Niveau : supérieur, du rayon seul jusqu'à la somme complète. Durée estimée : 2 h. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Devant $\sum a_n x^n$, cherche d'abord le rayon de convergence $R$, puis la somme $S(x)$ sur $]-R\,;\,R[$. Quand les $a_n$ sont non nuls et que $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ tend vers $\ell$, la règle de d'Alembert donne $R = \frac{1}{\ell}$ (avec $R = +\infty$ si $\ell = 0$) : pour $\sum \frac{n}{2^n}\,x^n$, le rapport $\frac{n+1}{2n}$ tend vers $\frac12$, donc $R = 2$. Sinon, compare : si $a_n = O(b_n)$, c'est-à-dire $|a_n| \le C\,|b_n|$ à partir d'un certain rang, le rayon de $\sum a_n x^n$ est au moins celui de $\sum b_n x^n$ ; si $a_n \sim b_n$, les deux rayons sont égaux. Ainsi $\sum \frac{n}{2^n + 1}\,x^n$ a aussi pour rayon $2$.
Retiens aussi ceci. Multiplier $a_n$ par une puissance de $n$ ne change pas $R$. S'il existe un $x_0$ où le terme général $a_n x_0^n$ ne tend pas vers $0$, alors $R \le |x_0|$. Et si seules les puissances paires ou impaires de $x$ apparaissent, applique la règle de d'Alembert au terme complet, pas aux coefficients.
Pour la somme : sur $]-R\,;\,R[$, $S$ se dérive et se primitive terme à terme, sans changer de rayon. Ton travail est de ramener la série à une somme connue : décaler l'indice, multiplier ou diviser par une puissance de $x$, dériver ou primitiver, ou découper le coefficient. Une fraction en $n$ se décompose en éléments simples, c'est-à-dire en somme de fractions à un seul facteur au dénominateur, comme $\frac{1}{n(n+2)} = \frac12\left(\frac1n - \frac{1}{n+2}\right)$. Exemple de décalage : $\sum_{n \ge 0} \frac{x^{n+2}}{n!} = x^2 e^x$ pour tout réel $x$.
Formules à retenir :
- Pour $|x| \lt 1$ : $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$.
- Pour tout réel $x$ : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$, $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \operatorname{ch} x$ (cosinus hyperbolique) et $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x$.
- Pour $n \ge k$ : $\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n!} = \frac{1}{(n-k)!}$.
Piège classique : pour retomber sur une série connue, tu divises souvent par $x$. La formule obtenue ne vaut alors que pour $x \neq 0$. En $0$, la série converge toujours et vaut $a_0$ : ce cas se traite à part, sinon ta somme est fausse en un point.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Détermine le rayon de convergence de $\sum_{n \ge 0} \frac{n^2+1}{3^n+n}\, x^n$.
Correction :
On remplace le coefficient par un équivalent simple. Comme $n^2 + 1 \sim n^2$ et $3^n + n \sim 3^n$, on a $a_n \sim \frac{n^2}{3^n}$ : même rayon que $\sum \frac{n^2}{3^n}\, x^n$. Le facteur $n^2$ ne change pas le rayon, et $\sum \left(\frac{x}{3}\right)^n$ converge si et seulement si $|x| \lt 3$.
Résultat : $R = 3$.
Exercice 2 : On pose $a_n = 2 + (-1)^n$.
a) Montre que $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ n'a pas de limite, puis trouve le rayon de $\sum a_n x^n$ par comparaison.
b) Calcule sa somme $S(x)$.
Correction :
On encadre le coefficient, puis on coupe la série en deux séries géométriques.
a) $a_n$ vaut $3$ pour $n$ pair et $1$ pour $n$ impair : le rapport vaut tour à tour $\frac13$ et $3$, la règle de d'Alembert ne conclut pas. Mais $1 \le a_n \le 3$, donc $a_n = O(1)$ et $1 = O(a_n)$ : la série a le rayon de $\sum x^n$, soit $R = 1$.
b) Pour $|x| \lt 1$ : $S(x) = 2\sum x^n + \sum (-x)^n = \frac{2}{1-x} + \frac{1}{1+x}$, d'où $S(x) = \frac{3+x}{1-x^2}$.
