v) \mapsto \big(x \mapsto \ell(x)\, v\big)$ est bilinéaire, d'où $\Phi$. Puis $\Phi(e_j^* \otimes e_i)(e_k) = \delta_{jk}\, e_i$ : cet endomorphisme envoie $e_j$ sur $e_i$ et les autres $e_k$ sur $0$. Sa matrice est $E_{ij}$ (un seul coefficient $1$, en ligne $i$ et colonne $j$). Ainsi $\Phi$ envoie une base sur la base $(E_{ij})$ de $\mathcal{M}_n(K)$ : c'est un isomorphisme, et la matrice $(a_{ij})$ correspond au tenseur $\sum_{i,j} a_{ij}\, e_j^* \otimes e_i$.
b) $\Phi^{-1}(f) = e_1^* \otimes e_1 + 2\, e_2^* \otimes e_1 + 3\, e_1^* \otimes e_2 + 4\, e_2^* \otimes e_2$. Vérification : ce tenseur envoie $e_1$ sur $e_1 + 3e_2$, la première colonne de $A$.
c) L'identité correspond à $e_1^* \otimes e_1 + e_2^* \otimes e_2$, dont la matrice $I_2$ a pour déterminant $1 \neq 0$ : d'après l'exercice 4, ce n'est pas un tenseur pur.
Erreur à éviter : $a_{ij}$ va avec $e_j^* \otimes e_i$, l'indice de colonne est porté par la forme linéaire.
Exercice 7 : On garde les notations de l'exercice 6.
a) Justifie qu'il existe une unique forme linéaire $c : U^* \otimes U \to K$ telle que $c(\ell \otimes v) = \ell(v)$. On l'appelle la contraction.
b) Démontre que, pour tout $T \in U^* \otimes U$, $c(T)$ est la trace de la matrice de $\Phi(T)$ dans la base $(e_i)$.
c) Déduis-en, sans matrice de passage, que la trace d'un endomorphisme ne dépend pas de la base choisie.
d) Calcule $c$ pour le tenseur de l'exercice 6 b).
Correction :
Deux applications linéaires égales sur une base sont égales : on vérifie tout sur les $e_j^* \otimes e_i$.
a) $(\ell, v) \mapsto \ell(v)$ est bilinéaire sur $U^* \times U$ : la propriété universelle donne $c$, et son unicité.
b) Les deux membres sont linéaires en $T$. Or $c(e_j^* \otimes e_i) = e_j^*(e_i) = \delta_{ij}$, et la trace de $E_{ij}$ vaut aussi $\delta_{ij}$ : l'égalité vaut pour tout $T$.
c) Soit $f \in \mathrm{End}(U)$. Ni $\Phi$ ni $c$ ne dépendent d'une base. Le point b), valable pour n'importe quelle base de $U$, montre que la trace de la matrice de $f$ y vaut toujours $c\big(\Phi^{-1}(f)\big)$ : c'est le même nombre pour toutes les bases.
d) Avec $T = \Phi^{-1}(f)$ : $c(T) = e_1^*(e_1) + 2\, e_2^*(e_1) + 3\, e_1^*(e_2) + 4\, e_2^*(e_2) = 1 + 0 + 0 + 4$, donc $c(T) = 5$, qui est bien $\mathrm{tr}\, A$.
Exercice 8 : Soient $V_1$, $V_2$, $V_3$ de dimensions finies $n_1$, $n_2$, $n_3$. Démontre qu'il existe un unique isomorphisme $\phi : (V_1 \otimes V_2) \otimes V_3 \to V_1 \otimes (V_2 \otimes V_3)$ tel que $\phi\big((u \otimes v) \otimes w\big) = u \otimes (v \otimes w)$ pour tous $u \in V_1$, $v \in V_2$, $w \in V_3$.
Correction :
On définit $\phi$ sur une base, puis on vérifie la formule en développant.
Prends des bases $(a_i)$, $(b_j)$, $(c_k)$ de $V_1$, $V_2$, $V_3$. Les $(a_i \otimes b_j) \otimes c_k$ forment une base de l'espace de départ, les $a_i \otimes (b_j \otimes c_k)$ une base de l'espace d'arrivée, chacune à $n_1 n_2 n_3$ éléments. L'application linéaire $\phi$ qui envoie la première sur la seconde est un isomorphisme.
Si $u = \sum x_i a_i$, $v = \sum y_j b_j$ et $w = \sum z_k c_k$, la bilinéarité donne $(u \otimes v) \otimes w = \sum_{i,j,k} x_i y_j z_k\, (a_i \otimes b_j) \otimes c_k$. Son image par $\phi$ est $\sum_{i,j,k} x_i y_j z_k\, a_i \otimes (b_j \otimes c_k)$, qui vaut $u \otimes (v \otimes w)$ par le même développement.
Enfin, les $(u \otimes v) \otimes w$ engendrent l'espace de départ : deux applications linéaires qui vérifient la formule sont égales. Donc $\phi$ est unique et ne dépend pas des bases choisies : l'isomorphisme est canonique, et on écrit simplement $V_1 \otimes V_2 \otimes V_3$.
Erreur à éviter : poser $\phi$ sur les seuls tenseurs purs sans vérifier qu'elle est bien définie, car un tenseur s'écrit de plusieurs façons comme somme de tenseurs purs.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : tu calcules avec $\otimes$ comme avec un produit, sans changer l'ordre des facteurs. Un tenseur de $U \otimes V$ se lit comme une matrice, et il est pur exactement quand cette matrice est de rang au plus $1$. Pour définir une application sur $U \otimes V$, pars d'une application bilinéaire ; pour prouver une égalité entre applications linéaires, vérifie-la sur une base ou sur les tenseurs purs.
Avant un partiel, refais les exercices 4 et 7 sans regarder la correction : le premier tend le piège des tenseurs non purs, le second résume le lien entre tenseurs, endomorphismes et trace.
Sources
Patrick Polo, « Produit tensoriel et applications », chapitre 7 du polycopié du cours 4M001 « Géométrie affine et projective », version du 2 décembre 2016 (propriété universelle, dimension, tenseurs décomposables, associativité, $V^* \otimes W \simeq \mathrm{Hom}(V, W)$).
Serge Haroche, « Intrication, complémentarité et décohérence », premier cours de la chaire de physique quantique, Collège de France, 8 janvier 2002 (qubits, états non séparables).