Exercices Corrigés : Rayon et Somme des Séries Entières
Compétences travaillées : Calcul du rayon de convergence d'une série entière par les critères d'Alembert ou de Cauchy. Calcul de la somme d'une série entière par identification avec des séries connues (géométrique, exponentielle, logarithmique, etc.) ou par dérivation/intégration terme à terme.
Erreurs fréquentes : Oubli de vérifier les conditions d'application des critères (par exemple, termesz nul). Difficulté à identifier la série connue dont la somme est recherchée. Erreurs de calcul dans les dérivations ou intégrations terme à terme. Confusion entre intervalle de convergence et rayon de convergence.
Cette série d'exercices te permettra de maîtriser le calcul du rayon de convergence, une étape essentielle pour étudier les séries entières. Nous aborderons ensuite la recherche de la somme de ces séries, en utilisant diverses techniques.
Exercice 1 : Soit la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
a) Détermine le rayon de convergence $R$.
b) Pour $|x| < R$, trouve la somme de cette série.
Correction :
a) Calcul du rayon de convergence :
Il s'agit d'une série géométrique de terme général $a_n = x^n$. Le terme est $a_n = 1 \cdot x^n$. Si on considère $a_n = 1$ et $a_{n+1} = x$, le rapport est $x$. On peut aussi voir le terme général comme $u_n(x) = x^n$. Si on applique le critère de d'Alembert pour le terme général $|u_n(x)| = |x|^n$ :
$\lim_{n \to \infty} \frac{|x|^{n+1}}{|x|^n} = \lim_{n \to \infty} |x| = |x|$.
Pour que la série converge, il faut que cette limite soit $< 1$, donc $|x| < 1$. Le rayon de convergence est $R=1$.
b) Calcul de la somme :
Pour $|x|<1$, la série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ converge vers $\frac{1}{1-x}$.
Résultat : Pour $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$, $R=1$ et la somme est $\frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$.
Exercice 2 : Détermine le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
Correction :
Le terme général est $u_n(x) = \frac{x^n}{n!}$. Pour appliquer le critère de d'Alembert, on utilise la valeur absolue du terme général : $|u_n(x)| = \frac{|x|^n}{n!}$.
Calculons la limite du rapport de termes consécutifs :
$\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} = \frac{|x|^{n+1}/(n+1)!}{|x|^n/n!} = \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{|x|^n} = \frac{|x|}{n+1}$.
La limite de cette expression lorsque $n \to \infty$ est :
$\lim_{n \to \infty} \frac{|x|}{n+1} = 0$ (car $|x|$ est fixé et $n+1 \to \infty$).
Cette limite est 0, qui est toujours inférieur à 1, quel que soit $x$. Donc, la série converge pour tout $x \in \mathbb{R}$. Le rayon de convergence est infini.
Résultat : Le rayon de convergence $R$ de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ est $R = +\infty$.
Point méthode : Les factorielles dans le dénominateur tendent souvent vers un rayon de convergence infini.
Exercice 3 : Détermine le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$.
Correction :
Le terme général est $u_n(x) = n x^n$. En valeur absolue, $|u_n(x)| = n |x|^n$.
Appliquons le critère de d'Alembert :
$\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} = \frac{(n+1)|x|^{n+1}}{n|x|^n} = \frac{n+1}{n} |x| = \left(1 + \frac{1}{n}\right) |x|$.
La limite lorsque $n \to \infty$ est :
$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) |x| = 1 \cdot |x| = |x|$.
Pour la convergence, il faut $|x| < 1$. Le rayon de convergence est donc $R=1$.
Résultat : Le rayon de convergence $R$ de $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ est $R = 1$.
Exercice 4 : Détermine le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n}$. (Pour $n \ge 1$ pour que le terme soit défini).
Correction :
Le terme général est $u_n(x) = \frac{x^{2n}}{n}$ pour $n \ge 1$. On peut écrire $u_n(x) = \frac{(x^2)^n}{n}$.
Posons $y = x^2$. La série devient $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}$.
Cherchons le rayon de convergence de cette série en $y$. Le terme général est $v_n(y) = \frac{y^n}{n}$.
