La fonction carrée associe à chaque nombre réel $x$ son carré, $f(x) = x^2$. Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, et sa plus petite valeur est $0$, atteinte en $x = 0$. Exemple : $(-3)^2 = 3^2 = 9$, deux nombres opposés ont le même carré, d'où la symétrie de sa courbe.
Définition et courbe
Définition : la fonction carrée est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 = x \times x$. Tout réel a une image, puisque tout nombre peut se multiplier par lui-même.
Pour voir sa courbe, calcule quelques images :
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0{,}25$ | $0$ | $0{,}25$ | $1$ | $4$ | $9$ |
Place ces points dans un repère et relie-les par une courbe arrondie : c'est une parabole, dont le point le plus bas, l'origine $O$, s'appelle le sommet. Ne la trace pas en V : près de $O$, elle s'aplatit contre l'axe des abscisses.
Un carré n'est jamais négatif : $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$, et $x^2 = 0$ seulement pour $x = 0$. La courbe reste donc au-dessus de l'axe des abscisses et ne le touche qu'en $O$.
Le tableau montre aussi que $-2$ et $2$ ont la même image. C'est vrai pour tout réel, puisque $(-x)^2 = x^2$ : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En Première, on dit que la fonction carrée est paire : $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de son ensemble de définition.
Piège classique : $-3^2$ et $(-3)^2$ sont deux nombres différents. Dans $-3^2$, le carré ne porte que sur $3$, donc $-3^2 = -9$, alors que $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$. Sur ta copie comme sur ta calculatrice, le carré d'un nombre négatif s'écrit entre parenthèses.
Sens de variation
Propriété : la fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. Son minimum sur $\mathbb{R}$ vaut $0$, atteint en $x = 0$.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ |
La preuve tient dans l'identité remarquable $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$, et c'est une des démonstrations du programme de Seconde.
Prends deux réels $a$ et $b$ tels que $0 \leqslant a < b$. Alors $b - a > 0$ et $b + a > 0$, donc $b^2 - a^2 > 0$, soit $a^2 < b^2$ : sur $[0\,;+\infty[$, le carré garde l'ordre. Si $a < b \leqslant 0$, on a encore $b - a > 0$, mais $b + a < 0$. Le produit est négatif, donc $a^2 > b^2$ : sur $]-\infty\,;0]$, le carré renverse l'ordre.
Tu peux donc comparer des carrés sans les calculer. Entre deux positifs, l'ordre est gardé : $1{,}7 < 1{,}8$ donne $1{,}7^2 < 1{,}8^2$. Entre deux négatifs, il s'inverse : $-5 < -2$, mais $(-5)^2 = 25$ dépasse $(-2)^2 = 4$.
Méfie-toi aussi de l'idée qu'un carré est toujours plus grand que le nombre de départ. Pour $x \geqslant 0$, $x^2 - x = x(x - 1)$ : ce produit est négatif ou nul entre $0$ et $1$, donc $x^2 \leqslant x$ (par exemple $0{,}5^2 = 0{,}25$), et positif ou nul à partir de $1$, où $x^2 \geqslant x$.
Piège classique : entre deux nombres de signes contraires, élever au carré ne permet de rien conclure sans calculer. Si un intervalle contient $0$, coupe-le en $0$ : le plus petit carré vaut alors $0$, pas le carré d'une borne. L'exercice 3 tombe exactement là-dessus.
Équations et inéquations avec un carré
Résoudre $x^2 = k$, c'est chercher où la parabole rencontre la droite horizontale d'équation $y = k$. Si $k > 0$, cette droite la coupe en deux points symétriques. Si $k = 0$, elle la touche en $O$. Si $k < 0$, elle passe sous la parabole sans la toucher.
Propriété : l'équation $x^2 = k$ a deux solutions, $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$, si $k > 0$ ; une seule, $0$, si $k = 0$ ; aucune si $k < 0$.
Ici, $\sqrt{k}$ (la racine carrée de $k$) est le nombre positif dont le carré vaut $k$. Ainsi $x^2 = 25$ a pour solutions $5$ et $-5$, et $x^2 = -4$ n'en a aucune.
Une inéquation se lit sur la même figure. Résoudre $x^2 < 9$, c'est chercher où la parabole passe sous la droite $y = 9$ : entre les abscisses $-3$ et $3$, donc sur $]-3\,;3[$. À l'inverse, $x^2 \geqslant 9$ est vraie aux deux bouts, sur $]-\infty\,;-3] \cup [3\,;+\infty[$, où $\cup$ (la réunion) veut dire « dans l'un ou dans l'autre ».
Piège classique : devant $x^2 = 9$, le réflexe est d'écrire $x = 3$ et de s'arrêter. Il manque $-3$, puisque $(-3)^2 = 9$ aussi. De même, $x^2 < 9$ ne revient pas à $x < 3$ : $-4$ est plus petit que $3$, mais $(-4)^2 = 16$.
En Première : dérivée et second degré
Le programme de spécialité de Première reprend la fonction carrée de Seconde pour calculer sa dérivée et étudier le second degré.
