Pour prouver qu'une famille de polynômes ou de fonctions est libre, pars d'une combinaison linéaire nulle et applique-lui une opération qui isole les coefficients un à un : lire le degré, évaluer en un point bien choisi ou passer à la limite. Exemple : si $a + b\cos x + c\sin x = 0$ pour tout réel $x$, les valeurs $x = 0$, $x = \pi$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$ donnent $a + b = 0$, $a - b = 0$ et $a + c = 0$, donc $a = b = c = 0$ et la famille $(1, \cos, \sin)$ est libre. Ensuite, la dimension fait le reste : dans un espace de dimension $n$, une famille libre de $n$ vecteurs est déjà une base.
Quand les vecteurs sont des fonctions
Une famille $(f_1, \dots, f_n)$ est libre quand la seule combinaison $\lambda_1 f_1 + \dots + \lambda_n f_n$ égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Dans $\mathbb{R}^n$, cette condition est un système linéaire, que le pivot de Gauss règle. Dans l'espace $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, le vecteur nul est la fonction nulle : l'égalité doit tenir pour tout réel $x$.
Tu disposes donc d'une infinité d'équations, une par valeur de $x$. Tout l'art consiste à choisir celles qui font tomber les coefficients.
Piège classique : « nulle » veut dire nulle partout. La fonction $\sin$ s'annule en $0$, elle n'est pas le vecteur nul pour autant. Trouver un $x$ où ta combinaison vaut $0$ ne prouve rien ; c'est l'égalité pour tous les $x$ qui sert d'hypothèse.
Polynômes : l'argument du degré
Propriété : une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
Prends une combinaison linéaire nulle dont un coefficient au moins n'est pas nul. Parmi les polynômes affectés d'un coefficient non nul, celui de plus haut degré $d$ apporte un terme en $X^d$ qu'aucun autre ne compense. La combinaison est donc de degré $d$, elle n'est pas nulle : contradiction.
Pour tout réel $a$, la famille $\big(1, X - a, (X - a)^2, \dots, (X - a)^n\big)$ est donc libre. Elle compte $n + 1$ polynômes de $\mathbb{R}_n[X]$, l'espace des polynômes réels de degré au plus $n$, qui est de dimension $n + 1$ : c'est une base, par le comptage expliqué plus bas. La formule de Taylor donne les coordonnées d'un polynôme $P$ dans cette base :
$$P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X - a)^k$$
Avec $P = X^3$ et $a = 1$, on trouve $P(1) = 1$, $P'(1) = 3$, $\dfrac{P''(1)}{2} = 3$ et $\dfrac{P'''(1)}{6} = 1$, donc $X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X - 1)^2 + (X - 1)^3$. La formule du binôme appliquée à $X = 1 + (X - 1)$ donne la même chose : bon contrôle.
Piège classique : quand deux degrés coïncident, la propriété ne dit plus rien, et « deux à deux non proportionnels » ne la remplace pas. Les polynômes $X$, $X^2 + 1$ et $(X + 1)^2$ ne sont pas proportionnels deux à deux, et pourtant $(X + 1)^2 = (X^2 + 1) + 2X$ : la famille est liée. Dès trois vecteurs, seule la définition tranche.
Fonctions : évaluer ou passer à la limite
Évaluer marche quand tu connais des points où la plupart des fonctions s'annulent : c'est ce qui a servi pour $\cos$ et $\sin$ en ouverture. Les exponentielles, elles, ne s'annulent jamais. C'est alors la limite qui sépare les coefficients : la fonction qui croît le plus vite écrase les autres.
Propriété : si $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ sont des réels, les fonctions $x \mapsto e^{a_1 x}, \dots, x \mapsto e^{a_n x}$ forment une famille libre.
Suppose $\lambda_1 e^{a_1 x} + \dots + \lambda_n e^{a_n x} = 0$ pour tout réel $x$, et multiplie par $e^{-a_n x}$ :
$$\lambda_1 e^{(a_1 - a_n)x} + \dots + \lambda_{n-1} e^{(a_{n-1} - a_n)x} + \lambda_n = 0$$
Les exposants $a_k - a_n$ sont strictement négatifs : quand $x$ tend vers $+\infty$, tous les termes tendent vers $0$ sauf le dernier, donc $\lambda_n = 0$. Il reste une combinaison nulle de $n - 1$ exponentielles, et une récurrence sur $n$ conclut.