Exercice 3 : Détermine le rayon de convergence de $\sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{(n+1)!}$, puis exprime sa somme $S(x)$ à l'aide de fonctions usuelles, pour tout réel $x$.
Correction :
On fait apparaître l'exponentielle en multipliant par $x$. Le rapport $\frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \frac{1}{n+2}$ tend vers $0$, donc $R = +\infty$. Puis :
$$x\,S(x) = \sum_{n \ge 0} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = \sum_{k \ge 1} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$$
Résultat : $S(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ pour $x \neq 0$, et $S(0) = 1$.
Erreur à éviter : s'arrêter à la formule, qui n'a pas de sens en $0$, alors que la série y vaut $a_0 = 1$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : a) Pour $|x| \lt 1$, calcule $\sum_{n \ge 0} (n+1)(n+2)\, x^n$ en dérivant deux fois la série géométrique.
b) Écris $n^2$ à l'aide de $(n+1)(n+2)$, $n+1$ et $1$, et déduis-en $\sum_{n \ge 0} n^2 x^n$.
c) Calcule $\sum_{n \ge 0} \frac{n^2}{2^n}$.
Correction :
Un coefficient polynomial en $n$ se traite avec les dérivées de $\frac{1}{1-x}$.
a) Deux dérivations terme à terme sur $]-1\,;\,1[$ donnent $\sum_{n \ge 2} n(n-1)\,x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3}$. En décalant l'indice : $\sum_{n \ge 0} (n+1)(n+2)\,x^n = \frac{2}{(1-x)^3}$.
b) $n^2 = (n+1)(n+2) - 3(n+1) + 1$. Une seule dérivation donne $\sum_{n \ge 0} (n+1)\,x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$, donc :
$$\sum_{n \ge 0} n^2 x^n = \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{3}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$
c) Avec $x = \frac12$ : $\frac{\frac12 \times \frac32}{\frac18} = 6$, donc $\sum_{n \ge 0} \frac{n^2}{2^n} = 6$.
Exercice 5 : Soit $S(x) = \sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n(n+1)}$.
a) Donne son rayon de convergence.
b) Décompose $\frac{1}{n(n+1)}$ en éléments simples, puis calcule $S(x)$ pour $x \in\, ]-1\,;\,1[$.
Correction :
On coupe le coefficient en deux, puis chaque morceau se ramène à $-\ln(1-x)$.
a) $\frac{1}{n(n+1)} \sim \frac{1}{n^2}$, et $\sum \frac{x^n}{n^2}$ a pour rayon $1$ : $R = 1$.
b) $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac{1}{n+1}$. Le premier morceau donne $-\ln(1-x)$. Pour le second, si $x \neq 0$ : $\sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n+1} = \frac1x \sum_{k \ge 2} \frac{x^k}{k} = \frac{-\ln(1-x) - x}{x}$. On soustrait :
$$S(x) = -\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x)}{x} + 1$$
Résultat : $S(x) = 1 + \frac{(1-x)\ln(1-x)}{x}$ pour $x \neq 0$, et $S(0) = 0$.
Exercice 6 : Un standard téléphonique reçoit chaque minute un nombre $X$ d'appels qui suit la loi de Poisson de paramètre $3$ (données fictives) : $P(X = n) = e^{-3}\frac{3^n}{n!}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
a) Pour tout réel $x$, calcule $\sum_{n \ge 0} \frac{n}{n!}\,x^n$ et $\sum_{n \ge 0} \frac{n(n-1)}{n!}\,x^n$.
b) Déduis-en l'espérance $E(X)$, puis $E(X^2)$ et la variance $V(X)$.