Entre $a$ et $a + h$ (avec $h \neq 0$), le taux de variation, c'est-à-dire la pente de la droite qui relie les deux points de la courbe, vaut :
$$\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$$
Quand $h$ se rapproche de $0$, ce taux se rapproche de $2a$ : le nombre dérivé en $a$ vaut $2a$, et la fonction dérivée est $f'(x) = 2x$. Son signe confirme les variations : négatif avant $0$, positif après. Au point d'abscisse $1$, la tangente a pour équation $y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + 2(x - 1)$, soit $y = 2x - 1$.
Une fonction polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$, peut toujours s'écrire sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$. Sa courbe est une parabole de sommet $(\alpha\,;\beta)$, tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.
Par exemple, la courbe de $g(x) = (x - 2)^2 + 1$ est celle de la fonction carrée décalée de $2$ vers la droite et de $1$ vers le haut. Son sommet est $(2\,;1)$ : $g$ décroît sur $]-\infty\,;2]$, croît sur $[2\,;+\infty[$, et son minimum vaut $1$. Attention au sens : $(x - 2)^2$ décale vers la droite, car la parenthèse s'annule en $x = 2$.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche sur ta feuille avant d'ouvrir chaque correction.
Exercice 1 : Sans calculer les carrés, compare $(-3{,}1)^2$ et $(-2{,}7)^2$, puis $0{,}8^2$ et $0{,}8$.
Correction :
Les nombres $-3{,}1$ et $-2{,}7$ sont négatifs, et sur $]-\infty\,;0]$ le carré renverse l'ordre. Comme $-3{,}1 < -2{,}7$, on a $(-3{,}1)^2 > (-2{,}7)^2$. Contrôle : $9{,}61 > 7{,}29$.
$0{,}8^2 - 0{,}8 = 0{,}8 \times (0{,}8 - 1)$ est le produit d'un positif par un négatif, donc il est négatif : $0{,}8^2 < 0{,}8$. Contrôle : $0{,}64 < 0{,}8$.
Exercice 2 : Résous dans $\mathbb{R}$ : a) $x^2 = 7$ ; b) $x^2 < 16$ ; c) $(x - 3)^2 = 25$.
Correction :
a) $7 > 0$, donc deux solutions : $S = \{-\sqrt{7}\,;\sqrt{7}\}$.
b) $16 = 4^2$. La parabole est sous la droite $y = 16$ strictement entre les abscisses $-4$ et $4$ : $S = ]-4\,;4[$.
c) Le nombre $x - 3$ a pour carré $25$, donc $x - 3 = 5$ ou $x - 3 = -5$, soit $x = 8$ ou $x = -2$. Vérification : $(8 - 3)^2 = 25$ et $(-2 - 3)^2 = 25$. Donc $S = \{-2\,;8\}$.
Exercice 3 : On sait que $-3 \leqslant x \leqslant 2$. Donne le meilleur encadrement possible de $x^2$.
Correction :
Élever les bornes au carré donne $9$ et $4$, mais « $4 \leqslant x^2 \leqslant 9$ » est faux : pour $x = 0$, $x^2 = 0$.
L'intervalle $[-3\,;2]$ contient $0$, on le coupe donc en deux. Sur $[-3\,;0]$, la fonction carrée décroît et $x^2$ va de $9$ à $0$. Sur $[0\,;2]$, elle croît et $x^2$ va de $0$ à $4$.
Conclusion : $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$, et les deux bornes sont atteintes, en $x = 0$ et en $x = -3$.
Exercice 4 : Un ballon est lancé vers le haut. Dans un modèle simplifié (données fictives), tant qu'il est en l'air, sa hauteur en mètres au bout de $t$ secondes est $h(t) = -5(t - 1)^2 + 6$. a) Quelle hauteur maximale atteint-il, et à quel instant ? b) De quelle hauteur part-il, et au bout de combien de temps y repasse-t-il ?
Correction :
a) Un carré est positif ou nul, donc $-5(t - 1)^2 \leqslant 0$ et $h(t) \leqslant 6$, avec égalité quand $t = 1$. Sa hauteur maximale est $6$ m, atteinte au bout de $1$ s. C'est le sommet $(1\,;6)$ de la parabole, tournée vers le bas car $a = -5 < 0$.
b) $h(0) = -5 \times (-1)^2 + 6 = 1$ : il part de $1$ m. Il y repasse quand $-5(t - 1)^2 + 6 = 1$, soit $(t - 1)^2 = 1$. Donc $t - 1 = 1$ ou $t - 1 = -1$, c'est-à-dire $t = 2$ ou $t = 0$. La solution $t = 0$ est le lancer : le ballon repasse à $1$ m au bout de $2$ s.
À retenir
À retenir :
- $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$, et $x^2 = 0$ seulement pour $x = 0$.
- La courbe est une parabole de sommet $O$, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : la fonction carrée est paire.
- Décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$ : le carré garde l'ordre entre positifs et le renverse entre négatifs.
- Pour $k > 0$, $x^2 = k$ a deux solutions, $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ ; pour $k = 0$, une seule ; pour $k < 0$, aucune.
- Sa dérivée est $f'(x) = 2x$, et la courbe de $a(x - \alpha)^2 + \beta$ est une parabole de sommet $(\alpha\,;\beta)$.
Sources
- Programme de mathématiques de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026, appliqué depuis la rentrée 2026 : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de spécialité de mathématiques de première générale, arrêté du 26 février 2026, appliqué depuis la rentrée 2026 : texte sur education.gouv.fr.