L'essentiel à connaître
Contrairement aux lois discrètes où l'on compte des événements, les lois continues s'appliquent à des variables pouvant prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle réel (comme le temps ou une taille). On définit une telle loi par une fonction de densité f, qui doit être positive et dont l'intégrale sur l'ensemble de définition est égale à 1. La probabilité que la variable X soit comprise entre a et b est donnée par l'intégrale de la densité f entre a et b. Un point crucial à retenir : pour toute loi continue, la probabilité ponctuelle P(X = c) est toujours égale à 0.
Trois lois sont au cœur du programme de Terminale. La loi uniforme sur [a ; b] modélise une situation où tous les sous-intervalles de même longueur ont la même probabilité. La loi exponentielle de paramètre λ, souvent utilisée pour modéliser des durées de vie ou des temps d'attente "sans vieillissement". Enfin, la loi normale (ou loi de Gauss) de paramètres μ (espérance) et σ (écart-type), dont la courbe en cloche est omniprésente dans la nature et les statistiques.
Définition : Une fonction de densité f est une fonction continue et positive sur I telle que l'aire totale sous sa courbe est égale à 1 unité d'aire.
À retenir : Pour une loi continue, les inégalités larges (≤) ou strictes (<) ne changent pas la valeur de la probabilité car P(X=a) = 0.
Les points clés
Pour la loi exponentielle, la formule de base à connaître est P(X ≤ t) = 1 - e^(-λt). Sa propriété de "perte de mémoire" est unique : la probabilité qu'un événement survienne après un temps t+s sachant qu'il n'est pas survenu à t est la même que la probabilité qu'il survienne après s. Son espérance est E(X) = 1/λ.
La loi normale centrée réduite N(0, 1) est la référence. Toute loi normale N(μ, σ²) peut lui être ramenée par le changement de variable Z = (X - μ) / σ. Retiens les intervalles de confiance classiques : la majorité des valeurs sont à moins d'un écart-type de la moyenne, et 95% sont à moins de deux écart-types (plus précisément 1,96σ). La courbe est symétrique par rapport à la droite x = μ, ce qui permet de déduire de nombreuses probabilités par simple déduction géométrique.
Formule : Pour la loi normale, P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,95.
Piège classique : Confondre le paramètre λ de la loi exponentielle avec l'espérance 1/λ. Si l'espérance est 5, alors λ = 0,2.
Quiz : Teste tes connaissances
Question 1 : Pour une variable aléatoire continue X, que vaut P(X = 5) ?
Réponse : B. Dans une loi continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle car l'aire sous un point (segment de largeur nulle) est nulle. On ne calcule des probabilités que sur des intervalles.
Question 2 : Quelle est la densité d'une loi uniforme sur [2 ; 10] ?
Réponse : C. La densité d'une loi uniforme sur [a ; b] est 1 / (b - a). Ici, 1 / (10 - 2) = 1/8. L'aire totale (base * hauteur) doit faire 1.
Question 3 : Pour une loi exponentielle de paramètre λ, P(X > t) est égal à :
Réponse : A. On sait que P(X ≤ t) = 1 - e^(-λt). Par l'événement contraire, P(X > t) = 1 - (1 - e^(-λt)) = e^(-λt). C'est une formule très pratique en exercice.
Question 4 : Si X suit N(μ, σ²), quelle est la valeur de P(X ≤ μ) ?
Réponse : D. La courbe de la loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne μ. Il y a donc exactement de fortes chances d'être en dessous de la moyenne.
Question 5 : L'espérance d'une loi exponentielle est de 10. Que vaut λ ?
Réponse : B. La formule de l'espérance est E(X) = 1/λ. Donc λ = 1/E(X) = 1/10 = 0,1. Ne confonds pas les deux !
Question 6 : Dans une loi normale N(0, 1), que vaut approximativement P(-1,96 ≤ X ≤ 1,96) ?
Réponse : C. C'est une valeur de référence du cours : 95% des données d'une loi normale centrée réduite se situent dans cet intervalle. Très utile pour les tests d'hypothèses.
Question 7 : La loi exponentielle est dite "sans vieillissement" car :
Réponse : A. Cela signifie que le fait d'avoir déjà attendu un temps t ne modifie pas la probabilité d'attendre encore un temps s. C'est typique de la désintégration radioactive.
Question 8 : Pour une loi uniforme sur [a ; b], l'espérance est :
Réponse : D. L'espérance correspond au milieu de l'intervalle. C'est le point d'équilibre de la distribution, très intuitif pour une loi où tout est équiréparti.
Question 9 : Si X suit N(μ, σ²), alors Z = (X - μ) / σ suit :
Réponse : B. C'est l'opération de centrage (soustraire la moyenne) et de réduction (diviser par l'écart-type). Cela permet d'utiliser les tables ou les fonctions standard des calculatrices.
Question 10 : Quelle est l'aire totale sous la courbe d'une densité de probabilité ?
Réponse : C. Par définition, la somme de toutes les probabilités possibles doit être égale à 1. Pour une loi continue, cela se traduit par une intégrale égale à 1.
Question 11 : Si X suit une loi normale, que vaut P(X < μ - σ) par rapport à P(X > μ + σ) ?
Réponse : A. En raison de la symétrie parfaite de la cloche autour de la moyenne μ, les "queues" de distribution à gauche et à droite sont identiques.
Question 12 : La densité de la loi exponentielle de paramètre 0,5 est :
Réponse : B. La formule générale est f(x) = λe^(-λx) pour x ≥ 0. Ici λ = 0,5. L'option D est impossible car une densité doit être positive.
Question 13 : Quel paramètre de la loi normale modifie la largeur de la cloche ?
Réponse : D. L'écart-type σ mesure la dispersion des données. Plus il est grand, plus la cloche est large et aplatie. μ ne fait que déplacer la cloche horizontalement.
Question 14 : Pour une loi uniforme sur [0 ; 1], que vaut P(0,2 ≤ X ≤ 0,7) ?
Réponse : C. Pour la loi uniforme, la probabilité est (d - c) / (b - a). Ici (0,7 - 0,2) / (1 - 0) = 0,5. C'est simplement la longueur de l'intervalle.
Question 15 : On sait que X suit N(10, 4). On veut P(X < 10). Sans calculatrice :
Réponse : A. Puisque la moyenne est 10, la probabilité d'être inférieur à la moyenne est de 50%, quelle que soit la valeur de l'écart-type.
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