L'essentiel à connaître
Avec une loi à densité, une probabilité se calcule comme une aire sous la courbe d'une fonction $f$, appelée densité : $P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_a^b f(x)\,dx$. Par exemple, si $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,10]$, sa densité vaut $\frac{1}{10}$ partout et $P(2 \leqslant X \leqslant 5) = \frac{5-2}{10} = 0{,}3$. Au-dessus d'un seul point, l'aire est nulle : $P(X = c) = 0$ pour tout réel $c$, donc $<$ et $\leqslant$ donnent la même probabilité.
L'espérance, la valeur moyenne de $X$, se calcule elle aussi par une intégrale : pour une densité sur $[a\,;\,b]$, $E(X) = \int_a^b x\,f(x)\,dx$. Le programme de l'option mathématiques complémentaires de terminale étudie deux lois de ce type, la loi uniforme et la loi exponentielle (programme officiel). La loi normale, la courbe en cloche, n'y figure pas : ce quiz ne la teste pas.
Définition : Une densité sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ continue et positive sur $I$, dont l'aire totale sous la courbe vaut $1$. Seule l'aire est imposée : la courbe peut monter au-dessus de $1$. La fonction de répartition de $X$ est $F(x) = P(X \leqslant x)$.
Formule : Loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ (densité constante) : $f(x) = \frac{1}{b-a}$, $P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d-c}{b-a}$ pour $a \leqslant c \leqslant d \leqslant b$, $E(X) = \frac{a+b}{2}$ et $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$.
Loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ (durées de vie, temps d'attente) : $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$, $P(X \leqslant t) = 1 - e^{-\lambda t}$, $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ et $E(X) = \frac{1}{\lambda}$. Elle est sans mémoire : $P_{(X > t)}(X > t + h) = P(X > h)$ pour $t \geqslant 0$ et $h \geqslant 0$. Le temps déjà écoulé ne change rien au temps qui reste.
Piège classique : $\lambda$ n'est pas l'espérance, c'est son inverse. Une durée de vie moyenne de $50$ heures donne $\lambda = 0{,}02$ par heure, pas $50$.
Quiz : teste tes connaissances
La difficulté monte au fil des questions, et les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : $X$ est une variable aléatoire de densité $f$. Que vaut $P(X = 5)$ ?
Réponse : B. Une probabilité est une aire sous la courbe de $f$, et au-dessus d'un seul point la largeur est nulle, donc l'aire aussi. Le piège $f(5)$ confond une hauteur avec une aire : la densité en un point n'est pas une probabilité.
Question 2 : $X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;\,10]$. Quelle est sa densité sur cet intervalle ?
Réponse : D. La densité vaut $\frac{1}{b-a} = \frac{1}{10-2} = \frac{1}{8}$ : un rectangle de base $8$ et de hauteur $\frac{1}{8}$ a bien une aire de $1$. Le piège $\frac{1}{10}$ oublie que l'intervalle commence à $2$ et non à $0$.
Question 3 : $X$ suit la loi uniforme sur $[4\,;\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?
Réponse : A. $E(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{4+10}{2} = 7$, le milieu de l'intervalle. Le piège $3$ vient de $\frac{b-a}{2}$ : c'est la moitié de la longueur de l'intervalle, pas son milieu.
Question 4 : $X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;\,10]$. Que vaut $P(X > 7)$ ?
Réponse : C. On cherche la part de l'intervalle située au-delà de $7$ : $P(X > 7) = \frac{10-7}{10-2} = \frac{3}{8}$. Le piège $\frac{5}{8}$ est $P(X < 7)$, la probabilité du mauvais côté de $7$.
Question 5 : $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Quelle est sa densité sur $[0\,;\,+\infty[$ ?
Réponse : A. La densité de la loi exponentielle est $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, ici avec $\lambda = 0{,}5$. Le piège $1 - e^{-0{,}5x}$ est la fonction de répartition $P(X \leqslant x)$, pas la densité. La proposition D est négative, ce qu'une densité n'est jamais.
Question 6 : $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Pour $t \geqslant 0$, que vaut $P(X > t)$ ?
Réponse : D. $P(X \leqslant t) = \int_0^t \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1 - e^{-\lambda t}$, et l'événement contraire donne $P(X > t) = e^{-\lambda t}$. Le piège $1 - e^{-\lambda t}$ est la bonne formule pour le mauvais événement : c'est $P(X \leqslant t)$.