Correction :
On simplifie la factorielle, puis on reconnaît l'exponentielle.
a) Pour $n \ge 1$, $\frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}$ ; pour $n \ge 2$, $\frac{n(n-1)}{n!} = \frac{1}{(n-2)!}$. Les premiers termes étant nuls :
$$\sum_{n \ge 0} \frac{n}{n!}\,x^n = x e^x \qquad \sum_{n \ge 0} \frac{n(n-1)}{n!}\,x^n = x^2 e^x$$
b) Par la formule de transfert, $E(f(X)) = \sum f(n)\,P(X = n)$, et avec les sommes du a) prises en $x = 3$ : $E(X) = e^{-3} \times 3e^3 = 3$. Comme $n^2 = n(n-1) + n$, $E(X^2) = e^{-3}(9e^3 + 3e^3) = 12$, et $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 3$.
Résultat : $E(X) = 3$ appels par minute et $V(X) = 3$.
Exercice 7 : Soit $T(x) = \sum_{n \ge 0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$.
a) Trouve son rayon de convergence.
b) En dérivant, calcule $T(x)$ pour $x \in\, ]-1\,;\,1[$.
c) Déduis-en la valeur de $\sum_{n \ge 0} \frac{1}{(2n+1)\,3^{2n+1}}$.
Correction :
Le rayon se lit sur le terme complet, puis une dérivation fait apparaître une série géométrique.
a) Pour $x \neq 0$, le rapport de deux termes consécutifs vaut $\frac{2n+1}{2n+3}\,x^2$ et tend vers $x^2$ : convergence si $x^2 \lt 1$, divergence si $x^2 \gt 1$, donc $R = 1$.
b) $T'(x) = \sum_{n \ge 0} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2} = \frac12\left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}\right)$. On primitive avec $T(0) = 0$ : $T(x) = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}$.
c) Pour $x = \frac13$, $\frac{1+x}{1-x} = 2$, donc $\sum_{n \ge 0} \frac{1}{(2n+1)\,3^{2n+1}} = \frac{\ln 2}{2}$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Soit $f(x) = \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{(2n)!}$. Donne son rayon de convergence, puis exprime $f(x)$ avec des fonctions usuelles, selon le signe de $x$.
Correction :
Ici $x^n$ joue le rôle de $t^{2n}$ : on pose $x = t^2$ ou $x = -t^2$, avec $t \ge 0$.
Le rapport $\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$ tend vers $0$ : $R = +\infty$. Si $x \ge 0$, avec $t = \sqrt{x}$, $f(x) = \sum \frac{t^{2n}}{(2n)!} = \operatorname{ch} t$. Si $x \lt 0$, avec $t = \sqrt{-x}$, $x^n = (-1)^n t^{2n}$ et $f(x) = \sum \frac{(-1)^n t^{2n}}{(2n)!} = \cos t$.
Résultat : $f(x) = \operatorname{ch}\sqrt{x}$ si $x \ge 0$ et $f(x) = \cos\sqrt{-x}$ si $x \lt 0$.
Erreur à éviter : écrire $\operatorname{ch}\sqrt{x}$ pour tout $x$, alors que $\sqrt{x}$ n'existe pas pour $x \lt 0$.
Exercice 9 : On étudie $\sum_{n \ge 0} \sin(n)\, x^n$.
a) Montre que $\sin n$ ne tend pas vers $0$, à l'aide de $\sin(n+1) - \sin(n-1) = 2\cos(n)\sin(1)$.
b) Déduis-en le rayon de convergence.
c) Pour $x \in\, ]-1\,;\,1[$, calcule la somme en écrivant $\sin n = \operatorname{Im}\left(e^{in}\right)$.