Appliquons d'Alembert :
$\frac{|v_{n+1}(y)|}{|v_n(y)|} = \frac{|y|^{n+1}/(n+1)}{|y|^n/n} = \frac{|y|^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{|y|^n} = \frac{n}{n+1} |y| = \frac{1}{1+1/n} |y|$.
La limite lorsque $n \to \infty$ est $|y|$.
Pour la convergence, il faut $|y| < 1$. Le rayon de convergence pour la série en $y$ est $R_y = 1$.
Maintenant, revenons à $x$. On a $y = x^2$. Donc, la convergence a lieu si $|x^2| < 1$, ce qui est équivalent à $|x|^2 < 1$. Ceci est vrai si $|x| < 1$.
Le rayon de convergence pour la série en $x$ est donc $R=1$.
Résultat : Le rayon de convergence $R$ de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n}$ est $R = 1$.
Point méthode : Lorsqu'il y a une puissance de $x$ qui n'est pas $n$ (par exemple $x^{2n}, x^{3n}$), on peut faire un changement de variable pour la simplifier.
Exercice 5 : Détermine le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2+1}$.
Correction :
Le terme général est $u_n(x) = \frac{x^n}{n^2+1}$. En valeur absolue : $|u_n(x)| = \frac{|x|^n}{n^2+1}$.
Appliquons le critère de d'Alembert :
$\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} = \frac{|x|^{n+1}/((n+1)^2+1)}{|x|^n/(n^2+1)} = \frac{|x|^{n+1}}{|x|^n} \times \frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} = |x| \times \frac{n^2+1}{n^2+2n+1+1} = |x| \times \frac{n^2+1}{n^2+2n+2}$.
Pour trouver la limite de la fraction :
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{n^2+2n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1+1/n^2)}{n^2(1+2/n+2/n^2)} = \frac{1}{1} = 1$.
Donc, la limite du rapport est $|x| \times 1 = |x|$.
Pour la convergence, il faut $|x| < 1$. Le rayon de convergence est $R=1$.
Résultat : Le rayon de convergence $R$ de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2+1}$ est $R = 1$.
Exercice 6 : Détermine le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{n+1}) x^n$.
Correction :
Le terme général est $u_n(x) = \frac{1}{n+1} x^n$. Appliquons le critère de d'Alembert :
$\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} = \frac{|x|^{n+1}/(n+2)}{|x|^n/(n+1)} = |x| \frac{n+1}{n+2}$.
La limite du rapport lorsque $n \to \infty$ est :
$\lim_{n \to \infty} |x| \frac{n+1}{n+2} = |x| \lim_{n \to \infty} \frac{n(1+1/n)}{n(1+2/n)} = |x| \times 1 = |x|$.
Pour la convergence, il faut $|x| < 1$. Le rayon de convergence est $R=1$.
Résultat : Le rayon de convergence $R$ de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}$ est $R = 1$.
Astuce : Ce type de série ressemble à la série géométrique mais avec un coefficient devant $x^n$. Le rayon de convergence est souvent le même que celui de la série géométrique.
Exercice 7 : Pour la série entière $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$, détermine son intervalle de convergence.
Correction :
Nous avons déjà trouvé au Exercice 4 (en posant $y=x$) que le rayon de convergence est $R=1$. Il faut donc étudier la convergence aux bornes de l'intervalle ouvert $(-1, 1)$, c'est-à-dire en $x=-1$ et $x=1$.
1. Cas $x=1$ :
La série devient $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$. C'est la série harmonique, qui est divergente.
2. Cas $x=-1$ :
La série devient $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$. C'est une série alternée.
Vérifions les conditions du critère de Leibniz :
- Les termes alternent : $(-1)^n$. Oui.
- La valeur absolue du terme général tend vers 0 : $|\frac{(-1)^n}{n}| = \frac{1}{n}$. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. Oui.
- La suite des valeurs absolues $(\frac{1}{n})$ est décroissante. Oui.
Donc, la série converge pour $x=-1$.
L'intervalle de convergence est donc $[-1, 1)$.
Résultat : L'intervalle de convergence de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ est $[-1, 1)$.
Point méthode : Une fois le rayon de convergence $R$ trouvé, il faut TOUJOURS vérifier la convergence aux points $x=R$ et $x=-R$ en utilisant les critères de convergence des séries numériques.