Question 7 : Le temps d'attente à un guichet, en minutes, suit une loi exponentielle d'espérance $5$ minutes. Que vaut son paramètre $\lambda$, par minute ?
Réponse : C. $E(X) = \frac{1}{\lambda}$, donc $\lambda = \frac{1}{5} = 0{,}2$ par minute. Le piège $\lambda = 5$ confond le paramètre et l'espérance : plus $\lambda$ est grand, plus l'attente moyenne est courte.
Question 8 : $X$ a pour densité $f$ et pour fonction de répartition $F$, et $a < b$. Que vaut $P(a < X \leqslant b)$ ?
Réponse : B. L'événement $X \leqslant b$ se découpe en $X \leqslant a$ et $a < X \leqslant b$, donc $F(b) = F(a) + P(a < X \leqslant b)$, d'où $P(a < X \leqslant b) = F(b) - F(a)$. Le piège $f(b) - f(a)$ soustrait deux hauteurs de la densité au lieu de deux aires : ce n'est pas une probabilité.
Question 9 : Pour quelle valeur du réel $k > 0$ la fonction $f(x) = kx$ est-elle une densité sur $[0\,;\,3]$ ?
Réponse : D. L'aire totale doit valoir $1$ : $\int_0^3 kx\,dx = k \times \frac{3^2}{2} = \frac{9k}{2}$, et $\frac{9k}{2} = 1$ donne $k = \frac{2}{9}$. Le piège $\frac{1}{9}$ oublie le $\frac{1}{2}$ de la primitive $\frac{x^2}{2}$.
Question 10 : $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Que vaut $P(1 \leqslant X \leqslant 3)$ ?
Réponse : B. $P(1 \leqslant X \leqslant 3) = P(X > 1) - P(X > 3) = e^{-0{,}5} - e^{-1{,}5} \approx 0{,}38$. Le piège $1 - e^{-1}$ ne retient que la longueur $2$ de l'intervalle, comme pour une loi uniforme : avec la loi exponentielle, un intervalle placé plus loin a une probabilité plus faible.
Question 11 : $X$ a pour densité $f(x) = 2x$ sur $[0\,;\,1]$. Que vaut $E(X)$ ?
Réponse : C. $E(X) = \int_0^1 x \times 2x\,dx = \int_0^1 2x^2\,dx = \left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$. Le piège $\frac{1}{2}$ prend le milieu de l'intervalle, ce qui ne vaut que pour une densité constante : ici la densité grandit avec $x$, et les grandes valeurs pèsent plus.
Question 12 : $X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;\,8]$. Que vaut sa variance $V(X)$ ?
Réponse : A. $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{6^2}{12} = \frac{36}{12} = 3$. Le piège $\frac{1}{2}$ vient de $\frac{b-a}{12} = \frac{6}{12}$ : le carré a disparu en route.
Question 13 : Laquelle de ces fonctions est une densité sur $[0\,;\,0{,}5]$ ?
Réponse : C. Sur un intervalle de longueur $0{,}5$, une densité constante doit valoir $2$ pour que l'aire fasse $2 \times 0{,}5 = 1$. Le piège $f(x) = 1$ vient de l'idée qu'une densité ne dépasse jamais $1$ : c'est vrai d'une probabilité, pas d'une densité, et ici l'aire ne ferait que $0{,}5$.
Question 14 : La durée de vie $X$ d'une ampoule, en heures, suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}001$ par heure. Elle a déjà fonctionné $1\,000$ heures. Quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore plus de $500$ heures ?
Réponse : B. Par absence de mémoire, $P_{(X > 1000)}(X > 1500) = P(X > 500) = e^{-0{,}001 \times 500} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$. Le piège $e^{-1{,}5}$ calcule $P(X > 1500)$ comme si l'ampoule était neuve : il oublie qu'on sait déjà qu'elle a tenu $1\,000$ heures.
Question 15 : $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Que vaut $P(X \leqslant E(X))$ ?
Réponse : D. $E(X) = \frac{1}{0{,}5} = 2$, donc $P(X \leqslant 2) = 1 - e^{-0{,}5 \times 2} = 1 - e^{-1} \approx 0{,}63$. Le piège $0{,}5$ suppose que l'espérance coupe la loi en deux moitiés égales : c'est vrai pour une loi uniforme, pas pour la loi exponentielle, où les petites valeurs sont les plus probables.
Sources
Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse, programme d'enseignement optionnel de mathématiques complémentaires de terminale générale, annexe publiée au Bulletin officiel, partie « Lois à densité ».