Pour calculer $A^n$, $A^{-1}$ ou un déterminant de taille $n$, regarde d'abord la forme de la matrice : c'est elle qui choisit la méthode. Par exemple, si $A^2 = 3A - 2I_n$, alors $A(3I_n - A) = 2I_n$, donc $A$ est inversible et $A^{-1} = \frac{1}{2}(3I_n - A)$, sans aucun pivot. De même, une matrice $\lambda I_n + N$ avec $N$ nilpotente (une de ses puissances est nulle) se met à la puissance $n$ par le binôme, et un déterminant en bande se calcule par récurrence.
Chaque méthode vient avec un exemple, puis quatre exercices corrigés montent jusqu'au niveau d'un devoir surveillé.
Puissances : le binôme avec une matrice nilpotente
La formule du binôme vaut pour deux matrices carrées qui commutent : si $AB = BA$, alors
$$(A+B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k}.$$
Le programme de MPSI et MP2I la cite pour le calcul de puissances. Le cas qui revient sans cesse : $A = \lambda I_n + N$. La matrice scalaire $\lambda I_n$ commute avec toutes les matrices, et si $N^p = 0$ pour un entier $p$, tous les termes qui contiennent $N^p$ ou une puissance plus haute sont nuls. La somme garde au plus $p$ termes, quel que soit $n$.
Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_3 + N$, avec $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $N^3 = 0$. Pour $n \geqslant 2$ :
$$A^n = 2^n I_3 + n\,2^{n-1} N + \binom{n}{2} 2^{n-2} N^2 = \begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} & n(n-1)\,2^{n-3} \\ 0 & 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}$$
Pour $n = 2$, le coin en haut à droite vaut $2 \times 1 \times 2^{-1} = 1$, comme dans $A^2$ calculé à la main.
Piège classique : une matrice diagonale quelconque ne commute pas avec tout. Couper une matrice triangulaire en « diagonale + nilpotente » ne suffit donc pas : si la diagonale n'est pas constante, les deux morceaux ne commutent en général pas. Vérifie $DN = ND$ avant d'écrire le binôme.
Si aucune décomposition ne commute, calcule $A^2$ et $A^3$, devine la forme de $A^n$, puis démontre-la par récurrence.
Une relation polynomiale : l'inverse et les puissances
Deuxième situation : $A^2$ s'exprime avec $A$ et $I_n$. En taille 2, c'est toujours vrai, grâce à la trace $\operatorname{tr}(A)$, somme des coefficients diagonaux.
Formule : pour toute matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$,
$$A^2 - \operatorname{tr}(A)\,A + \det(A)\,I_2 = 0.$$
Pour la retrouver, développe $A^2 - (a+d)A$ : il reste $(bc - ad)\,I_2$. C'est le théorème de Cayley-Hamilton de deuxième année, en taille 2.
Avec $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\operatorname{tr}(A) = 7$ et $\det A = 10$, donc $A^2 - 7A + 10I_2 = 0$. Isole le terme constant : $A(7I_2 - A) = 10I_2$, et $A^{-1} = \frac{1}{10}(7I_2 - A) = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$. En toute taille, une relation dont le terme constant n'est pas nul donne ainsi l'inverse.
Pour les puissances, la même relation suffit :
Étape 1 : écris la relation $P(A) = 0$, ici avec $P = X^2 - 7X + 10 = (X-2)(X-5)$.
Étape 2 : pose la division euclidienne $X^n = Q_n P + \alpha_n X + \beta_n$, dont le reste est de degré au plus 1.
Étape 3 : évalue en 2 et en 5, les racines de $P$ : $2\alpha_n + \beta_n = 2^n$ et $5\alpha_n + \beta_n = 5^n$, d'où $\alpha_n = \dfrac{5^n - 2^n}{3}$ et $\beta_n = \dfrac{5 \times 2^n - 2 \times 5^n}{3}$.
Étape 4 : remplace $X$ par $A$ ; le terme $Q_n(A)P(A)$ est nul et $A^n = \alpha_n A + \beta_n I_2$. Pour $n = 1$, tu trouves $\alpha_1 = 1$ et $\beta_1 = 0$ : c'est bien $A$.
