Une inéquation se résout comme une équation, à une règle près : si tu multiplies ou divises les deux membres (les deux côtés du symbole) par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. Par exemple, $-2x > 6$ devient $x < -3$ après division par $-2$ : tous les nombres strictement inférieurs à $-3$ sont solutions.
Quand l'inéquation contient un produit ou un quotient, c'est le tableau de signes qui répond. Les deux méthodes sont expliquées ci-dessous, avec quatre exercices corrigés.
Les règles pour transformer une inéquation
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue, souvent $x$. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la rendent vraie : elles forment l'ensemble des solutions, noté $S$.
Les symboles $<$ et $>$ (« strictement inférieur à », « strictement supérieur à ») excluent l'égalité : ce sont des inégalités strictes. Avec $\leqslant$ et $\geqslant$, l'égalité est permise : ce sont des inégalités larges. Ainsi $3 < 3$ est faux, mais $3 \leqslant 3$ est vrai.
Règle : ajouter ou soustraire un même nombre, ou une même expression comme $5x$, aux deux membres ne change pas le sens de l'inégalité. Les multiplier ou les diviser par un même nombre strictement positif non plus. Les multiplier ou les diviser par un même nombre strictement négatif change le sens : $<$ devient $>$, $\leqslant$ devient $\geqslant$, et inversement.
Pourquoi ce changement ? Pars de $2 < 5$ et multiplie par $-1$ : tu obtiens $-2$ et $-5$. Sur une droite graduée, $-5$ est à gauche de $-2$, donc $-2 > -5$. Multiplier par $-1$ envoie chaque nombre sur son symétrique par rapport à zéro, et ce miroir retourne l'ordre. Multiplier par $-3$, c'est multiplier par 3, qui garde l'ordre, puis par $-1$, qui le retourne. En cas de doute, refais ce test de tête avec 2 et 5.
Piège classique : le sens change parce que tu multiplies ou divises par un nombre négatif, pas parce qu'un nombre négatif apparaît dans l'inéquation. Dans $2x > -6$, tu divises par $2$, qui est positif : le sens reste, et $x > -3$.
Écrire les solutions avec un intervalle
Une inéquation a en général une infinité de solutions. On les note avec un intervalle : l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux bornes. Un crochet tourné vers l'intérieur, comme dans $[2\,;\,5]$, dit que la borne est comprise ; tourné vers l'extérieur, comme dans $\left]2\,;\,5\right[$, il dit qu'elle est exclue. Du côté de $+\infty$ ou de $-\infty$, le crochet est toujours tourné vers l'extérieur, car l'infini n'est pas un nombre.
| Inégalité | Intervalle |
|---|---|
| $x \geqslant 2$ | $\left[2\,;\,+\infty\right[$ |
| $x < -3$ | $\left]-\infty\,;\,-3\right[$ |
| $-1 < x \leqslant 4$ | $\left]-1\,;\,4\right]$ |
Les bornes sont séparées par un point-virgule, pour ne pas les confondre avec la virgule d'un nombre décimal : $[0{,}5\,;\,2]$ se lit sans hésiter. Le texte officiel du programme sépare les bornes par une virgule ; suis la notation de ton professeur.
La valeur absolue $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite graduée. Dire que $|x - a| \leqslant r$, avec $r \geqslant 0$, c'est dire que $x$ est à une distance au plus égale à $r$ de $a$ : $S = [a - r\,;\,a + r]$. Ainsi $|x - 3| \leqslant 2$ donne $S = [1\,;\,5]$.
Résoudre une inéquation du premier degré
Une inéquation du premier degré ne contient $x$ qu'à la puissance 1, comme $3x - 7 \leqslant 5x + 1$. On regroupe les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de $x$ (le nombre qui le multiplie) en regardant son signe.
Étape 1 : soustrais $5x$ aux deux membres : $-2x - 7 \leqslant 1$.
Étape 2 : ajoute 7 aux deux membres : $-2x \leqslant 8$.
Étape 3 : divise par $-2$, qui est négatif, donc le sens change : $x \geqslant -4$.
Étape 4 : l'ensemble des solutions est $S = \left[-4\,;\,+\infty\right[$, avec $-4$ compris.
Pour contrôler, teste une valeur de chaque côté. Avec $x = 0$, dans $S$ : $3 \times 0 - 7 \leqslant 5 \times 0 + 1$ donne $-7 \leqslant 1$, vrai. Avec $x = -5$, hors de $S$ : on obtient $-22 \leqslant -24$, faux. Si un test contredit ta réponse, cherche d'abord un changement de sens oublié.