Le même geste vaut pour des croissances différentes, comme $x$, $e^x$ et $xe^x$ : divise par la plus rapide et fais tendre $x$ vers $+\infty$. L'exercice 1 l'applique.
Compter pour conclure : la dimension
Propriété : dans un espace de dimension $n$, une famille de $n$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre, ou dès qu'elle est génératrice. Une famille de $n + 1$ vecteurs y est toujours liée.
Ce résultat divise le travail par deux : tu prouves la liberté avec les outils ci-dessus, et le comptage te donne le caractère générateur sans calcul. Encore faut-il connaître la dimension : $n$ pour $\mathbb{R}^n$, $np$ pour l'espace $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, $n + 1$ pour $\mathbb{R}_n[X]$.
Piège classique : $\mathbb{R}_n[X]$ est de dimension $n + 1$, pas $n$. Sa base canonique $(1, X, \dots, X^n)$ commence au degré $0$ : pour $n = 2$, elle compte trois polynômes, $1$, $X$ et $X^2$.
L'application la plus utile est l'interpolation de Lagrange. Prends $n + 1$ réels distincts $x_0, \dots, x_n$ et, pour chaque $i$, le polynôme de degré $n$
$$L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j}$$
qui vaut $1$ en $x_i$ et $0$ en chacun des autres $x_j$. Si $\lambda_0 L_0 + \dots + \lambda_n L_n = 0$, l'évaluation en $x_j$ supprime tous les termes sauf un et donne $\lambda_j = 0$ : la famille est libre. Elle compte $n + 1$ polynômes de $\mathbb{R}_n[X]$, c'est donc une base.
Ses coordonnées se lisent sans calcul : en évaluant $P = c_0 L_0 + \dots + c_n L_n$ en $x_j$, tu trouves $c_j = P(x_j)$. Pour des valeurs $y_0, \dots, y_n$ données, le polynôme $y_0 L_0 + \dots + y_n L_n$ prend donc la valeur $y_i$ en chaque $x_i$, et c'est le seul de degré au plus $n$, puisque les coordonnées dans une base sont uniques. L'existence et l'unicité du polynôme d'interpolation tombent ensemble. Cette formule figure au programme officiel de MPSI et MP2I, avec la dimension et les bases de polynômes à degrés échelonnés.
Reconnaître la dimension infinie
Un espace est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie. S'il était engendré par $p$ vecteurs, toute famille de $p + 1$ vecteurs y serait liée. Un espace qui contient des familles libres aussi longues que tu veux n'est donc pas de dimension finie.
C'est le cas de $\mathbb{R}[X]$, qui contient $(1, X, \dots, X^n)$ pour tout $n$, et de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, qui contient les fonctions $x \mapsto e^{kx}$ pour $k$ de $1$ à $n$, quel que soit $n$. Dans ces espaces, le comptage ne s'applique plus à l'espace entier. Il reste valable dans chacun de leurs sous-espaces de dimension finie, comme $\mathbb{R}_n[X]$ dans $\mathbb{R}[X]$, ou $\operatorname{Vect}(\cos, \sin)$ dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, qui est de dimension $2$.
Exercices corrigés
Du calcul direct au niveau d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Montre que les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x$, $g(x) = e^x$ et $h(x) = xe^x$ forment une famille libre de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.
Correction :
Suppose $ax + be^x + cxe^x = 0$ pour tout réel $x$. Pour $x > 0$, divise par $xe^x$, la plus rapide : $ae^{-x} + \dfrac{b}{x} + c = 0$. En faisant tendre $x$ vers $+\infty$, les deux premiers termes tendent vers $0$, donc $c = 0$.
Il reste $ax + be^x = 0$. Divise par $e^x$ : $axe^{-x} + b = 0$, et $xe^{-x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ par croissances comparées, donc $b = 0$. Enfin $ax = 0$ pour $x = 1$ donne $a = 0$ : la famille est libre.
Exercice 2 : Un camarade affirme : « les fonctions $x \mapsto \cos^2 x$, $x \mapsto \sin^2 x$ et $x \mapsto \cos 2x$ ne sont pas proportionnelles deux à deux, donc elles forment une famille libre. » A-t-il raison ? Donne la dimension du sous-espace de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ qu'elles engendrent.
Correction :
Son constat est juste, sa conclusion fausse. Pour tout réel $x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ : la troisième fonction est la différence des deux premières, et la famille est liée.