L'étape 4 est permise car les puissances de $A$ commutent entre elles : un produit de polynômes en $A$ se calcule comme un produit de polynômes. Le programme de MP et MPI appelle $P$ un polynôme annulateur de $A$. Si $P$ a une racine double $r$, la deuxième équation vient de la dérivée : $\alpha_n = n\,r^{n-1}$.
Déterminant de taille quelconque : chercher une récurrence
Quand la taille est une lettre $n$, la matrice ne s'écrit qu'avec des pointillés et le pivot devient vite illisible. Pour une matrice en bande, dont les coefficients non nuls restent près de la diagonale, relie plutôt le déterminant de taille $n$ à ceux de taille $n-1$ et $n-2$, en développant selon une ligne ou une colonne pleine de zéros. Rappel : le cofacteur de $a_{i,j}$ vaut $(-1)^{i+j}$ fois le déterminant obtenu en rayant la ligne $i$ et la colonne $j$.
Exemple, avec des zéros partout où rien n'est écrit :
$$D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & & \\ 1 & 2 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ & & 1 & 2 \end{vmatrix}$$
Développe selon la première ligne. Le 2 donne $2D_{n-1}$. Le 1 en position $(1,2)$ porte le signe $-$ et laisse un déterminant dont la première colonne n'a qu'un coefficient non nul, un 1 en haut : en développant selon cette colonne, il vaut $D_{n-2}$. Pour $n \geqslant 3$ :
$$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}, \qquad D_1 = 2, \quad D_2 = 3.$$
Écrite $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$, la relation dit que l'écart entre deux termes consécutifs ne bouge pas : il vaut $D_2 - D_1 = 1$. La suite est arithmétique et $D_n = n + 1$. Dans le cas général, $D_n = aD_{n-1} + bD_{n-2}$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 : son équation caractéristique $r^2 = ar + b$, vue en première année, la résout.
Conseil : avant de résoudre, teste ta récurrence sur $D_3$ calculé directement. Ici $2 \times 3 - 2 = 4$, et le développement de la matrice de taille 3 donne bien 4. Un signe de cofacteur oublié se voit tout de suite.
Exercices corrigés
Exercice 1 : Calcule $A^n$ pour tout entier $n \geqslant 1$, avec $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.
Correction :
La diagonale est constante : $A = 3I_2 + N$ avec $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $N^2 = 0$. Comme $3I_2$ commute avec $N$, le binôme s'arrête après deux termes :
$$A^n = 3^n I_2 + n\,3^{n-1} N = \begin{pmatrix} 3^n & n\,3^{n-1} \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$$
Contrôle pour $n = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$, et la formule donne bien $2 \times 3 = 6$ en haut à droite.
Exercice 2 : Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, un camarade pose $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Comme $A = D + N$ et $N^2 = 0$, il écrit $A^n = D^n + n\,D^{n-1}N$. Vérifie son résultat pour $n = 2$, trouve l'erreur, puis calcule $A^n$ pour tout $n \geqslant 1$.
Correction :
Sa formule donne $D^2 + 2DN = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, alors que le calcul direct donne $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. L'erreur : $DN = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ mais $ND = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Les deux matrices ne commutent pas, le binôme est interdit.
Calcule plutôt $A^3 = A^2A = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ : les coefficients $1$, $3$, $7$ font penser à $2^n - 1$. Suppose $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ pour un entier $n \geqslant 1$ ; alors
$$A^{n+1} = A^nA = \begin{pmatrix} 1 & 1 + 2(2^n - 1) \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2^{n+1} - 1 \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}$$
La formule, vraie pour $n = 1$ et héréditaire, est donc vraie pour tout $n \geqslant 1$ : $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$.
Exercice 3 : Une ville a deux stations de vélos en libre-service, la gare et le campus (données fictives). Chaque jour, 10 % des vélos garés à la gare finissent au campus, et 20 % de ceux du campus finissent à la gare. On note $p_n$ et $q_n$ les proportions du parc garées à la gare et au campus le soir du jour $n$, avec $p_0 = q_0 = \frac{1}{2}$.
a) Trouve la matrice $M$ telle que $X_{n+1} = MX_n$, où $X_n = \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$.
b) Écris $M^n$ comme combinaison de $M$ et $I_2$, puis donne $p_n$ et sa limite.