Le signe de $ax + b$
Les inéquations suivantes demandent le signe d'expressions comme $2x - 4$ ou $3 - x$, de la forme $ax + b$ avec $a \neq 0$. Une telle expression s'annule une seule fois, en $x = -\dfrac{b}{a}$. La fonction affine $x \mapsto ax + b$ est représentée par une droite qui coupe l'axe des abscisses en ce point. Si $a > 0$, la droite monte : elle est sous l'axe avant ce point, au-dessus après. Si $a < 0$, elle descend, et c'est l'inverse.
Propriété : pour $x > -\dfrac{b}{a}$, $ax + b$ a le signe de $a$ ; pour $x < -\dfrac{b}{a}$, il a le signe contraire.
Prends $3 - x$ : il s'annule en 3 et son coefficient $-1$ est négatif, donc il est positif avant 3 et négatif après. Si tu as un doute, remplace $x$ par 0 : $3 - 0 = 3$, positif, ce qui confirme le signe avant 3.
Le tableau de signes d'un produit
Le tableau de signes repose sur la règle des signes : deux facteurs de même signe donnent un produit positif, deux facteurs de signes contraires un produit négatif. Le programme de seconde demande de résoudre ainsi les inéquations $f(x) > 0$ quand $f$ est un produit ou un quotient.
Prends $(2x - 4)(x + 1) < 0$. Le facteur $2x - 4$ s'annule en 2, le facteur $x + 1$ en $-1$. On range ces valeurs dans l'ordre croissant sur la première ligne, puis on remplit une ligne par facteur avec la propriété précédente.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2x - 4$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | |||
| $x + 1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | |||
| $(2x - 4)(x + 1)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
La dernière ligne se remplit colonne par colonne avec la règle des signes. Le produit est négatif entre $-1$ et $2$, et vaut 0 en ces deux valeurs, exclues puisque l'inégalité est stricte : $S = \left]-1\,;\,2\right[$.
Le tableau demande 0 d'un côté et un produit de l'autre. Sinon, passe tout dans un membre, puis factorise.
Piège classique : $x^2 > 9$ ne donne pas $x > 3$ : $-4$ est aussi solution, puisque $(-4)^2 = 16 > 9$. Écris $x^2 - 9 > 0$, factorise avec $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ en $(x - 3)(x + 3) > 0$, puis fais le tableau. Tu trouves $S = \left]-\infty\,;\,-3\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[$, où le symbole $\cup$ (la réunion) veut dire « dans l'un ou l'autre intervalle ».
Le cas d'un quotient
La règle des signes vaut aussi pour un quotient, avec une différence : un dénominateur ne peut pas valoir 0. Dans $\dfrac{x - 1}{x + 2}$, on a $x + 2 = 0$ pour $x = -2$ : c'est une valeur interdite. Dans le tableau, on la marque d'une double barre $\|$, et elle n'est jamais solution.
Prends $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geqslant 0$ : le numérateur s'annule en 1, le dénominateur en $-2$.
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $1$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x - 1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | |||
| $x + 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | |||
| $\dfrac{x - 1}{x + 2}$ | $+$ | $\|$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Le quotient vaut 0 en 1, ce qui convient pour $\geqslant$ : 1 est compris. En $-2$, il n'existe pas : crochet tourné vers l'extérieur. Donc $S = \left]-\infty\,;\,-2\right[ \cup \left[1\,;\,+\infty\right[$.
Piège classique : ne multiplie jamais les deux membres par le dénominateur. Son signe dépend de $x$, donc tu ne sais pas s'il faut changer le sens. Ramène 0 d'un côté, réduis au même dénominateur, puis fais le tableau. L'exercice 4 montre ce que coûte le raccourci.
Lire les solutions sur un graphique
Si tu as la courbe d'une fonction $f$, résoudre $f(x) < k$ revient à lire les abscisses (les valeurs de $x$) des points de la courbe situés strictement sous la droite d'équation $y = k$. Pour $f(x) < g(x)$, ce sont les abscisses des points où la courbe de $f$ est strictement sous celle de $g$. Cette lecture reste approchée quand les points d'intersection ne tombent pas sur la grille.
Exercices corrigés
Du plus direct au plus proche d'un contrôle. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Résous $5 - 3x \geqslant 2x + 20$ et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Correction :
On soustrait $2x$ aux deux membres : $5 - 5x \geqslant 20$. On soustrait 5 : $-5x \geqslant 15$. On divise par $-5$, négatif, donc le sens change : $x \leqslant -3$.
L'inégalité est large, donc $-3$ est compris : $S = \left]-\infty\,;\,-3\right]$. Contrôle avec $x = -4$ : $5 - 3 \times (-4) = 17$ et $2 \times (-4) + 20 = 12$, et $17 \geqslant 12$ est vrai.