Exercice 8 : Pour la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n+1}$, détermine son intervalle de convergence.
Correction :
Le terme général est $u_n(x) = (-1)^n \frac{x^n}{n+1}$. On peut écrire $u_n(x) = \frac{(-x)^n}{n+1}$.
Appliquons le critère de d'Alembert :
$\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} = \frac{|-x|^{n+1}/(n+2)}{|-x|^n/(n+1)} = |-x| \frac{n+1}{n+2} = |x| \frac{n+1}{n+2}$.
La limite lorsque $n \to \infty$ est $|x|$. Pour la convergence, il faut $|x| < 1$. Le rayon de convergence est $R=1$.
Maintenant, étudions les bornes $x=1$ et $x=-1$.
1. Cas $x=1$ :
La série devient $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1^n}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$. C'est une série alternée (voir Exercice 7b), elle converge.
2. Cas $x=-1$ :
La série devient $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(-1)^n}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2n}}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}$.
Cette série est $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ (en posant $k=n+1$), qui est la série harmonique. Elle diverge.
L'intervalle de convergence est donc $(-1, 1]$.
Résultat : L'intervalle de convergence de $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n+1}$ est $(-1, 1]$.
Exercice 9 : Trouve la somme de la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $|x|<1$. (Indice : dérivation terme à terme)
Correction :
Le rayon de convergence de cette série est $R=1$ (par le même raisonnement que l'exercice 6, mais avec $x$ au lieu de $-x$).
Considérons la série entière $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
Dérivons terme à terme la série pour $|x|<1$ :
$S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)x^n}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
Nous reconnaissons la série géométrique de terme général $x^n$. Pour $|x|<1$, sa somme est $\frac{1}{1-x}$.
Donc, $S'(x) = \frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$.
Pour trouver $S(x)$, il faut intégrer $S'(x)$ par rapport à $x$ :
$S(x) = \int \frac{1}{1-x} dx = -\ln|1-x| + C$.
Pour trouver la constante $C$, nous pouvons évaluer $S(x)$ pour une valeur de $x$ dans l'intervalle de convergence, par exemple $x=0$.
Dans la série originale, $S(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{0^{n+1}}{n+1}$. Tous les termes sont nuls (car $0^{n+1}=0$ pour $n+1 \ge 1$). Donc $S(0) = 0$.
Utilisons ceci dans l'expression intégrée :
$S(0) = -\ln|1-0| + C = -\ln(1) + C = 0 + C = C$.
Donc, $C=0$.
La somme de la série est $S(x) = -\ln(1-x)$ pour $|x|<1$ (puisque pour $|x|<1$, $1-x>0$, donc $|1-x| = 1-x$).
Résultat : La somme de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $|x|<1$ est $-\ln(1-x)$.
Point méthode : Pour trouver la somme d'une série entière, on peut souvent la dériver ou l'intégrer terme à terme pour la transformer en une série dont on connaît la somme (souvent géométrique).
Exercice 10 : Trouve la somme de la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}$ pour $|x|<1$. (Indice : dérivation terme à terme)
Correction :
Le rayon de convergence de cette série est $R=1$ (vu à l'Exercice 3, où il était $\sum n x^n$ qui a le même $R$).
Considérons la série $T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}$.
On peut écrire les premiers termes : $0 \cdot x^{-1} + 1 \cdot x^0 + 2 \cdot x^1 + 3 \cdot x^2 + \dots$. Le terme $0 \cdot x^{-1}$ n'est pas bien défini et est nul si on le prend comme limite. En pratique, on commence souvent la summation à $n=1$ pour ce type de série : $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$.
Soit $T(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$.
Cette série est la dérivée terme à terme de la série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$.
En effet, si $G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$, alors $G'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$.
Donc, $T(x) = G'(x)$.
Comme $G(x) = \frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$, alors :
$T(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{d}{dx} (1-x)^{-1} = -1 (1-x)^{-2} (-1) = \frac{1}{(1-x)^2}$.
La somme est valide pour $|x|<1$.
Résultat : La somme de $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ pour $|x|<1$ est $\frac{1}{(1-x)^2}$.
Point méthode : La dérivée de la série géométrique est la série $\sum nx^{n-1}$. L'intégrale de la série géométrique est $\sum \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (plus un terme constant).