Correction :
a) La gare garde 90 % de ses vélos et reçoit 20 % de ceux du campus : $p_{n+1} = 0{,}9\,p_n + 0{,}2\,q_n$. De même, $q_{n+1} = 0{,}1\,p_n + 0{,}8\,q_n$. Donc $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$.
b) $\operatorname{tr}(M) = 1{,}7$ et $\det M = 0{,}72 - 0{,}02 = 0{,}7$, donc $M^2 - 1{,}7M + 0{,}7I_2 = 0$, avec $X^2 - 1{,}7X + 0{,}7 = (X - 1)(X - 0{,}7)$. Le reste de $X^n$ dans la division par ce polynôme est $\alpha_n X + \beta_n$, avec, en évaluant en $1$ et en $0{,}7$ :
$$\alpha_n + \beta_n = 1, \qquad 0{,}7\,\alpha_n + \beta_n = 0{,}7^n$$
d'où $\alpha_n = \dfrac{10}{3}\left(1 - 0{,}7^n\right)$, $\beta_n = 1 - \alpha_n$ et $M^n = \alpha_n M + \beta_n I_2$.
Ensuite $X_n = M^nX_0 = \alpha_n MX_0 + \beta_n X_0$, avec $MX_0 = \begin{pmatrix} 0{,}55 \\ 0{,}45 \end{pmatrix}$. La première ligne donne $p_n = 0{,}55\,\alpha_n + 0{,}5\,(1 - \alpha_n) = 0{,}5 + 0{,}05\,\alpha_n$, soit
$$p_n = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \times 0{,}7^n$$
Comme $0 \lt 0{,}7 \lt 1$, $0{,}7^n$ tend vers $0$ et $p_n$ tend vers $\dfrac{2}{3}$ : à long terme, deux tiers des vélos dorment à la gare. Contrôle : la formule donne $p_1 = 0{,}55$, comme le calcul direct.
Exercice 4 : Pour $n \geqslant 1$, calcule le déterminant de taille $n$ suivant, nul partout où rien n'est écrit :
$$\Delta_n = \begin{vmatrix} 5 & 2 & & \\ 3 & 5 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 2 \\ & & 3 & 5 \end{vmatrix}$$
Correction :
Développe selon la première ligne. Le 5 donne $5\Delta_{n-1}$. Le 2, affecté du signe $-$, laisse un déterminant dont la première colonne ne contient qu'un 3, en haut : il vaut $3\Delta_{n-2}$. Donc, pour $n \geqslant 3$,
$$\Delta_n = 5\Delta_{n-1} - 2 \times 3\,\Delta_{n-2} = 5\Delta_{n-1} - 6\Delta_{n-2}, \qquad \Delta_1 = 5, \quad \Delta_2 = 25 - 6 = 19.$$
L'équation caractéristique $r^2 - 5r + 6 = 0$ a pour racines $2$ et $3$, donc $\Delta_n = \lambda\,2^n + \mu\,3^n$. Avec $\Delta_1$ et $\Delta_2$ : $2\lambda + 3\mu = 5$ et $4\lambda + 9\mu = 19$, d'où $\mu = 3$ et $\lambda = -2$.
$$\Delta_n = 3^{n+1} - 2^{n+1}$$
Contrôle : $\Delta_3 = 5 \times 19 - 6 \times 5 = 65$ et $3^4 - 2^4 = 81 - 16 = 65$. Seul le produit $2 \times 3$ des coefficients voisins de la diagonale compte : échanger le 2 et le 3 ne change pas $\Delta_n$.
À retenir
À retenir :
- Binôme seulement si les deux matrices commutent ; $\lambda I_n$ commute avec tout, une diagonale quelconque non.
- $A = \lambda I_n + N$ avec $N^p = 0$ : $A^n$ tient en au plus $p$ termes.
- En taille 2, $A^2 - \operatorname{tr}(A)\,A + \det(A)\,I_2 = 0$.
- Avec $P(A) = 0$ : le terme constant, s'il n'est pas nul, donne $A^{-1}$, et le reste de $X^n$ par $P$ donne $A^n$.
- Déterminant de taille $n$ : développe pour obtenir une récurrence, puis teste-la sur $D_3$.
Sources
- Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques de MPSI et MP2I (2021), pour le binôme, les suites récurrentes linéaires d'ordre 2 et les déterminants : PDF officiel.
- Même ministère, programme de mathématiques de MP et MPI (2021), partie « Réduction des endomorphismes et des matrices carrées » : PDF officiel.