Exercice 2 : Une troupe de théâtre lycéenne loue une salle 450 € pour une soirée (données fictives). Chaque spectateur paie sa place 6 €, et la troupe dépense 1,50 € par spectateur pour imprimer le programme de la pièce. On note $n$ le nombre de spectateurs. À partir de combien de spectateurs le bénéfice de la soirée est-il strictement positif ?
Correction :
Les recettes valent $6n$ euros et les dépenses $450 + 1{,}5n$ euros. Le bénéfice est strictement positif quand $6n > 450 + 1{,}5n$.
On soustrait $1{,}5n$ : $4{,}5n > 450$. On divise par $4{,}5$, positif, donc le sens ne change pas : $n > 100$.
Avec 100 spectateurs, recettes et dépenses valent toutes deux 600 € : le bénéfice est nul. Comme $n$ est un nombre entier, il faut au moins 101 spectateurs.
Exercice 3 : Résous $(3 - x)(2x + 5) \geqslant 0$.
Correction :
Le facteur $3 - x$ s'annule en 3 ; son coefficient $-1$ est négatif, donc il est positif avant 3 et négatif après. Le facteur $2x + 5$ s'annule en $-\dfrac{5}{2}$ ; son coefficient 2 est positif, donc il est négatif avant $-\dfrac{5}{2}$ et positif après.
Sur $\left]-\infty\,;\,-\dfrac{5}{2}\right[$, les signes sont $+$ et $-$ : produit négatif. Sur $\left]-\dfrac{5}{2}\,;\,3\right[$, les deux facteurs sont positifs : produit positif. Sur $\left]3\,;\,+\infty\right[$, les signes sont $-$ et $+$ : produit négatif.
Le produit vaut 0 en $-\dfrac{5}{2}$ et en 3, ce qui convient pour $\geqslant$. Donc $S = \left[-\dfrac{5}{2}\,;\,3\right]$.
Exercice 4 : Pour résoudre $\dfrac{x + 4}{x - 2} \leqslant 3$, un élève multiplie les deux membres par $x - 2$ et trouve $x \geqslant 5$. Montre que $x = 0$ est pourtant solution, puis résous l'inéquation correctement.
Correction :
Pour $x = 0$, le quotient vaut $\dfrac{4}{-2} = -2$, et $-2 \leqslant 3$ est vrai : 0 est solution, alors que $0 \geqslant 5$ est faux. L'erreur : pour $x < 2$, $x - 2$ est négatif, et multiplier par un nombre négatif change le sens.
On ramène 0 à droite et on réduit au même dénominateur, pour $x \neq 2$ : $\dfrac{x + 4}{x - 2} - 3 = \dfrac{x + 4 - 3(x - 2)}{x - 2} = \dfrac{-2x + 10}{x - 2}$. Il reste à résoudre $\dfrac{-2x + 10}{x - 2} \leqslant 0$.
Le numérateur s'annule en 5 ; son coefficient $-2$ est négatif, donc il est positif avant 5 et négatif après. Le dénominateur s'annule en 2, valeur interdite ; il est négatif avant 2 et positif après.
Le quotient est donc négatif sur $\left]-\infty\,;\,2\right[$ ($+$ divisé par $-$), positif sur $\left]2\,;\,5\right[$ ($+$ divisé par $+$) et négatif sur $\left]5\,;\,+\infty\right[$ ($-$ divisé par $+$). Il vaut 0 en 5, et 2 est exclu.
Donc $S = \left]-\infty\,;\,2\right[ \cup \left[5\,;\,+\infty\right[$. Le raccourci de l'élève avait perdu tout l'intervalle $\left]-\infty\,;\,2\right[$.
À retenir
À retenir :
- Une inéquation se résout comme une équation, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
- Les solutions s'écrivent avec un intervalle ; le crochet est tourné vers l'extérieur pour une borne exclue, pour l'infini et pour une valeur interdite.
- $ax + b$ a le signe de $a$ après $-\dfrac{b}{a}$, et le signe contraire avant.
- Produit ou quotient : 0 d'un côté, une ligne par facteur, puis la règle des signes.
- On ne multiplie jamais par une expression dont on ignore le signe.
- Une valeur testée de chaque côté contrôle le résultat.
Sources
- Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, annexe de l'arrêté du 26 février 2026, en application depuis la rentrée 2026 : texte sur education.gouv.fr.
- Arrêté du 26 février 2026 fixant ce programme, publié au Journal officiel du 27 mars 2026 : texte sur Légifrance.