Correction :
Un encadrement donne $R \ge 1$, la divergence en $x = 1$ donne $R \le 1$, puis on passe par une série géométrique complexe.
a) Si $\sin n \to 0$, l'égalité donne $\cos n \to 0$, car $\sin 1 \neq 0$ : impossible, puisque $\cos^2 n + \sin^2 n = 1$.
b) $|\sin n| \le 1$, donc $R \ge 1$. En $x = 1$, le terme général $\sin n$ ne tend pas vers $0$, donc $R \le 1$. Ainsi $R = 1$.
c) Comme $x$ est réel, $\sin(n)\,x^n = \operatorname{Im}\left((x e^{i})^n\right)$, et $|x e^{i}| = |x| \lt 1$ :
$$\sum_{n \ge 0} \sin(n)\, x^n = \operatorname{Im}\left(\frac{1}{1 - x e^{i}}\right) = \operatorname{Im}\left(\frac{1 - x e^{-i}}{|1 - x e^{i}|^2}\right)$$
Résultat : $\sum_{n \ge 0} \sin(n)\, x^n = \frac{x \sin 1}{1 - 2x\cos 1 + x^2}$.
Exercice 10 : Tu montes un escalier par pas d'une ou de deux marches. On note $a_n$ le nombre de façons de monter $n$ marches, avec $a_0 = 1$ ; ainsi $a_1 = 1$ et $a_2 = 2$.
a) Justifie que $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ pour $n \ge 0$, puis que $a_n \le 2^n$.
b) On pose $S(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n$. Montre que $(1 - x - x^2)\,S(x) = 1$ pour $|x| \lt \frac12$.
c) En décomposant $\frac{1}{1-x-x^2}$ en éléments simples, donne $a_n$, puis le rayon exact de la série.
Correction :
On encadre pour avoir un rayon non nul, on calcule la somme, puis l'unicité des coefficients donne $a_n$ et le rayon exact.
a) Le premier pas monte une marche (il en reste $n+1$) ou deux (il en reste $n$) : $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$. Par récurrence double, $a_{n+2} \le 2^{n+1} + 2^n \le 2^{n+2}$. Donc $R \ge \frac12$.
b) Pour $|x| \lt \frac12$, dans $S(x) - x\,S(x) - x^2 S(x)$, le coefficient de $x^{n+2}$ vaut $a_{n+2} - a_{n+1} - a_n = 0$, celui de $x$ vaut $a_1 - a_0 = 0$ : il reste $a_0 = 1$.
c) Avec $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ et $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$, on a $1 - x - x^2 = (1-\varphi x)(1-\psi x)$, et pour $|x| \lt \frac12$ :
$$\frac{1}{1-x-x^2} = \frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{\varphi}{1-\varphi x} - \frac{\psi}{1-\psi x}\right) = \sum_{n \ge 0} \frac{\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}}{\sqrt5}\, x^n$$
Par unicité des coefficients, on identifie $a_n$. Comme $|\psi| \lt 1 \lt \varphi$, $a_n \sim \frac{\varphi^{n+1}}{\sqrt5}$ : même rayon que $\sum \varphi^n x^n$.
Résultat : $a_n = \frac{\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}}{\sqrt5}$ et $R = \frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0{,}618$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : le rayon se cherche avant la somme. Quand la règle de d'Alembert ne conclut pas, encadre le coefficient ou cherche un équivalent. Pour la somme, transforme la série jusqu'à reconnaître une somme connue, et traite $x = 0$ à part dès que tu divises par $x$.
Les comparaisons par $O$ et par équivalent, la règle de d'Alembert, la dérivation terme à terme et l'unicité des coefficients figurent dans le programme de MP et MPI publié en 2021. Avant un contrôle, refais l'exercice 10 sans la correction : il enchaîne encadrement, somme et rayon exact.
Sources
Programme de mathématiques des classes préparatoires MP et MPI, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, parties « Séries entières » et « Variables aléatoires discrètes » (texte officiel en PDF).