Le sous-espace est donc engendré par $\cos^2$ et $\sin^2$ seules. Ces deux fonctions forment une famille libre : si $a\cos^2 x + b\sin^2 x = 0$ pour tout $x$, la valeur $x = 0$ donne $a = 0$ et la valeur $x = \dfrac{\pi}{2}$ donne $b = 0$. C'est une base du sous-espace, qui est donc de dimension $2$.
Exercice 3 : Une station météo relève la température toutes les deux heures (données fictives) : $12$ °C à l'instant $t = 0$, $16$ °C à $t = 2$ et $14$ °C à $t = 4$, avec $t$ en heures. Écris dans la base de Lagrange associée à $0$, $2$ et $4$ le polynôme $P$ de degré au plus $2$ tel que $P(0) = 12$, $P(2) = 16$ et $P(4) = 14$, développe-le, puis estime la température à $t = 3$.
Correction :
Les trois polynômes de Lagrange sont
$$L_0 = \frac{(X - 2)(X - 4)}{8}, \quad L_1 = -\frac{X(X - 4)}{4}, \quad L_2 = \frac{X(X - 2)}{8}$$
car $(0 - 2)(0 - 4) = 8$, $2 \times (2 - 4) = -4$ et $4 \times (4 - 2) = 8$. Les coordonnées de $P$ sont ses valeurs aux trois instants : $P = 12L_0 + 16L_1 + 14L_2$.
En développant, $12L_0 = \dfrac{3}{2}(X^2 - 6X + 8)$, $16L_1 = -4(X^2 - 4X)$ et $14L_2 = \dfrac{7}{4}(X^2 - 2X)$, d'où $P = -\dfrac{3}{4}X^2 + \dfrac{7}{2}X + 12$. Contrôle : $P(2) = -3 + 7 + 12 = 16$ et $P(4) = -12 + 14 + 12 = 14$.
À $t = 3$ : $P(3) = -\dfrac{27}{4} + \dfrac{21}{2} + 12 = 15{,}75$, soit environ $15{,}8$ °C. Ce n'est qu'une estimation : trois mesures ne disent pas comment la température varie entre elles.
Exercice 4 : Dans $\mathbb{R}_3[X]$, on pose $B_0 = (1 - X)^3$, $B_1 = X(1 - X)^2$, $B_2 = X^2(1 - X)$ et $B_3 = X^3$. Montre que $(B_0, B_1, B_2, B_3)$ est une base de $\mathbb{R}_3[X]$, puis donne les coordonnées du polynôme constant $1$ dans cette base.
Correction :
Les quatre polynômes sont de degré $3$ : l'argument du degré ne s'applique pas, on évalue. Suppose $aB_0 + bB_1 + cB_2 + dB_3 = 0$. En $0$, seul $B_0$ ne s'annule pas, donc $a = 0$ ; en $1$, seul $B_3$ ne s'annule pas, donc $d = 0$.
Il reste $X(1 - X)\big(b(1 - X) + cX\big) = 0$. Comme $\mathbb{R}[X]$ est intègre (un produit de polynômes non nuls n'est jamais nul) et que $X(1 - X) \neq 0$, on obtient $b(1 - X) + cX = 0$, puis $b = 0$ en évaluant en $0$ et $c = 0$ en évaluant en $1$. La famille est libre, et elle compte $4$ polynômes dans un espace de dimension $4$ : c'est une base.
Pour les coordonnées de $1$, la formule du binôme fait tout : $1 = \big(X + (1 - X)\big)^3 = (1 - X)^3 + 3X(1 - X)^2 + 3X^2(1 - X) + X^3$. Les coordonnées de $1$ sont $(1, 3, 3, 1)$.
À retenir
À retenir :
- Pour une famille de polynômes ou de fonctions, écris une combinaison linéaire nulle, vraie pour tout $x$, et isole les coefficients un à un.
- Degrés distincts : libre sans calcul. Des points où les fonctions s'annulent : évalue. Des croissances différentes : passe à la limite.
- Dès trois vecteurs, « deux à deux non proportionnels » ne veut pas dire libre.
- En dimension $n$, $n$ vecteurs libres forment une base ; $\dim \mathbb{R}_n[X] = n + 1$.
- Base de Lagrange : les coordonnées de $P$ sont ses valeurs $P(x_0), \dots, P(x_n)$.
- Des familles libres de toute longueur : l'espace est de dimension infinie.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I (annexe 1), ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, parties « Polynômes et fractions rationnelles » et « Espaces vectoriels et applications linéaires » : texte sur education.gouv.fr.